Файл: 15-19.docx

При решении систем уравнений используя итерации (приближения), при которых находится не само решение системы, а находится некоторая последовательность, которая сходится к решению за конечное число шагов.

x₀,x₁…..x*

Lim x_i=x*

i

Скорость сходимости определяется насколько быстро из начально взятого приближения возможен переход к x*

И важнейшей особенностью этого метода является то, что эти методы сходятся не для любой схемы, но любую схему можно привести к такому виду, чтобы итерационный метод сходился при любом приближении.

Каждый следующий член итерационной последовательности выражается через предыдущие, уже известные.

Рассмотрим условия сходимости для представления матрицы в виде x=x+ x_k₊_n=x_k+ для последовательности x₀,x₁…..x*, где x*=

Z_k=-x_k

Z_k=(+)-(x_k_-1+)=(+ x_k_-1)= Z_k_-1

|| Z_k|||||| ||Z_k_-1||

|| Z_k|||||| ||Z_k|||||| |||| ||Z_k_-2||=||²|| ||Z_k||

значит: lim || Z_k||=0

k

Процесс будет сходиться в любом случае, если норма матрицы  будет меньше единицы (||||<1)

Отсюда теорема о сходимости метода простой итерации:

Для того чтобы метод итерации сходился из любого начального приближения необходимо, чтобы норма матрицы  была меньше 1.

Второй теоремой о сходимости метода итервций будет являться:

метод простых итреаций будет сходиться из любого начального приблиджения, если все собственные значения матрицы  по модулю будут меньше 1.

Теоретическая сходимость не означает, что метод сходится на практике при решении этой задачи из-за влияния ошибок.

Аппроксимация кривых

(X0,Y0)

... (n+1) узлов интерполяции

(Xn,Yn)

P_k(x)= a_kx^k+...+ a₁ x+ a₀

P_k(x_i)=y_i

Метод наименьших квадратов:

наилучшее приближение

Если система векторов (все векторы) взаимно ортогональны, то матрица Грамма будет диагональной (решенная). Желательно использовать ортогональные матрицы.

Оптимизация: