Файл: Основы П.Л Чебышева в теории механизмов.pdf

Биография П.Л. Чебышева

Пафнутий Львович родился в 1821 году, в имении матери своей, селе Окатове Калужской губернии, Боровского уезда. Получив дома первоначальное образование, многообещавший юноша, не побывав ни в одном из средних учебных заведений, выдержал экзамен прямо в московский университет.

Поступив в 1837 году на физико-математический факультет, Чебышев сразу обратил на себя внимание известного профессора Брашмана, который угадал в новом ученике своем будущее математическое светило, а потому начал старательно руководить его занятиями.

Окончив кандидатом курс в университете, в 1841 году, Чебышев, под руководством Брашмана, отдается всецело своим ученым трудам и упорно не покидает их в течение семи лет. Первое научное исследование математика вышло на французском языке, в 1845 году, и носит название "Sur des integrales definies". В следующем за тем году, для получения степени магистра, написал он диссертацию: "О теории вероятности", которую защищал в Москве, где и удостоен был вышеназванной ученой степени. В 1847 году Пафнутий Львович допущен был к защите диссертации "Об интегрировании иррациональных дифференциалов".

В 1847 году Чебышев утверждён в звании доцента и начинает читать лекции по алгебре и теории чисел в Петербургском университете, а уже в 1849 году Пафнутий Львович приобрел докторскую степень. Эту должность он занимал до старости.

Особенная заслуга Чебышева как университетского преподавателя состоит, по общим отзывам учеников его, в том, что он умел пробуждать в своих слушателях любовь к математическим исследованиям и руководить ими в научных занятиях. Ему обязана Россия образованием многих своих ученых в европейском смысле. Все молодые и сильные дарования по математике, которыми так богат был с шестидесятых годов Петербургский университет, получили развитие свое под руководством маститого профессора. Многие ученики его занимают, в настоящее время, кафедры в других русских университетах и служат науке учеными своими исследованиями. 

В 1849 году Пафнутий Львович приобрел докторскую степень Петербургского университета. В 1853 году он получил звание экстраординарного профессора Петербургского университета и выбран был, независимо от этого, в адъюнкты Академии Наук.

В 1857 году Чебышев получил звание ординарного профессора и усердно предался изучению механики, в области которой ему вскоре пришлось совершить массу полезных открытий. Лучшие его мемуары по механике следующие: 1) "О механических параллелограммах", 2) "О центробежных уравнителях", 3) "О зубчатых колесах" и другие. В 1859 году математик был выбран Академией Наук в ординарные академики по прикладной математике. В 1865 г. Берлинская академия избрала его своим членом-корреспондентом, а в 1874 году Парижская академия наук почтила его избранием в свои члены (associes), и таким образом Пафнутий Львович был первым русским ученым, удостоенным чести быть причисленным к составу членов французского института.

Лондонское королевское общество также избрало Чебышева своим членом. Из математических трудов Пафнутия Львовича в последние пятнадцать лет особенно выдаются его мемуары: "О функциях наиближе подходящих к нулю", "О разложении в ряды", "О наибольших и наименьших" и многие другие.

8 декабря 1894 года утром Пафнутий Львович Чебышев умер, сидя за письменным столом. Накануне был его приёмный день, и он сообщал ученикам планы своих работ и наводил их на мысли о темах для самостоятельного творчества.

Основные научные достижения

В своих произведениях Чебышев употреблял совершенно новые приемы для математических исследований, и посредством этих, до него неизвестных, приемов начал достигать тех счастливых и блистательных результатов, которые обессмертили его имя. Многочисленные труды, которые принесли Чебышеву известность в Европе и Америке, помещены им в изданиях академии наук и в математических журналах: Лиувилля (французском) и Крелле (немецком). Отдельными книгами на русском языке изданы: "Опыты элементарного анализа теории вероятностей" и "Теория сравнений". Для университетского акта 1856 года Пафнутий Львович написал трактат "О черчении географических карт", вскоре после того изданный в Париже на французском языке. Математические произведения нашего ученого отличаются своеобразностью приемов и разработкой таких вопросов, решение которых ранее либо вовсе не затрагивалось, либо представляло такие затруднения, которые не могли быть преодолены даже первостепенными геометрами. Особенные заслуги оказаны им преимущественно:

Отысканием пределов для числа, показывающего, сколько имеется простых чисел между двумя данными целыми числами: этим Чебышев сделал первый и решительный шаг к решению одного из труднейших вопросов теории чисел.

