Файл: Разработка модуля для выполнения операций с натуральными числами в 16-ричной системе счисления.pdf

Введение

Современные люди пользуются десятичной системой счисления. Такой метод счета устоялся скорее всего благодаря количеству пальцев на кистях рук человека. Десятичная система привычна и удобна, она используется нами повсеместно при счете, совершении вычислений. Есть множество других систем счисления, применение которых более уместно в конкретных сферах деятельности.

Одной из таких систем является шестнадцатеричная. Она используется в современной вычислительной технике, в том числе и в низкоуровневом программировании. Так уж сложилось, что последовательности байтов^[1] – единиц, из которых состоит любая информация записанная в современном компьютере, удобно записывать в виде пар шестнадцатеричных чисел. Также, работа над любыми компьютерными данными, для которых отсутствует понятное человеку представление, зачастую производится именно в шестнадцатеричном представлении с помощью соответствующей программы^[2].

Обычно, при необходимости выполнить математические операции над шестнадцатеричными числами (например, смешать два цвета, записанных в шестнадцатеричном коде, или рассчитать адрес ячейки памяти в компьютере), не имея программы с подходящим функционалом под рукой, их переводят в десятичную систему. Затем, после произведенных вычислений, результат переводится обратно в шестнадцатеричную систему. Этот процесс занимает время, и его следует упростить, с помощью специализированного программного модуля.

Цель данной курсовой работы заключается в разработке модуля для выполнения операций с натуральными числами в 16-ричной системе счисления.

Так как в различных системах и платформах метод записи отрицательного и вещественного числа варьируется, изначально рассматриваются операции только с множеством натуральных чисел, начиная с нуля.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• Исследование предметной области
• Выбор средств разработки
• Разработка пользовательского интерфейса
• Разработка логической составляющей

Исследование предметной области

Системы счисления

Система счисления – это совокупность правил записи чисел с помощью определенного набора символов.^[3]

Общепринятой позиционной системой счисления является десятичная. Причина, по которой она оказалась общепринятой, совсем не математического характера. Десять пальцев рук — вот тот первоначальный аппарат для счета, которым человек пользовался с доисторических времен.

---

Исторически десятичная система счисления сложилась и развивалась в Индии. Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне. Возникновение и развитие десятичной системы счисления явилось одним из важнейших достижений человеческой мысли (наряду с появлением письменности).^[4]

Существуют непозиционные и позиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число.

Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.^[5]

Основанием подобной системы может быть любое натуральное число g, большее 1; т.е. может быть двоичная, троичная, 21-ричная СС и т.д.^[6] Основание позиционной системы счисления обозначается так: 1011₂, 28₁₀, 103_g.

В общем случае любое число N в позиционной системе счисления можно представить в следующем виде:

N_g = a_k*p^k + a_k-1*p^k-1 + … + a₁*p¹ + a₀*p⁰ + a_-1*p^-1 + … + a_-n*p^-n

Где g – основание системы счисления; k+1 – количество разрядов в целой части числа; n – количество разрядов в дробной части числа. Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

• положительные значения индексов – для целой части числа;
• отрицательные значения индексов – для дробной части числа.^[7]

Позиционные системы счисления имеют ряд преимуществ перед непозиционными: удобство выполнения арифметических и логических операций, а также представление больших чисел, поэтому в цифровой технике применяются позиционные системы счисления.^[8]

Представление данных в компьютерах

Объектом хранения, передачи и переработки в компьютере является информация, представленная в виде данных — чисел и текста. Это качественно различные виды данных, но принципы работы компьютера и с теми, и с другими довольно сходные. Суть в том, что для представления информации в компьютере используется некоторый фиксированный набор символов.

---

Каждый символ такого набора представляется определенным числом (кодом), причем в разных типах ЭВМ используются разные способы кодирования, т.е. одним и тем же символам сопоставляются различные числовые коды. ^[9]

Процессор компьютера работает с данными, представленными в двоичной системе счисления, поэтому двоичная СС для нас представляет наибольший интерес. В этой системе для записи чисел используются только две цифры: 0 и 1.^[10]

Использование двоичной системы счисления позволило упростить создание логических схем и методы хранения данных.

На таблице 1 изображено сопоставление десятичных натуральных чисел с их записью в двоичной системе счисления.

Таблица 1

Десятичная система	Двоичная система
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111

В действительности, методы записи чисел в компьютерах немного отличается, и варьируются в зависимости от типа представляемого числа и используемой компьютером архитектуры.

Для целых чисел, как правило, используется не менее одного байта (8 бит), так как он является минимальным количеством информации, на которое может ссылаться компьютер, обращаясь к ячейкам памяти. Если нужно чтобы число могло принимать негативные значения, то для определения знака используется старший бит. При этом, хоть и общее количество возможных значений не изменяется, максимально возможное значение числа по модулю уменьшается вдвое (таблица 2).

