1.12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации.

До сих пор мы обсуждали рыночную цену облигации в момент t = 0 – момент покупки облигации. Рассмотрено влияние трех важнейших факторов на цену облигации – внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения. Установлено, что мерой чувствительности цены облигации к изменению процентных ставок на рынке является дюрация облигации, а показатель выпуклости показывает насколько точно дюрация оценивает эту чувствительность.

Проблема оценки облигации существует не только тогда, когда облигация покупается или продается на рынке, но и когда она находится у владельца. Для оценки стоимости облигации через t лет после покупки, где t [0, T], T лет – срок до погашения облигации, используется понятие стоимости инвестиции в момент t.

Рассмотрим облигацию, по которой через t₁, t₂,…, t_n = T лет от текущего момента времени t = 0 обещают выплатить денежные суммы С₁, С₂,…,С_n соответственно.

Определение. Стоимость инвестиции в облигацию в момент t [0, T] – это стоимость потока платежей по облигации С₁, С₂,…,С_n в момент t.

Напомним, что определение стоимости потока платежей в момент t приведено в параграфе 1.4. Обозначим стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки через P(t). Как следует из определения, P(t) - это сумма всех членов потока платежей по облигации, приведенных к моменту времени t. Пусть t₁, t₂,…, t_m, t_{m + 1},…, t_n – моменты поступления платежей С₁, С₂,…, С_m , С_m+1,…, С_n соответственно и t [t_m, t_{m + 1}]. Тогда

, (12.1)

где F(t_k, t) - множитель наращения k – го платежа на временном отрезке [t_k, t], k = 1, 2,. .., m; ν(t, t_k) - дисконтный множитель k – го платежа на отрезке [t, t_k], k = m + 1,…, n.

Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию в момент t имеет две составляющие – результат реинвестирования поступивших до момента t платежей по облигации:

R_t =

и рыночную цену облигации в момент t:

P_t = .

Как следует из этих выражений, стоимость инвестиции в момент t = 0 - это рыночная цена покупки облигации, т.е. P(0) = P.

Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки получают, исходя из следующих предположений:

1) все платежи, полученные от облигации до момента t, реинвестируются;

2) в момент t облигации данного выпуска имеются на рынке. Облигация, купленная t лет назад, может быть продана на рынке по существующей на этот момент времени рыночной цене P_t .

Тогда

P(t) = R_t + P_t . (12.2)

Очевидно, что R_t определяется набором годовых безрисковых ставок для инвестиций на сроки (t – t₁), (t – t₂) лет и т.д. для всех платежей по облигации до момента t. Рыночная цена P_t определяется количеством оставшихся до погашения платежей по облигации и временной структурой процентных ставок на момент t по временному диапазону (T – t) лет.

Рассмотрим облигацию, по которой через t₁, t₂,…, t_m, t_{m + 1},…, t_n лет от текущего момента времени t = 0 обещают выплатить денежные суммы С₁, С₂,…, С_m , С_m+1,…, С_n соответственно. Пусть t [ t_m, t_{m + 1}]. Тогда

---

R_t = , (12.3)

P_t = , (12.4)

где r(t – t₁), …, r(t – t_m) – годовые безрисковые процентные ставки для инвестирования на (t – t₁), …, (t – t_m) лет соответственно в моменты t₁, t₂,…, t_m;

r(t_{m + 1} - t), …, r(t_n - t) – годовые безрисковые процентные ставки для инвестирования на (t_m+1 - t), …, (t_n - t) лет соответственно в момент t.

Пример 12.1. Дана облигация со следующим потоком платежей на момент покупки (t = 0):

Срок, годы	1	2	3	4	5	6
Платеж, д.е.	20	20	20	15	15	135

Определить стоимость инвестиции в эту облигацию через 3,5 года после покупки для безрисковых процентных ставок, приведенных в таблице:

Ставка, %	17	16	15	15	15,5	16
Срок инвестирования, годы	2,5	1,5	0,5	0,5	1,5	2,5
Момент инвестирования	1	2	3	3,5	3,5	3,5

Результат реинвестирования поступивших до момента t = 3,5 платежей по облигации составляет

R_t = 20(1 + 0,17)^2,5 + 20(1 + 0,16)^1,5 + 20(1 + 0,15)^0,5 = 76,0486 (д.е.)