Определением условий, при которых интеграл алгебраической функции, содержащей радикал, выразим алгебраически или логарифмически: эти разъяснения Чебышева значительно дополняют те, которыми занимался гениальный Абель.

Изложением общей теории механизмов, известных под названием параллелограммов, представляющей особенно интерес решением аналитического вопроса: "найти тот вид изменения приблизительного значения данной функции, разложенной в ряд по степеням, приращения переменной, при которых погрешность, заключающаяся между двумя данными пределами, будет наименьшей". 

Изложением общего способа для решения вопросов подобного рода, т. е. нахождения вообще приблизительных выражений, которые давали бы для данной функции значение, поближе подходящее к истинному в данных пределах.

Исследованием о непрерывных дробях, раскрывающим новое и важное значение этих дробей, при расположении функций в ряды.

Интегрированием по способу наименьших квадратов, представляющему преимущество перед другими способами интегрирования в том отношении, что при удобстве вычисления, дает наиболее выгодное соединение результатов наблюдений.

Изысканием наибольших и наименьших сумм, составленных из значений целой функции и ее производных, — содержащим начало совершенно нового рода математического исчисления, сходного с вариационным.

Открытием остроумного механизма, заменяющего параллелограмм Витта и наиболее удовлетворяющего условию, необходимому для преобразования прямолинейного движения во вращательное.

Так же, как член военно-ученого комитета, Пафнутий Львович занимался различными предметами, относящимися к артиллерии, и в 1858 году производил опыты над стрельбой цилиндро-коническими ядрами особого вида.

Наиболее оригинальными, как по сущности вопроса, так и по методу решения, являются работы Чебышева «О функциях, наименее уклоняющихся от нуля». Важнейший из этих мемуаров — мемуар 1857 года под названием «Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions» (в «Мем. Акад. Наук»). Профессор Клейн в своих лекциях, прочитанных в Гёттингенском университете в 1901 году, называл этот мемуар «удивительным» (wunderbar). Его содержание вошло в классическое сочинение I. Bertrand Traité du Calcul diff. et integral. В связи с этими же вопросами находится и работа Чебышева «О черчении географических карт». Этот цикл работ считается основанием теории приближений. В связи с вопросами «о функциях, наименее уклоняющихся от нуля», находятся и работы Чебышева по практической механике, которой он занимался много и с большой любовью.

Следует отметить, что для самого Пафнутия Львовича интерес к практике оказался чрезвычайно плодотворным, так как многие его математические открытия были сделаны при решении прикладных задач. Так, например, изучение шарнирного механизма, известного под названием "параллелограмм Уатта", привело его к созданию основ теории наилучшего приближения функций многочленами, которая сейчас превратилась в широко развитую математическую область, имеющую большое прикладное значение…

В теории вероятностей Чебышеву удалось необычайно простыми средствами получить ряд весьма важных результатов. Многие результаты и выводы были только намечены, не доведены до конца, но все работы Чебышева в этой области явились той базой, на которой развилась русская школа теории вероятностей. 

Выдающееся значение для науки имели исследования П. Л. Чебышева в теории чисел. Впервые после Евклида удивительно остроумными и удивительно элементарными рассуждениями он получил важнейшие результаты в задачи о распределении простых чисел в работах "Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины" и "О простых числах".

Одной из наук, которой Пафнутий Львович интересовался всю жизнь, была теория механизмов и машин, причем Чебышев занимался не только теоретическими изысканиями в этой области, но и уделял большое внимание непосредственному конструированию конкретных механизмов.
Задолго до того, как советский "Луноход-1" проложил первую трассу на лунной поверхности, фантасты и ученые рассматривали различные варианты машин, которым будет суждено передвигаться по другим планетам. Большинство проектов сводилось к некоторому шагающему механизму. П. Л. Чебышев разработал вариант стопоходящей машины, имитирующей движение животного при ходьбе.

