Файл: Разработка модуля для выполнения операций с натуральными числами в 16-ричной системе счисления (Виды позиционных систем счисления).pdf

Такие же правила сложения чисел действуют в любой ПСС. При этом отличие заключается только в том, что результаты сложения цифр в разрядах сравниваются с основаниями используемых ПСС.

Теперь рассмотрим шестнадцатеричные числа, у которых основание равно 16, а также имеются цифры обозначенные буквами латинского алфавита:

A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

Итак, рассмотри сложение 16-ричных чисел A15 и BC [4].

A15

+

BC

AD1

Поясним порядок сложения:

1. Складываем разряды единиц: 5 и С. При этом учитываем, что С = 12, тогда получаем 5 + 12 = 17. Полученный результат превышает основание ПСС, равное шестнадцати. Поэтому вычитаем 16 из 17 и получаем 1, записываем полученный результат под правым разрядом, а в левый старший разряд переносим 1 (шестнадцать единиц соответствует 1-му десятку в 16-ричной ПСС).
2. Далее складываем 1 и B. Прибавляем к данной сумме перенесенную единицу и учитываем, что B = 11, получаем: 1 + 1 + 11 = 13. Данный результат меньше 16, поэтому его можно записать под суммируемыми цифрами, при этом число 13 в 16-ричной системе записывается буквой D.
3. Цифра A из верхнего слагаемого переносится в результат. В разряд сотен при этом ничего не переносится.

Таким образом, A15 + BC = AD1.

На рисунке 1.2 представлена графическая иллюстрация предложенного алгоритма для сложения двух других 16-ричных чисел 1С52₁₆ и 891₁₆.

Рис. 1.2

Рассмотрим операцию вычитания 16-ричных чисел. При этом опять рассмотрим пример вычитания для десятичной ПСС. Вычислим следующую разность:

223

–

95

128

Процесс вычитания реализуется поразрядно, при этом переносы реализуются слева направо. В рассмотренном примере необходимо от цифры три вычесть цифру пять. Так как это сделать не получится, необходимо занять один десяток из левого разряда. Теперь цифру пять необходимо вычесть из числа тринадцать. В результате получим цифру восемь, которую записываем под разрядом единиц. От десятков в уменьшаемом числе двести двадцать три мы один десяток заняли в разряд единиц. Теперь здесь только один десяток. Нам нужно из одного вычесть девять. Поэтому опять занимаем единицу из левого разряда, но уже сотен. Далее необходимо из одиннадцати отнять девять и получим два, которое запишем под разрядом десятков. При этом одну сотню мы заняли для вычитания десятков, поэтому в разряде сотен остается единица. Полученный результат: 223-95 = 128.

---

Далее перейдем к вычитанию 16-ричных чисел. Алгоритм вычитания аналогичен. При этом необходимо помнить, что при сравнении полученного результата вычитания необходимо использовать число 16, а не 10.

Рассмотрим пример BC4-AF [4].

BC4

–

AF

B15

От четырех нельзя отнять число F, поэтому из левого разряда мы будем занимать число шестнадцать. В результате из 20 вычитаем число F и получаем цифру 5, которую записываем под разрядом единиц. При этом число C уменьшилось на единицу и получилось число B. Далее из B необходимо отнять A. При этом получится единица, которую записываем в разряд десятков. Так как от сотен ничего не занималось, а в вычитаемом примере только 2 цифры, то переносим B из уменьшаемого в конечный результат: BC4-AF = B15.

На рисунке 1.3 представлены результаты вычитания двух чисел С5B₁₆ и A7E₁₆.

Рис.1.3.

Умножение и деление проводится также, как и в десятичной системе. На рисунке 1.4 представлены результаты перемножения двух чисел 20A4₁₆ и B15₁₆.

Рис.1.4.

Для того, чтобы легче было проводить эти действия, лучше воспользоваться таблицей умножения, которая приведена в таблице 1.2.

Таблица 1.2

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8F	9A	A5
C	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4
D	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	A9	B6	C3
E	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2
F	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1

---

Операция умножения довольно просто выполняется при использовании этой таблицы. Например, при умножении чисел 4А x C сначала выполним операцию умножения для 4 х С = 30 и затем А х С = 78. Для этого нужно найти числа, находящиеся на пересечении строк и столбцов чисел 4 и С, а затем А и С. Затем нужно сложить 300 и 78, в результате получим 378.

На рисунке 1.5 представлены результаты деления двух чисел 6F78₁₆ и 8₁₆ в столбик.

Рис. 1.5.

При этом также можем воспользоваться данными из таблицы 1.2. Для операции деления нужно найти число в строке, в которой слева находится делитель или близкое к нему число. Например, при делении 378 на С, найдем в строке, где слева находится С, максимальное число, которое не превышает 37 – это будет 30. Запишем верхнее число, которое находится в этом столбце, это будет 4. 37 – 30 = 7. Далее найдем в этой же строке число 78 и запишем верхнее значение столбца, где оно находится. Получим А, значит, наше число 4A. [4, 2, 8, 9, 7]

Разработка модуля для выполнения операций с натуральными числами в 16-ричной системе счисления в языке C#

Разрабатываемый модуль представляет собой калькулятор, позволяющий реализовать операции сложения и вычитания двух натуральных 16-ричных чисел, выполненный в среде Visual Studio 2017 на языке программирования C#.