Рыночная стоимость облигации через 3,5 года после ее покупки будет

P_t = = 119,2231(д.е.)

Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию через 3,5 года после ее покупки составит 76,0486 + 119,2231 = 195,2717 (д.е.).

Теперь предположим, что в момент покупки облигации t = 0 временная структура процентных ставок такова, что безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Рассмотрим стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки для двух случаев:

1) временная структура процентных ставок остается неизменной до погашения облигации;

2) сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки для всех сроков мгновенно изменились на одну и ту же величину и стали равными , а затем уже не менялись.

Стоимость инвестиции в облигацию в момент t в первом случае называют планируемой и обозначают через P(r,t), во втором случае – фактической и обозначают через P( , t).

Свойства планируемой и фактической стоимостей инвестиции.

1. P(r, t) и P( , t) – непрерывные возрастающие функции времени:

P(r, t) = , (12.5)

P( , t) = . (12.6)

Действительно, согласно (12.2),

P(r, t) = R_t(r) + P_t(r).

Здесь R_t(r) – результат реинвестирования на момент t поступивших до этого момента платежей от облигации по ставке r, P_t(r) – планируемая рыночная цена облигации через t лет после покупки. Пусть t₁, t₂,…, t_m, t_{m + 1},…, t_n – моменты поступления платежей С₁, С₂,…, С_m , С_m+1,…, С_n соответственно и t  [t_m, t_m+1]. Тогда планируемая стоимость инвестиции

P(r, t) = + =

= = .

Здесь

P(r) =

– рыночная цена покупки облигации в момент t = 0, соответствующая существующей на этот момент времени временной структуре процентных ставок.

Фактическая стоимость инвестиции в момент t согласно (12.2), равна

P( , t) = R_t( ) + P_t( ).

Здесь R_t( ) – результат реинвестирования на момент t поступивших до этого момента платежей от облигации по ставке , P_t( ) – фактическая рыночная цена облигации через t лет после покупки. Выражение (12.6) для фактической стоимости инвестиции получаем аналогично:

---

P( , t) = + =

= = .

Здесь

P( ) =

– оценка облигации на момент t = 0, соответствующая новой временной структуре процентных ставок сразу после покупки облигации.

(12.5) и (12.6) – это показательные функции времени, основания которых больше единицы. Из элементарной математики известно, что такая функция является непрерывной и возрастающей.

2. Существует и притом единственный момент времени t*, когда фактическая стоимость инвестиции равна планируемой.

Доказательство. Пусть > r. Рассмотрим момент t = 0. Тогда P( ) < P(r) (см. зависимость цена – доходность, теорема 9.1), или

P( , 0) < P(r, 0). (12.7)

Рис. 1.12.1

Рассмотрим теперь момент погашения облигации t = t_n. Тогда

P(r, t_n) = ,

P( , t_n) = .

Так как > r, то

P( , t_n) > P(r, t_n). (12.8)

Из неравенств (12.7) и (12.8) следует, что существует такой момент времени t*, когда P( , t*) = P(r, t*). Покажем, что момент t* является единственным. Предположим, что равенство стоимостей достигается в точках τ₁ и τ₂. Следовательно

P( ,τ₁) = P(r, τ₁) и P( ,τ₂) = P(r, τ₂).

= и = .

Тогда

.

Отсюда τ₁ = τ₂ = t*.

Рис. 1.12.2

Случай, когда < r, доказывается аналогично. Найдем t*.

P( , t*) = P(r, t*),

= ,

.

Отсюда

t* = . (12.9)

3. Теорема 12.1 (об иммунизирующем свойстве дюрации облигации).

Пусть D = D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, t = D, фактическая стоимость инвестиции в облигацию не меньше планируемой, т.е.

P( , D) P(r, D) (12.10)

для любых значений .

Доказательство. Если после покупки облигации временная структура процентных ставок не изменилась, то = r и P( , D) = P(r, D).

Если сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки изменились и стали равными , то в момент t = D фактическая стоимость инвестиции в облигацию P( , D) является функцией . Согласно (12.6),

P( , D) = .

Продифференцируем это выражение по :

.

Так как = (см. параграф 1.11), то

.

