Файл: Теория исследование помехоустойчивости ГСК.doc

Теоретическая часть

1. Аналитическое моделирование передачи данных

В настоящей лабораторной работе автоматизированное проектирование ведется с использованием среды моделирования MATLAB 7.0+Simulink и сводится к подбору параметров ГСК, обеспечивающих заданную вероятность передачи информации в каналах связи, описываемых различными аналитическими моделями.

1. Модели ДКСБП (двоичного симметричного канала без памяти)

В качестве аналитических моделей цифрового канала связи без памяти (двоичного симметричного канала с независимыми ошибками) используется биномиальное либо пуассоновское распределение ошибок. Каналы без памяти – радиоканалы, спутниковые – характеризуются независимыми ошибками.

Модель 1

(1)

Модель 2

(2)

где - вероятность i-кратной ошибки среди n передаваемых символов;

- вероятность ошибки при передаче элементарного сигнала (вероятность ошибки на символ);

- среднее число ошибок среди n передаваемых символов,

2. Модели ДКССП (двоичного симметричного канала с памятью)

Каналы с памятью хорошо описывают коммутируемые каналы (т.к. раньше каналы были электромагнитными, переключения приводили к пакетирующимся ошибкам). Пакеты, всплески ошибок также могут возникать на территории или вблизи промышленных предприятий, силовых линий и т. д.

1. Модель Пуртова

В качестве аналитической модели цифрового канала с памятью (однородного двоичного канала с пакетированием или группирующимися ошибками) используется модель Пуртова:

(3)

Где - вероятность не менее i группирующихся ошибок среди n символов;

- коэффициент пакетирования ошибок (в данной лабораторной работе принято =0,3-0,7.

2. Модель Гильберта-Элиота

Это четырехпараметрическая модель ДСДКП с глубиной памяти l=1. В отличие от модели Гильберта, в данной модели допускается появление ошибок как в “хорошем” (G-good), так и в “плохом” (В-bad) состояниях канала соответственно с вероятностями p_g и p_b.

Граф марковской цепи показан на рис. 1.

Рис. 1. Граф переходов модели Гильберта – Элиота

Модель Гильберта – Элиота полностью описывается четырьмя параметрами: p_g, p_b, p_bg, p_gb. Вероятности p(G) и p(B) определяются по (4) и (5).

p(G) = p(G) p_GG + p(B) p_BG = p(G) p_GG + (1 - p(G)) p_BG,

. (4)

p(B) = p(B) p_BB + p(G) p_GB = p(B) p_BB + (1 - p(B)) p_GB,

. (5)

Вероятность ошибки на символ:

(6)

Вероятность ошибки кратности i среди n символов, передаваемых по ДСДКП:

(7)

Вероятность искажения кодовой серии длины n:

(8)

3. Вероятностно-временные характеристики каналов

В каналах с независимыми ошибками (например, описываемых моделью 1), использующими для передачи групповые систематические коды, исправляющие s и менее ошибок, вероятностные показатели определяются следующим образом:

(9)

---

Здесь n – длина кода (n,m) с , определяемая из границы Хемминга.

Исходя из этого, безызбыточному коду (s=0) соответствуют формулы:

Для ГСК, исправляющего s и обнаруживающего (s+1) ошибку (с четным кодовым расстоянием ), рассматриваемого в данной лабораторной работе

(10)

,, - соответственно вероятности правильной передачи сообщения, стирания сообщения (обнаружения ошибки) и трансформации сообщения (необнаружения ошибки).

В каналах с группирующимися ошибками, описываемых моделью (3), в которых применяются (n,m,d) - коды, исправляющие s ошибок, вероятностные показатели равны:

(11)

Следует отметить, что ГСК являются оптимальными для каналов с независимыми ошибками и не обеспечивают наилучшие показатели вероятности правильной передачи в каналах с группирующимися ошибками. В то же время известны групповые (n,m)-коды (перемежающиеся коды и пр.), оптимальные в каналах с памятью и исправляющие пакеты ошибок длины b и меньше. Для этих кодов число избыточных символов k определяется из соотношения:

(12)

Скорость передачи данных с использованием ГСК-кода определяется по формуле:

(13)

Приведенные соотношения (1)-(13) положены в основу алгоритмов и программ автоматизированного проектирования цифровых каналов, использующих ГСК для обеспечения заданной верности передачи.

