Файл: Основы П.Л Чебышева в теории механизмов.pdf

Рисунок 1
Как известно, в общем случае всякое свободно движущееся в пространстве абсолютно твердое тело (рис. 1), положение которого определяется тремя произвольно выбранными точками А, В и С, обладает шестью степенями свободы. В самом деле, положение твердого тела в пространстве фиксируется координатами трех его точек А, В и С, т. е. девять

координатами: (х_А, у_А, z_A), (х_в, y_в, z_в) и (х_с, у_с, z_c). Между собой эти координаты связаны тремя условиями постоянства расстояний: А В, ВС, СА. Таким образом, число независимых параметров, определяющих положение твердого тела в пространстве, равно шести и тело обладает шестью степенями свободы. Движение такого тела может быть всегда представлено как вращение вокруг и перемещение вдоль трех произвольно выбранных взаимно перпендикулярных осей x, у и z.

Таким образом, в общем случае, твердое тело обладает в пространстве шестью видами независимых возможных движений: тремя вращениями вокруг осей x, у, z и тремя поступательными движениями вдоль тех же осей. Поэтому, если бы на движение первого звена кинематической пары, принятого за абсолютно твердое тело, не было наложено никаких условий связи, движение такого звена могло бы быть представлено состоящим из шести вышеуказанных движений относительно выбранной системы координат xyz, связанной со вторым звеном.»¹

Вхождение звена в кинематическую пару с другим звеном налагает на относительные движения этих звеньев условия связи. Очевидно, что число этих условий связи может быть только целым и должно быть меньше шести, так как уже в том случае, когда число условий связи равняется шести, звенья теряют относительную подвижность и кинематическая пара переходит в жесткое соединение двух звеньев. Точно так же число условий связи не может быть меньшим единицы, ибо в том случае, когда число условий связи равно нулю, звенья не соприкасаются, и, следовательно, кинематическая пара перестает существовать; в таком случае мы имеем два тела, движущиеся в пространстве одно независимо от другого.

Итак, число условий связи S, наложенных на относительное движение каждого звена кинематической пары, может располагаться в пределах от 1 до 5, т. е. 1 < S < 5. Следовательно, число степеней свободы W звена кинематической пары в относительном движении может быть выражено зависимостью

W = 6 — S (1)

Классификация кинематических пар проводится по числу наложенных связей:

S=1, W=5 – кинематическая пара 1 класса

S=2, W=4 – кинематическая пара 2 класса

S=3, W=3 – кинематическая пара 3 класса

S=4, W=2 – кинематическая пара 4 класса

S=5, W=1 – кинематическая пара 5 класса

Из равенства (1) следует, что число степеней свободы звена кинематической пары в относительном движении может изменяться также от 1 до 5.
Структура механизма
Механизмом также называется такая кинематическая цепь, в которой при заданном движении одного или нескольких звеньев относительно любого из них все остальные звенья совершают однозначно определяемые движения.
Как видно из этого определения, в любом механизме есть звено (или несколько звеньев), движение которого является заданным. Звено (звенья) механизма, которому сообщается движение, преобразуемое в требуемое движение других звеньев механизма, называется входным звеном (входными звеньями). Звено (звенья) механизма, совершающее требуемое движение, для которого предназначен механизм, называется выходным звеном (выходными звеньями).

Для сокращения входное звено заменяется термином «вход », а выходное звено — термином «выход».
Остальные подвижные звенья механизма называются соединительными или промежуточными.
В некоторых случаях принимают термин ведущее звено(звенья). Ведущим звеном называется звено, для которого сумма элементарных работ всех внешних сил, приложенных к нему, является положительной. Соответственно ведомым звеном называется звено, для которого сумма элементарных работ всех внешних сил, приложенных к нему, является отрицательной или равна нулю.

В большинстве случаев входное звено является и ведущим, но, конечно, могут быть случаи инверсии, когда входное звено становится ведомым.

Как это было указано выше, при кинематическом исследовании механизмов изучается их движение. Поэтому при изучении структуры и кинематики механизмов не обязательно в качестве входного звена выбирать то звено, к которому приложена внешняя сила, приводящая в движение механизм.

Таблицы классификации звеньев

По закону вращения звенья делятся на:

1. Кривошип- звено, имеющее общую кинематическую пару со стойкой и совершающее полный оборот вокруг своей оси.

2. Коромысло- звено, имеющее общую кинематическую пару со стойкой и не совершающее полный оборот вокруг своей оси.

3. Ползун- звено, имеющее общую кинематическую пару со стойкой и совершающее прямолинейное возвратно-поступательное движение.

4. Шатун- звено, не имеющее общих кинематических пар со стойкой и совершающее сложное плоскопараллельное движение.

5. Кулиса- звено, совершающее вращательное движение и несущее на себе другое звено, называемое кулисным камнем.

6. Кулисный камень

Рисунок 2

Звенья, соединенные с помощью кинематических пар, образуют кинематическую цепь.»²

замкнутая кинематическая цепь

- Кинематическая цепь, присоединенная к стойке

- Кинематическая цеп, присоединенная к двум стойкам

Структурная формула плоских механизмов

В общем случае число степеней свободы механизма W может быть определено по структурной формуле

W = 6n — 5p₅ — 4 р₄ — Зр₃ — 2 р₂ — p_1,

где n - число подвижных звеньев;

6n- общее число степеней свободы всех звеньев;

p₁, p₂, p₃, p₄ , p₅ – число кинематических пар от 1 до 5 класса;

W- степень подвижности механизма.