Таблица 2

Размер (байт)	Тип	Диапазон значений
1	Неотрицательное	0 … 255
1	Со знаком	-128 … 127
2	Неотрицательное	0 … 65535
2	Со знаком	-32768 … 32767
4	Неотрицательное	0 … 4294967295
4	Со знаком	-2147483648 … 2147683647

Целые числа используются и для кодирования символов текста. На таблице 3 изображен пример текста, записанного в кодировке UTF-8, в которой для каждого символа отдается 8 бит.

---

Таблица 3

Текст	Двоичная запись в UTF-8
Text	01010100 01100101 01111000 01110100

Для представления вещественных (дробных) чисел, используется более комплексный метод.

Такие числа хранятся в памяти компьютера в виде двух частей. Одна часть представляет значение, а другая – масштабный коэффициент, который увеличивает или уменьшает значение. Рассмотрим следующую аналогию. Предположим, что есть два числа: 34.1245 и 34124.5. Они идентичны друг другу за исключением масштабного коэффициента. Первое значение можно представить как 0.341245 (базовое значение) и 100 (масштабный коэффициент). Второе значение можно представить как 0.341245 (такое же базовое значение) и 100000 (больший масштабный коэффициент).

Масштабный коэффициент предназначен для перемещения десятичной точки, откуда и пошел термин плавающая точка.^[11]

В компьютерах используется похожий способ представления чисел с плавающей точкой, но с единственным отличием – он основан на двоичных числах, и масштаб производится с помощью множителя 2, а не 10.

Под числа с плавающей точкой, как правило отдается не менее чем 4 байта. С увеличением памяти выделенной под число, повышается максимальная точность представления числа и расширяется общий диапазон возможных значений.

Таблица 4

Размер (байт)	Диапазон значений
4	3.4 * 10-38 … 3.4 * 1038
8	1.7 * 10-308 … 1.7 * 10308
10	3.4 * 10-4932 … 3.4 * 104932

Использование шестнадцатеричного представления

Один байт можно закодировать в виде двузначного шестнадцатеричного числа, чем и воспользовались инженеры и программисты, обеспечив себе более компактное и удобное представление информации (таблица 5).

Таблица 5

Двоичная запись	Шестнадцатеричная запись
01010100 01100101 01111000 01110100	54 65 78 74

Любой hex^[12]-редактор позволяет исследовать и модифицировать файл на низком уровне, оперируя с битами и байтами. Содержание файла представляется в шестнадцатеричной форме (рисунок 1). Это базовый функционал. Однако некоторые редакторы предлагают пользователям намного большее, позволяя разобраться, собственно, что есть что в том непонятном наборе символов, который появляется при открытии файла. Для этого автоматически извлекаются ASCII и Unicode строки, осуществляется поиск известных паттернов, выполняется распознавание основных структур данных и многое другое.^[13]

---

Рисунок 1

Шестнадцатеричная система используется и при кодирования цвета в так называемый «Hex код» в модели RGB^[14], в котором цвет представлен тремя байтами для каждого из трех основных цветов (таблица 6).

Таблица 6

Цвет	Hex код
Красный	FF0000
Желтый	FFFF00
Белый	FFFFFF
Серый	808080
Черный	000000
Травяной	5DA130

Операции с натуральными числами

Понятие «натуральное число» не совсем неоднозначно. В математике существует как минимум два определения множества натуральных чисел:

• Числа, возникающие при подсчете (нумерации) объектов: 1, 2, 3 и т.д. В качестве примера подойдет фраза “Едем на третий этаж”. Область определения данного множества начинается с единицы, и уходит в плюс-бесконечность. Принято обозначать символом N (от лат. naturalis – естественный).
• Числа, используемые при обозначении количества однородных объектов: 0, 1, 2, 3 и т.д. В качестве примера подойдет фраза “На столе лежат шесть яблок”. Здесь область определения дополняется нулем. Обозначается N₀ или Z₀.

Система натуральных чисел не является полной, операции над её числами не всегда определены. К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными шестнадцатеричными числами относятся следующие арифметические операции:

• Сложение
• Умножение
• Возведение в степень

Дополнительно рассматривают еще две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет), поэтому необходимо соблюдать особые правила:

• Вычитание – уменьшаемое число должно быть больше или равно вычитаемому;
• Деление – делимое число должно делиться без остатка.

Выбор средств разработки

Сравнение языков программирования

Исходя из требований, представленных к разрабатываемому модулю (приложение 1, пункт 3 технического задания), для сравнения будут выбраны языки, используя которые можно достичь кроссплатформенной работы с минимальными изменениями кода программы под конкретную платформу и с минимальными затратами на отладку модуля в различных средах выполнения.^[15]

---