• 1. Особенности языка программирования C#

Язык программирования C# предназначен для разработки программ на платформе .NET корпорации Microsoft. В этом языке присутствуют как надежные проверенные средства программирования, так и последние нововведения с возможностью эффективного и практичного создания программ, предназначенных для мощных вычислительных сред современных организаций [14].

Предшественником языка C# являются языки программирования С и C++. Кроме того, язык C# имеет сильную связь с таким языком как Java, который также происходит от С и C++ и обладает общим с ними синтаксисом.

В C# присутствует много новых средств, и одним из самых важных является встроенная поддержка программных компонентов. При этом язык C# по сути является компонентно-ориентированным языком программирования, так как в него встроена поддержка написания программных компонентов. К примеру, в C# присутствуют средства прямой поддержки программных компонентов, их свойств, методов и события. Другой важной особенностью языка C#, является возможность работы в безопасной среде многоязыкового программирования.

---

C# унаследовал от С многие ключевые слова и операторы. При этом C# построен на усовершенствованной объектной модели, использованной в C++. У C# имеется особая взаимосвязь со средой выполнения .NET Framework, что объясняется следующим:

• он предназначался для создания кода, который должен выполняться в среде .NET Framework;
• используемые в C# библиотеки определены в среде .NET Framework.

.NET Framework – среда для поддержки разработки и выполнения сильно распределенных компонентных приложений, которая обеспечивает совместное использование разных языков программирования, а также безопасность, переносимость программ и общую модель программирования для платформы Windows. При этом существуют и недостатки данного подхода, заключающиеся в необходимости использования дополнительной среды NET Framework, а также в увеличении требуемой памяти и снижении скорости выполнения разрабатываемых программы. Вместе с тем те достоинства, которые предоставляет .NET Framework значительно шире: однообразные средства API для разработки программ на разных языках; простота стыковки разноязыковых модулей; обширные библиотеки готовых классов; отсутствие необходимости использования программ-инсталляторов при установке программ под .NET и т.д. [14, 6, 1, 5].

2.2 Описание интерфейса модуля

Интерфейс представлен на рисунке 2.1 и включает: поле ввода, набор кнопок для ввода натуральных чисел в шестнадцатеричной системе счисления (от 0 до F), кнопки арифметических операций («+», «–»,«=») и очистки поля ввода.

Рис. 2.1.

Порядок выполнения вычислений

Для выполнения вычислений необходимо ввести первое число в поле ввода, к примеру, число 2 (рис. 2.2).

Рис. 2.2.

Далее нажимаем необходимую операцию, например сложения (рис.2.3).

Рис. 2.3.

Далее выбираем операцию равно (рис. 2.4) и получаем результат вычислений (рис. 2.5).

Рис. 2.4.

Рис. 2.5.

Исследование работы модуля

Проверим работу модуля при выполнении операций сложения на числах, приведенных ранее в разделе 1. На рисунке 2.6 и 2.7 представлен результат сложения двух натуральных чисел A15 и BC. Получен результат AD1.

---

Рис. 2.6.

Рис. 2.7.

На рисунке 2.8 и 2.9 представлен результат сложения двух натуральных чисел 1С52₁₆ и 891₁₆ . Получен результат 24E3.

Рис. 2.8

Рис. 2.9.

Далее рассмотрим операции вычитания.

На рисунке 2.10 и 2.11 представлен результат вычитания двух натуральных чисел BC4₁₆ и AF₁₆ . Получен результат B15₁₆.

Рис. 2.10

Рис. 2.11.

На рисунке 2.12 и 2.13 представлен результат вычитания двух натуральных чисел С5B₁₆ и A7E₁₆ . Получен результат 1DD₁₆.

Рис. 2.12.

Рис. 2.13.

Проверим правильность работы модуля в дополнительных ситуациях.

Сложим числа FF₁₆ и B₁₆ (рис.2.14, 2.15, 2.16). Получим 10A₁₆, что легко проверяется, так как сумма F и B дает 26₁₀=1*16+10=1*16+A, запоминаем 1. А сумма F и 1 дает 16₁₀ или 10₁₆. Итого получается 10A₁₆.

Рис. 2.14.

Рис. 2.15.

Рис. 2.16.

Вычтем из числа FF₁₆ число F₁₆ (рис. 2.17, 2.18, 2.19). Получаем верное число F0₁₆.

Рис. 2.17.

Рис. 2.18.

Рис. 2.19.

Таким образом, разработанный модуль удовлетворяет всем необходимым требованиям при выполнении операций сложения и вычитания. [12,13, 14, 15]

Заключение

Вопросы изучения систем счисления являются одними из базовых вопросов информатики и теории программирования, так как один разряд двоичной системы представляет собой не что иное, как один бит, а два разряда шестнадцатеричной системы представляют собой один байт. В современных компьютерах информация кодируется в байтах, поэтому во многих случаях удобно использовать шестнадцатеричную систему счисления. Помимо прочего, шестнадцатеричную систему используют в низкоуровневом программировании, в компьютерном дизайне при кодировании цветов изображений, в некоторых системах кодировки информационных символов и т.п.

---