Файл: Методы сортировки данных и ее эволюции.pdf

После нулевого прохода по массиву "вверху" оказывается самый "легкий" элемент - отсюда аналогия с пузырьком. Следующий проход делается до второго сверху элемента, таким образом второй по величине элемент поднимается на правильную позицию...

Делаем проходы по все уменьшающейся нижней части массива до тех пор, пока в ней не останется только один элемент. На этом сортировка заканчивается, так как последовательность упорядочена по возрастанию.

Среднее число сравнений и обменов имеют квадратичный порядок роста: Theta(n2), отсюда можно заключить, что алгоритм пузырька очень медленен и малоэффективен.
Тем не менее, у него есть громадный плюс: он прост и его можно по-всякому улучшать. Чем мы сейчас и займемся. [14]

Во-первых, рассмотрим ситуацию, когда на каком-либо из проходов не произошло ни одного обмена. Что это значит ?

Это значит, что все пары расположены в правильном порядке, так что массив уже отсортирован. И продолжать процесс не имеет смысла(особенно, если массив был отсортирован с самого начала !).

Итак, первое улучшение алгоритма заключается в запоминании, производился ли на данном проходе какой-либо обмен. Если нет - алгоритм заканчивает работу.

Процесс улучшения можно продолжить, если запоминать не только сам факт обмена, но и индекс последнего обмена k. Действительно: все пары соседих элементов с индексами, меньшими k, уже расположены в нужном порядке. Дальнейшие проходы можно заканчивать на индексе k, вместо того чтобы двигаться до установленной заранее верхней границы i.

Качественно другое улучшение алгоритма можно получить из следующего наблюдения. Хотя легкий пузырек снизу поднимется наверх за один проход, тяжелые пузырьки опускаются со минимальной скоростью: один шаг за итерацию. Так что массив 2 3 4 5 6 1 будет отсортирован за 1 проход, а сортировка последовательности 6 1 2 3 4 5 потребует 5 проходов.

Чтобы избежать подобного эффекта, можно менять направление следующих один за другим проходов. Получившийся алгоритм иногда называют "шейкер-сортировкой".

Насколько описанные изменения повлияли на эффективность метода ? Среднее количество сравнений, хоть и уменьшилось, но остается O(n2), в то время как число обменов не поменялось вообще никак. Среднее(оно же худшее) количество операций остается квадратичным. [3]

Для нахождения наименьшего элемента из n+1 рассматримаемых алгоритм совершает n сравнений. С учетом того, что количество рассматриваемых на очередном шаге элементов уменьшается на единицу, общее количество операций:

n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 1 = 1/2 * ( n2+n ) = Theta(n2).

Таким образом, так как число обменов всегда будет меньше числа сравнений, время сортировки растет квадратично относительно количества элементов.

Алгоритм не использует дополнительной памяти: все операции происходят "на месте".

Устойчив ли этот метод ? Прежде, чем читать далее, попробуйте получить ответ самостоятельно.

Сортировка вставками

Сортировка простыми вставками в чем-то похожа на вышеизложенные методы.

Аналогичным образом делаются проходы по части массива, и аналогичным же образом в его начале "вырастает" отсортированная последовательность...

Однако в сортировке пузырьком или выбором можно было четко заявить, что на i-м шаге элементы a[0]...a[i] стоят на правильных местах и никуда более не переместятся. Здесь же подобное утверждение будет более слабым: последовательность a[0]...a[i] упорядочена. При этом по ходу алгоритма в нее будут вставляться (см. название метода) все новые элементы.

Будем разбирать алгоритм, рассматривая его действия на i-м шаге. Как говорилось выше, последовательность к этому моменту разделена на две части: готовую a[0]...a[i] и неупорядоченную a[i+1]...a[n]. [13]

На следующем, (i+1)-м каждом шаге алгоритма берем a[i+1] и вставляем на нужное место в готовую часть массива. 
Поиск подходящего места для очередного элемента входной последовательности осуществляется путем последовательных сравнений с элементом, стоящим перед ним.

В зависимости от результата сравнения элемент либо остается на текущем месте(вставка завершена), либо они меняются местами и процесс повторяется.

Таким образом, в процессе вставки мы "просеиваем" элемент x к началу массива, останавливаясь в случае, когда

Hайден элемент, меньший x или

Аналогично сортировке выбором, среднее, а также худшее число сравнений и пересылок оцениваются как Theta(n2), дополнительная память при этом не используется.

Хорошим показателем сортировки является весьма естественное поведение: почти отсортированный массив будет досортирован очень быстро. Это, вкупе с устойчивостью алгоритма, делает метод хорошим выбором в соответствующих ситуациях.

Алгоритм можно слегка улучшить. Заметим, что на каждом шаге внутреннего цикла проверяются 2 условия. Можно объединить из в одно, поставив в начало массива специальный сторожевой элемент. Он должен быть заведомо меньше всех остальных элементов массива.

Тогда при j=0 будет заведомо верно a[0] <= x. Цикл остановится на нулевом элементе, что и было целью условия j>=0.

Таким образом, сортировка будет происходить правильным образом, а во внутреннем цикле станет на одно сравнение меньше. С учетом того, что оно производилось Theta(n2) раз, это - реальное преимущество. Однако, отсортированный массив будет не полон, так как из него исчезло первое число. Для окончания сортировки это число следует вернуть назад, а затем вставить в отсортированную последовательность a[1]...a[n].

// сортировка вставками со сторожевым элементом

Функция setmin(T& x) должна быть создана пользователем. Она заменяет x на элемент, заведомо меньший(меньший или равный, если говорить точнее) всех элементов массива. [4]

Сортировка Шелла

Сортировка Шелла является довольно интересной модификацией алгоритма сортировки простыми вставками.