2. Имитационное моделирование передачи данных

Осуществляется имитация реальной передачи сообщений по каналу связи в условиях действия помех, т.е. для каждого символа сообщения с помощью датчика случайных чисел, имитирующего источник ошибок, с вероятностью р воспроизводится событие трансформации символа. Количество трансформированных символов для каждого сообщения подсчитывается и сравнивается с корректирующей способностью кода. Если используется ГСК с возможностью исправления и обнаружения ошибок, то при превышении корректирующей способности и если кратность ошибки равна (s+1), данная ошибка обнаруживается и стирается, при более высокой кратности ошибки сообщение считается трансформированным. При использовании ГСК только с исправлением ошибок все ошибки кратности, превышающей корректирующую способность кода, приведут к трансформации сообщения. Все ошибки кратности меньше, чем корректирующая способность кода, в случае обоих кодов исправляются, и сообщение считается переданным правильно.

При этом происходит генерация n раз случайного числа из интервала от 0 до 0,99 и сравнение этого числа с величиной ошибки на символ p, значение которой принимается равным 0,01. Если число меньше p, считается, что символ был трансформирован при передаче по линии связи (см. рис. 1).

---

1. Блок-схема алгоритма имитационного моделирования

Блок-схема показана на рис. 2. Расшифровка блоков приведена в Приложении 1.

Рис. 2. Блок-схема алгоритма имитационного моделирования

2. Доверительная вероятность. Доверительный интервал

Пусть для параметра получена из опыта его оценка . Требуется оценить возможную ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность , например 0,9, 0,95 или 0,99, такую, что событие с данной вероятностью можно считать практически достоверным. Найдем такое значение , для которого

(14)

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене точного значения параметра его оценкой, будет ±, большие по абсолютной величине ошибки будут возникать только с очень малой вероятностью 1-. Тогда с вероятностью неизвестное значение параметра попадает в интервал

(15)

Вероятность называют доверительной вероятностью, а соответствующий интервал - доверительным интервалом. Его границы – доверительные. Это интервал значений параметра, совместимый с опытными данными и не входящий с ними в противоречие.

При проведении n независимых опытов над величиной X оценки для мат. ожидания и дисперсии этой величины могут быть рассчитаны по формулам:

(16)

Приведенные оценки используются при построении доверительных интервалов для мат. ожидания и дисперсии. Данный прием является грубым и приближенным, т.к. вместо точных значений параметров (которые неизвестны) используются их точечные оценки. Однако уже для числа n порядка 20-ти этот прием дает неплохие результаты.

Так, например, построение доверительного интервала для мат. ожидания удобнее проводить с использованием величины , некоторые значения которой для различных значений доверительной вероятности показаны в Табл. 1. С учетом доверительный интервал определяется как

, где (15)

.

Табл. 1. Доверительная вероятность

0,9	1,643
0,95	1,96
0,99	2,576

• Пример: найдем доверительный интервал для математического ожидания оценки вероятности трансформации для кода (20,9,7), параметры которого были рассчитаны при работе первой модели (см. пункт 1.1.1 настоящей лабораторной работы).

• Было проведено 20 опытов и получено 20 значений оценки вероятности трансформации, после чего согласно формулам (16) были рассчитаны

• Зададимся 90%-ной доверительной вероятностью, тогда величина составит 1,643, и доверительный интервал запишется в виде:

• Следовательно, величина принадлежит интервалу

---

Можно сделать вывод, что значения мат. ожидания, которые принадлежат полученному интервалу, являются совместимыми с опытными данными для данного кода.

3. Точность и надежность оценок числовых характеристик случайной величины

Очевидно, что вероятность трансформации, получаемая при работе имитационной модели, сильно зависит как от качества внутреннего генератора псевдослучайных чисел Matlab, так и от объема выборки трансформации, достижение которого является критерием остановки программы моделирования передачи данных. Поэтому главной задачей является задача верификации имитационной модели, т.е. оценка степени надежности полученных вероятностных характеристик.

Нетрудно заметить, что получаемая в результате работы программы имитационного моделирования статистическая оценка вероятности трансформации (далее оценка) есть не что иное, как частота появления трансформаций в общем объеме переданных сообщений:

, (17)

Где N₁ – общее число переданных сообщений, а transf – число сообщений, которые были трансформированы.