Пусть > r. Тогда по свойству 3 дюрации облигации D( ) < D(r) = D. Отсюда P( , D)^/ > 0. Значит, P( , D) – возрастающая функция . Следовательно,

P(r, D) < P( , D).

Если < r, то D( ) > D(r) = D. Тогда P( , D)^/ < 0. Значит, P( , D) – убывающая функция . Следовательно,

P( , D) > P(r, D). (12.11)

Таким образом, при любых значениях выполняется неравенство (12.10). Заметим, что при ≠ r неравенство является строгим, т.е. имеет вид (12.11). Теорема доказана.

Замечание. На основании доказанной теоремы можно сформулировать иммунизирующее свойство дюрации облигации. Пусть в момент инвестирования t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, инвестиция в облигацию иммунизирована (защищена) против изменений безрисковых процентных ставок сразу после t = 0 на одну и ту же величину (или до момента t₁ – первого платежа по облигации, в чем несложно убедиться). Таким образом, иммунизирующее свойство дюрации облигации имеет место при условии горизонтальности кривой доходностей и параллельности ее сдвигов.

---

Следствие. Пусть D = D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r, а r₁ и r₂ – безрисковые процентные ставки сразу после t = 0. Тогда если r₁ < r < r₂, то

t*(r₂) < D < t*( r₁). (12.12)

Доказательство. Рассмотрим r₁ < r. Согласно теореме

P(r₁, D) > P(r, D).

Так как P(r₁, D) = P(r₁)(1 + r₁)^D и P(r, D) = P(r)(1 + r)^D, то

P(r₁)(1 + r₁)^D > P(r)(1 + r)^D.

Отсюда

,

.

Так как r₁ < r, то P(r₁) > P(r), , . Тогда

D < = t*(r₁).

Аналогично доказывается вторая часть неравенства (12.12).

Рис. 1.12.3

Пример 12.2. Дана 10% - ная купонная облигация номиналом 100 д.е., по которой ежегодно обещают производить купонные выплаты в течение трех лет. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 10% годовых. Сразу после покупки облигации процентные ставки а) снизились до 9% годовых; б) увеличились до 11 % годовых. Найти:

1) планируемую и фактическую стоимость инвестиции в облигацию в момент времени, равный дюрации облигации;

2) моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают.

В таблице приведены расчеты цены P(r) и дюрации облигации D = D(r) на момент покупки облигации, где r = 10% годовых, а также величин P(r₁) и P(r₂), где r₁ = 9%, r₂ = 11% годовых.

Номер платежа	Срок платежа ti	Сумма платежа Ci	Ci(0)				ti
			r = 0,1	r1 = 0,09	r2 = 0,11
1	1	10	9,0909	9,1743	9,0090	0,09091	0,09091
2	2	10	8,2645	8,4168	8,1162	0,08264	0,16529
3	3	110	82,6446	84,9402	80,4311	0,82645	2,47934
		Сумма	100,0000	102,5313	97,5563	1,00000	2,73554

Таким образом, дюрация облигации в момент ее покупки D = 2,73554 лет. Цена покупки P(0,1) = 100,00 д.е. Величины P(0,09) = 102,5313 д.е. и P(0,11) = 97,5563 д.е. – оценки облигации на момент t = 0, соответствующие новой временной структуре процентных ставок после t = 0. Тогда планируемая стоимость инвестиции в облигацию на момент времени t = D равна

P(0,1; D) = P(0,1)(1 + 0,1)^D = 129,7870.

Фактические стоимости

P(0,09; D) = P(0,09)(1 + 0,09)^D = 129,7891.

P(0,11; D) = P(0,11)(1 + 0,11)^D = 129,7891.

В обоих случаях фактическая стоимость инвестиции в момент t = D больше планируемой. В первом случае в момент t = D снижение ставки реинвестирования компенсировано ростом рыночной цены облигации в момент t = D по сравнению с планируемой. Во втором случае снижение рыночной цены в момент t = D вследствие роста процентных ставок компенсировано возросшей ставкой реинвестирования по сравнению с планируемой.

2) Моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают, равны соответственно

t*(0,09) = = 2,73726

t*(0,11) = = 2,73381.

Таким образом, t*(0,11) < D < t*(0,09).

---