Много внимания уделял Чебышев вопросам народного образования, принимая активное участие в Ученом комитете 

Министерства просвещения.
    Труды ученого, его научная, педагогическая и просветительская деятельность, основанная им знаменитая Петербургская математическая школа, сыграли исключительно большую роль в развитии отечественной математики и механики. В 1944 году Академия наук СССР учредила премии имени П. Л. Чебышева за лучшие исследования в области математики и теории механизмов и машин.

Решение П. Л. Чебышевым проблемы синтеза (проектирования) механизмов

Задачи теории машин и механизмов очень разнообразны, но важнейшие из них можно сгруппировать по трём разделам: синтез механизмов, динамика машин и механизмов  и теория машин-автоматов.

Та часть проектирования машин, которая относится к выбору схемы и нахождению параметров этой схемы, обеспечивающих выполнение требуемых движений.
Задачи динамики механизмов состоят в исследовании движения отдельных частей (звеньев) механизма под действием внешних сил.

Рассматривает методы построения их схем по условиям согласованности работы отдельных механизмов и достижения оптимальной производительности, точности и надёжности машин-автоматов.

Разделение задач теории машин и механизмов на указанные три раздела в некоторой мере условное. Например, в синтезе механизмов учитываются не только кинематические, но и динамические условия; в динамике механизмов на основе исследования движения звеньев механизма даются рекомендации по выбору параметров механизма из условий получения оптимальных динамических характеристик, то есть выполняется динамический синтез; в теории машин-автоматов выбор исполнительных механизмов и их параметров основывается на методах синтеза механизмов, а критерии оптимальности схемы машины-автомата (в особенности схемы управления) часто определяются по динамическим показателям. Однако обзор проблем науки о машинах и механизмах по этим разделам даёт достаточно полное представление о её содержании.
Основы синтеза механизмов в его аналитической форме были заложены П.Л.Чебышевым в 19 веке. Исследуя его работы, можно представить всю последовательность решения задач синтеза механизмов в виде трёх этапов. 

Первый этап — выбор основного критерия синтеза и ограничивающих условий. Каждый механизм в зависимости от назначения и условий эксплуатации должен удовлетворять ряду требований, разнообразных по форме и содержанию. Некоторые из этих требований могут быть даже противоречивыми. Однако всегда можно установить, какое требование является решающим для правильной работы механизма, и в соответствии с этим выбрать основной критерий, по которому оценивается его качество. Основной критерий синтеза является функцией параметров механизма (называется также функцией-критерием, или целевой функцией), остальные требования к нему формулируются в виде ограничивающих условий на параметры. Другими словами, первый этап решения любой задачи синтеза — этап, на котором происходит формализация требований, предъявляемых к нему. На этом этапе задачи технологические и конструктивные превращаются в математические. 

Второй этап — установление аналитического выражения функции, характеризующей величину основного критерия синтеза. Выбор основного критерия определяется назначением механизма. Для некоторых механизмов его аналитическое выражение может оказаться очень сложным. Между тем существуют функции, которые имеют более простой вид и в то же время с достаточной для практики точностью характеризуют величину основного критерия. При этом необходимо только, чтобы погрешности от замены функции-критерия её приближённым выражением были меньше тех погрешностей, которые возникают в реальном механизме из-за неточностей изготовления его деталей, упругости звеньев и других причин. 

Третий этап — вычисление постоянных параметров механизма из условий оптимизации основного критерия с учётом ограничивающих условий (ограничений). В одних случаях эти условия выражаются в виде одного или нескольких уравнений и системы неравенств, из которых непосредственно находятся искомые параметры (точный синтез). В других случаях отыскиваются такие значения параметров, при которых отклонение функции-критерия от оптимального значения является достаточно малой величиной, удовлетворяющей условиям практического использования механизма (приближённый синтез). Для приближённого синтеза Чебышев предложил оригинальный метод вычисления искомых параметров механизма, который привёл в дальнейшем к созданию математической теории приближения функций.