Так как опыты независимы, то случайная величина transf распределена по биномиальному закону с м.о. N₁p и дисперсией, равной N₁pq, где p – вероятность появления события в каждом опыте (в нашем случае вероятность ошибки на символ), а q=1-p.

Центральная предельная теорема гласит, что при достаточно большом числе опытов распределение случайной величины можно считать приближенно нормальным с параметрами и . Ее линейная функция (9) имеет также нормально распределение с параметрами

. (18)

Теперь с помощью метода оценки вероятности по частоте можно найти нижний предел объема выборки трансформации, при котором т.н. ошибка приближенного равенства , где р_трансф - точное значение вероятности трансформации (неизвестное нам), а р^* - оценка вероятности трансформации, полученная при имитационном моделировании, не превысит некоторого заданного значения , которое выбирается исходя из порядка вероятности трансформации в аналитическом моделировании.

Найдем вероятность того, что ошибка приближенного равенства будет не больше :

(19)

где Ф – функция Лапласа.

Если задаться желаемой вероятностью получения точных характеристик, то можно получить значение N₁, а, следовательно, и соответствующее значение объема выборки трансформации, которое обеспечит нужную точность.

• Пример: найдем наименьшее L_тр для кода (20,9,7), параметры которого были рассчитаны при работе первой модели. При аналитическом моделировании значение оценки вероятности трансформации составило , то есть порядка 4-5 трансформаций на 10⁵ переданных сообщений.

Найдем число сообщений, которые требуется передать, чтобы вероятность того, что ошибка ε не превзойдет , была не меньше 90%.

---

Для получения первичной оценки вероятности трансформации запустим процесс моделирования с величиной объема трансформации, равной 5. По окончанию моделирования получено значение оценки вероятности трансформации . Для данного значения согласно формуле (19) получим:

Нужно, чтобы было не меньше, чем 0,9, то есть

Пользуясь Табл. 2 , найдем то значение аргумента, при котором функция Лапласа становится равной 0,45 – оно приблизительно равно 1,64. Осталось разрешить неравенство относительно N₁:

Итак, согласно расчету, для достижения требуемой точности должно быть передано не менее 45851 сообщения. Опытным путем легко устанавливается, что данный объем переданных сообщений достигается при .

Можно отметить, что результаты аналитического и имитационного моделирования оказываются достаточно близкими. Следовательно, выбранная аналитическая модель может быть использована для описания системы передачи информации.

Значения функции Лапласа следует смотреть в нижеприведенной таблице:

Табл. 2. Таблица значений интегральной функции Лапласа

Приложение 1

Таблица 2. Расшифровка блок-схемы имитационного моделирования

Номер блока	Выполняемые действия
1	Инициализация переменных. Определение корректирующей способности из формулы минимального кодового расстояния
2	Установка начальных значений: число переданных сообщений =1, число трансформированных сообщений =0
3	Условие цикла «до тех пор, пока количество трансформаций меньше заданного объема выборки трансформации, продолжать…»
4	При выполнении условия цикла 3 - установка в ноль счетчика символов и количества трансформированных символов
5	Условие цикла «до тех пор, пока счетчик символов не превысил длину кода, продолжать..»
6	При выполнении условия цикла 5 происходит генерация случайного числа в диапазоне от 0 до 0,99
7	Условие цикла «если случайная величина меньше или равна величине ошибки на символ, то…»
8	При выполнении условия 7 счетчик трансформированных символов увеличивается на 1
9	При невыполнении условия цикла 7 счетчик символов увеличивается на 1, и программа снова входит в условие цикла 5
10	При невыполнении условия цикла 5 выполняется проверка кода на четность
11	Проверка условия «если количество трансформированных символов на единицу больше корректирующей способности кода, то…»
12	При выполнении условия 12 счетчик стирания увеличивается на 1
13	Проверка условия «если количество трансформированных символов больше, чем корректирующая способность, увеличенная на единицу, то…»
14	При невыполнении условия 10 осуществляется проверка условия «если количество трансформированных символов больше корректирующей способности кода, то…»
15	Если условие 13 и 14 выполняются, то счетчик трансформированных сообщений увеличивается на 1
16	Если условия 13 и 14 не выполняются, то счетчик правильных сообщений и счетчик переданных сообщений увеличиваются на 1, и программа переходит ко входу в условие цикла 3
17	При невыполнении условия цикла 3 осуществляется расчет значений вероятностей согласно формулам
18	Вывод значений на выходные дисплеи программы

---