Файл: 25-28.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.12.2025

Просмотров: 126

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

Билет № 25.

Билет № 26.

Билет № 27.

Билет № 28.

Билет № 28.

1). Численная устойчивость явного и неявного метода Эйлера решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2). Метод Ньютона решения систем нелинейных алгебраических уравнений

Численная устойчивость явного и неявного метода Эйлера решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Запишем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка в следующем общем виде:

 Запишем для уравнения (12.1) явную разностную схему:

 

Для анализа устойчивости явного метода Эйлера рассмотрим конкретный пример:

 

Явная разностная схема для уравнения (12.3) имеет вид:

 

Проведём исследование устойчивости данной схемы с помощью спектрального метода:

 

Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части на , и выражаем :

 

С учётом необходимого условия устойчивости разностных схем имеем:

 

В полученном двойном неравенстве правое условие выполняется автоматически. Поэтому рассмотрим более подробно левое условие:

 

Полученное выражение является условием устойчивости явной разностной схемы, аппроксимирующей уравнение.

Вывод: является условно устойчивым и относится к методам с первым порядком точности.

Запишем для уравнения неявную разностную схему:

 

Для анализа устойчивости неявного метода Эйлера рассмотрим неявную разностную схему, аппроксимирующую уравнение:

 

Проведём исследование устойчивости данной схемы с помощью спектрального метода:

 

Упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части на , и выражаем :

 

Вывод: неявный метод абсолютно устойчив (не зависит от шага)

Метод Ньютона для решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Пусть известно некоторое приближение к корню . Запишем исходную систему нелинейных уравнений в виде

где . Разлагая эти уравнения в ряды и ограничиваясь первыми дифференциалами, т.е. линеаризуя функцию, получим

Это система уравнений, линейных относительно приращений ; все коэффициенты системы выражаются через последнее приближение . Решив эту систему, например, методом исключения найдем новое приближение .

Отметим, что система (6.13) в матричной форме имеет вид:

где значения производных в матрице коэффициентов и функций в векторе свободных членов вычислены при текущем приближении корня .

Матрица частных производных носит название матрицы Якоби. Для ее формирования возможны два пути: а) получить аналитические выражения для всех частных производных и вычислить их значение при – прием предпочтительный в смысле корректности подхода, но зачастую трудоемкий, особенно при большом числе аргументов; б) заменить частные производные в матрице Якоби их приближенными конечно-разностными значениями

где – малое приращение .

Алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона складывается из следующих этапов:

1) задают относительную погрешность вычисления аргументов , вектор начальных приближений , максимальное число итераций M для выхода из алгоритма в случае медленной сходимости или программных ошибок пользователя;

  1. вычисляют матрицу Якоби по аналитическим выражениям или конечно-разностным методом, причем в последнем случае можно принять 

  1. решают систему линейных алгебраических уравнений (6.14) относительно приращений 

4) вычисляют уточненное значение аргументов – новое приближение по формуле 

5) проверяют выполнение условий по всем аргументам и если хотя бы одно выполняется, то возвращаются к п.2 для новой итерации; в противном случае полученный вектор считают решением.

Смотрите также файлы