Рассмотрим следующий алгоритм сортировки массива a[0].. a[15].

1. Вначале сортируем простыми вставками каждые 8 групп из 2-х элементов (a[0], a[8[), (a[1], a[9]), ... , (a[7], a[15]).

2. Потом сортируем каждую из четырех групп по 4 элемента (a[0], a[4], a[8], a[12]), ..., (a[3], a[7], a[11], a[15]).

В нулевой группе будут элементы 4, 12, 13, 18, в первой - 3, 5, 8, 9 и т.п.

3. Далее сортируем 2 группы по 8 элементов, начиная с (a[0], a[2], a[4], a[6], a[8], a[10], a[12], a[14]).

4. В конце сортируем вставками все 16 элементов.

Очевидно, лишь последняя сортировка необходима, чтобы расположить все элементы по своим местам. Так зачем нужны остальные ?

Hа самом деле они продвигают элементы максимально близко к соответствующим позициям, так что в последней стадии число перемещений будет весьма невелико. [12]

Единственной характеристикой сортировки Шелла является приращение - расстояние между сортируемыми элементами, в зависимости от прохода. В конце приращение всегда равно единице - метод завершается обычной сортировкой вставками, но именно последовательность приращений определяет рост эффективности.

Использованный в примере набор ..., 8, 4, 2, 1 - неплохой выбор, особенно, когда количество элементов - степень двойки. Однако гораздо лучший вариант предложил Р.Седжвик. Его последовательность имеет вид

При использовании таких приращений среднее количество операций: O(n7/6), в худшем случае - порядка O(n4/3).

Обратим внимание на то, что последовательность вычисляется в порядке, противоположном используемому: inc[0] = 1, inc[1] = 5, ... Формула дает сначала меньшие числа, затем все большие и большие, в то время как расстояние между сортируемыми элементами, наоборот, должно уменьшаться. Поэтому массив приращений inc вычисляется перед запуском собственно сортировки до максимального расстояния между элементами, которое будет первым шагом в сортировке Шелла. Потом его значения используются в обратном порядке.

Часто вместо вычисления последовательности во время каждого запуска процедуры, ее значения рассчитывают заранее и записывают в таблицу, которой пользуются, выбирая начальное приращение по тому же правилу: начинаем с inc[s-1], если 3*inc[s] > size

ГЛАВА 2. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ СОРТИРОВКИ

2.1 Практика сортировки данных в Excel

Сортировка в Excel — это встроенная функция анализа данных. С помощью нее можно выставить фамилии в алфавитном порядке, отсортировать средний балл абитуриентов по возрастанию или убыванию, задать порядок строк в зависимости от цвета или значка и т.д. Также с помощью этой функции можно быстро придать таблице удобный вид, что позволит пользователю быстрее находить необходимую информацию, анализировать ее и принимать решения. [5]

Существует два способа открыть меню сортировки:

Щелкнуть правой кнопкой мыши по таблице. Выбрать «Сортировку» и способ.

Открыть вкладку «Данные» - диалоговое окно «Сортировка».

Часто используемые методы сортировки представлены одной кнопкой на панели задач:

Сортировка таблицы по отдельному столбцу:

Чтобы программа правильно выполнила задачу, выделяем нужный столбец в диапазоне данных.

Далее действуем в зависимости от поставленной задачи. Если нужно выполнить простую сортировку по возрастанию/убыванию (алфавиту или обратно), то достаточно нажать соответствующую кнопку на панели задач. Когда диапазон содержит более одного столбца, то Excel открывает диалоговое окно вида:Чтобы сохранилось соответствие значений в строках, выбираем действие «автоматически расширить выделенный диапазон». В противном случае отсортируется только выделенный столбец – структура таблицы нарушится.

Если выделить всю таблицу и выполнить сортировку, то отсортируется первый столбец. Данные в строках станут в соответствии с положением значений в первом столбце. [11]

СОРТИРОВКА ПО ЦВЕТУ ЯЧЕЙКИ И ПО ШРИФТУ

Программа Excel предоставляет пользователю богатые возможности форматирования. Следовательно, можно оперировать разными форматами.

Сделаем в учебной таблице столбец «Итог» и «зальем» ячейки со значениями разными оттенками. Выполним сортировку по цвету:

Выделяем столбец – правая кнопка мыши – «Сортировка».

Из предложенного списка выбираем «Сначала ячейки с выделенным цветом».

Соглашаемся «автоматически расширить диапазон».

Программа отсортировала ячейки по акцентам. Пользователь может самостоятельно выбрать порядок сортировки цвета. Для этого в списке возможностей инструмента выбираем «Настраиваемую сортировку».

В открывшемся окне вводим необходимые параметры:

Здесь можно выбрать порядок представления разных по цвету ячеек.

По такому же принципу сортируются данные по шрифту.

СОРТИРОВКА В EXCEL ПО НЕСКОЛЬКИМ СТОЛБЦАМ

Как задать порядок вторичной сортировки в Excel? Для решения этой задачи нужно задать несколько условий сортировки.

Открываем меню «Настраиваемая сортировка». Назначаем первый критерий.

Нажимаем кнопку «Добавить уровень».

Появляются окошки для введения данных следующего условия сортировки. Заполняем их.

Программа позволяет добавить сразу несколько критериев чтобы выполнить сортировку в особом порядке.

СОРТИРОВКА СТРОК В EXCEL

По умолчанию сортируются данные по столбцам. Как осуществить сортировку по строкам в Excel:

В диалоговом окне «Настраиваемой сортировки» нажать кнопку «Параметры».

В открывшемся меню выбрать «Столбцы диапазона».

Нажать ОК. В окне «Сортировки» появятся поля для заполнения условий по строкам.

Таким образом выполняется сортировка таблицы в Excel по нескольким параметрам. [6]