Применение этой формулы возможно только в том случае, если на движения звеньев, входящих в состав механизма, не наложено каких-либо общих дополнительных условий.
При рассмотрении плоских механизмов и составлении их структурных формул мы имеем в виду, что те степени свободы,которыми обладают звенья механизмов, и те условия связи, которые налагаются на движения звеньев вхождением их в кинематические пары, решают в совокупности вопрос об определенности движения механизма.

Необходимо отметить, что, кроме степеней свободы звеньев и связей, активно воздействующих на характер движения механизмов, в них могут встретиться степени свободы и условия связи, не оказывающие никакого влияния на характер движения механизма в целом. Удаление из механизмов звеньев и кинематических пар, которым эти степени свободы и условия связи принадлежат, может быть сделано без изменения общего характера движения механизма в целом. Такие степени свободы называются лишними степенями свободы, а связи — избыточными или пассивными связями.

В дальнейшем при изучении движения звеньев механизмов будем предполагать, что все лишние степени свободы и избыточные условия связи предварительно исключены из механизма удалением соответствующих звеньев, и будем учитывать в механизме только те связи и степени свободы, от которых зависит определенность его движения.

Структурная формула плоских механизмов в общем случае имеет следующий вид:

W = Зn — 2р₅ — p₄ (2)

Эта формула носит название формулы Чебышева.

Как видно из формулы (2), плоские механизмы могут быть образованы звеньями, входящими только в кинематические пары IV и V классов. Пары IV класса в плоских механизмах налагают одно условие связи на относительное движение ее звеньев. Пары V класса в плоских механизмах налагают два условия связи на относительное движение ее звеньев.

Из трех возможных относительных движений звеньев пар плоских механизмов вращательные и поступательные пары исключают по два движения. Вращательная пара исключает возможность поступательных движений вдоль двух осей, лежащих в плоскости движения звеньев. Поступательная пара исключает одно поступательное движение и одно вращательное (вокруг оси, перпендикулярной к плоскости движения звеньев).

В зависимости от числа W, стоящего в левой части формулы (2), мы можем получить плоские механизмы с одной, двумя, тремя и т. д. степенями свободы.

Формулы П.Л. Чебышева для механизма, превращающего качательное движение во вращательное

Рисунок 3

Для преобразования движения на плоскости простейшим средством представляется суставчатая система, составленная из линии, вращающейся около неподвижного центра, и линии, сочлененной с нею. Все точки первой линии могут двигаться только по концентрическим кругам; точки же второй линии могут двигаться по различным кривым, причем кривые, описываемые одновременно ее точками, значительно разнятся между собою по виду. Вследствие этого при движении одной из ее точек по какой-либо кривой в других точках ее получаются движения по кривым иного вида.

При таком преобразовании движения особенного внимания заслуживают точки второй линии, которых расстояния от оси сочленения ее с первою линией равны расстоянию этой оси от неподвижного центра вращения последней линии. Нетрудно показать, что при движении одной из таких точек по кривой, симметрической около оси, проходящей через неподвижный центр вращения, другая описывает кривую, имеющую то же свойство. Из этого видно, что всякая ломаная линия АВМ (рис 3), сочлененная с прямою ВС, вращающейся около неподвижного центра С, при равенстве АВ=ВМ=ВС,

доставляет средство преобразовывать движение по кривой, симметрической около оси, проходящей через центр С, в движение по кривой другого вида, имеющей то же свойство. Вид и положение последней кривой будет меняться при перемене угла АВМ и места центра вращения С, который, согласно вышесказанному, должен находиться на оси симметрии первой кривой.

Рисунок 4

Преобразовывая таким образом движение точки А, когда она представляет конец радиуса OA (рис.4), вращающегося около центра О,мы получаем суставчатую систему, в которой точка М описывает кривую, симметрическую около оси, проходящей через центр С. Если при этом расстояние центров С, О превосходит длину радиуса ОА, для него возможно сделать полный оборот около центра О, по окончании которого точка М возвращается на свое первоначальное место, описав некоторую сомкнутую линию, симметрическую около оси, проходящей через центр С.

Такое преобразование вращательного движения может иметь полезное применение там, где представляется надобность дать точке движение, к которому достаточно близко подходит движение точки М в рассматриваемой нами системе при каких-либо размерах ее частей положениях неподвижных центров вращения. Вся трудность в определении тех и других согласно с видом движения, которое желают получить.

Рассмотрим случаи, наиболее простые и чаще представляющиеся на практике, а именно, когда имеется в виду получить движение по кривой, которой некоторая часть, более или менее значительная, мало разнится от дуги круга или от прямой линии.

Моделирование механизма для преобразования качательного движения во вращательное

В приложении к книге П.Л. Чебышева «Избранные труды» приведены схема и расчеты для модели превращения качательного движения во вращательное.

Значение теории механизмов П.Л. Чебышева для дальнейшего развития науки

П. Л.Чебышеву удалось создать теорию механизмов, которой пользуются до сих пор при создании двигателей и различных механизмов. А появление ЭВМ дало возможность эффективно и быстро выполнять третий этап синтеза, определяя оптимальные сочетания параметров механизма и даже решая такие задачи синтеза, которые ранее не могли быть решены из-за сложности и трудоёмкости вычислений. В 1965—1972 для типовых задач синтеза механизмов были составлены программы вычислений на ЭВМ, позволяющие оптимизировать различные критерии и учитывать большое количество кинематических, динамических и конструктивных ограничений.