Добавлен: 28.11.2018
Просмотров: 8358
Скачиваний: 76
Указания исполнителю. Эта тема длинная и трудная. Не последнюю роль здесь играет то, что два центральных алгоритма нужно в какой-то степени принимать на веру. Однако, как это часто бывает в реальных задачах, главной проблемой является не кодирование программы, а выбор структур данных. Как представлять длинные числа? Обозначение [m, u] наводит на мысль, что всякое длинное число представляется парой аргументов длина и значение. Часть длина легко реализуется, но значение имеет, очевидно, переменную длину, и его трудно будет непосредственно хранить в памяти. Поэтому мы сделаем значение указателем на очень длинный вектор битов; тогда каждая пара будет иметь фиксированный размер. Однако имеющийся в нашем распоряжении вектор не настолько длинен, чтобы мы могли позволить себе использовать каждую его часть только по одному разу. Таким образом, нужна программа для сбора ненужной памяти. Сейчас мы фактически описали традиционную схему размещения цепочек.
Итак, в конечном итоге нам нужны кроме алгоритма умножения и деления следующие вспомогательные подпрограммы:
Выделение памяти. Получая величину длина в качестве аргумента, эта подпрограмма возвращает указатель в вектор битов, который может использоваться как значение. Начиная с бита, на который указывает значение, расположено длина битов, которые не будут использоваться ни для каких других целей.
Возврат памяти. Исходными данными для этой подпрограммы служит пара длина и значение. Связанная с ними память освобождается для повторного использования. Эту подпрограмму необходимо вызывать всякий раз, когда длина какой-либо переменной меняется.
Уплотнение памяти. Эта подпрограмма должна просмотреть всю используемую память и попытаться объединить неиспользуемые отрезки вектора битов в более длинные отрезки. Обычно подпрограмма уплотнения вызывается в тех случаях, когда подпрограмма выделения памяти не смогла найти достаточно длинную цепочку последовательных битов. Поскольку такая возможность может не потребоваться при решении коротких задач, эту подпрограмму можно запрограммировать позднее. Существует много способов хранения информации о неиспользуемой памяти.
Сдвиг. Исходными данными для подпрограммы служат длинное число и величина сдвига; результатом должно быть длинное число, сдвинутое вправо или влево на соответствующую величину. Эта операция отвечает умножению или делению на степень двойки.
Сложение. Исходными данными подпрограммы служат два длинных числа, а результатом должна быть их сумма в виде числа на один бит длиннее более длинного из операндов. Такое сложение можно выполнять так же, как вручную, двигаясь справа налево.
Вычитание. Эта подпрограмма аналогична подпрограмме сложения и выдает разность двух длинных чисел.
Подавление нулей. Исходными данными этой подпрограммы служит длинное число, а результатом должно быть более короткое длинное число, имеющее то же значение, но без старших нулей. Если окажется, что исходное число равно нулю, то результатом должно быть [1, 0].
Короткое умножение. Исходными данными служат два длинных числа длиной точно 32 бита; результатом должно быть их 64-разрядное произведение. Эту операцию можно выполнять справа налево, как в ручном методе.
Умножение длинного на короткое. Исходными данными служат длинное число и обычное число, по величине равное 64 или меньше; результатом должно быть их произведение в виде длинного числа. Эту операцию можно выполнять справа налево, как вручную.
Деление длинного на короткое. Исходными данными служат длинное число и обычное число, не превосходящее 64, а результатом должно быть длинное частное от деления длинного числа на короткое. Эту операцию можно выполнять слева направо, как это делается вручную.
Перевод. Исходными данными для этой подпрограммы является длинное число, а результатом должно быть то же число, записанное в десятичной системе на некотором устройстве вывода. При появлении потребности в более сложном выводе можно разработать более детальные спецификации подпрограммы перевода.
Развитие темы. Как только у нас появляется арифметика высокой точности, сразу же возникает много интересных задач. Одна из них — точное вычисление числа e. Ряд для e особенно прост:
где 0! = 1. Любой студент, изучающий математический анализ, может придумать еще очень много рядов и констант.
Тема 21: Оптимальные стратегии для игры с угадыванием
В игре, как и в музыкальном произведении, можно выделить тему и мотивы. Причина успеха самых удачных игр часто состоит в том, что они мастерски соединяют по-новому некоторые из давно известных принципов построения игр. Как и в музыке, старая идея, возрожденная в новом обличье, может выглядеть привлекательней, чем мешанина свежеиспеченных новых веяний. В середине 70-х годов широкую популярность в Англии получила игра великий комбинатор (Mastermind), и она, похоже, станет классикой. Вы и ваш компьютер получите большое удовольствие, сыграв в нее.
Правила великого комбинатора крайне просты. Один из игроков, загадывающий, записывает секретную комбинацию из любых четырех цифр от 1 до 6 (повторения допускаются), называемую кодом. Второй игрок, отгадывающий, пытается раскрыть код, высказывая разумные предположения, называемые пробами. Каждая проба, как и код, представляет собой произвольную комбинацию из четырех цифр в диапазоне от 1 до 6. Отгадывающий игрок сообщает пробу загадывающему, и тот должен ответить, сколько цифр в пробе совпадает с цифрами кода как по положению, так и по величине и сколько из остальных цифр пробы входят в код, но стоят на другом месте. Так, на пробу 1123 при коде 4221 будет получен ответ: «Одна цифра совпадает и стоит на том же месте, и еще одна совпадает, но стоит на другом месте». Тур игры продолжается до тех пор, пока отгадывающий не назовет пробу, в точности совпадающую с кодом, т. е. пока не отгадает код. После этого игроки меняются ролями и проводят еще один тур. Победителем считается тот из игроков, кто определит код противника за меньшее число проб. Хотя здесь не последнюю роль играет везенье, тем не менее игрок, систематически делающий правильные умозаключения из получаемой информации, должен иметь лучшие результаты по итогам нескольких партий. Практически вы должны пытаться выводить из ответов на ваши пробы отрицательные следствия относительно того, какие коды невозможны; психологические тесты показывают, что для многих людей это оказывается совсем не просто. В табл. 21.1 приведен один полный тур.
Таблица 21.1. Великий комбинатор. Пример партии
Код: 4651
|
Проба |
|
Кол-во точных попаданий |
Кол-во совпадений по значению |
|
1 |
2345 |
0 |
2 |
|
2 |
4516 |
1 |
3 |
|
3 |
5461 |
1 |
3 |
|
4 |
4165 |
1 |
3 |
|
5 |
4615 |
2 |
2 |
|
6 |
4651 |
4 |
Игра окончена |
Написать программу, имитирующую роль загадывающего, не составляет труда. Отгадывание головоломок, заданных машиной, — тоже развлечение, позволяющее отточить ум. Однако гораздо интереснее, если компьютер сможет выступать также и в роли отгадывающего, чтобы можно было сыграть несколько партий и определить победителя. Боб Кули из Lawrence Livermore Laboratory и Д. Кнут разработали довольно близкие стратегии, позволяющие ЭВМ достигнуть высокого класса игры. Центральное место в обеих стратегиях занимает идея пространства решений. Начальное пространство решений Р0 состоит из всех возможных кодов (и имеет, следовательно, б4 элементов); после i-й пробы Gi пространство Pi состоит из всех тех членов пространства Pi−1, которые не опровергаются ответом Ri. Иными словами, пространство Pi — это множество всех комбинаций, которые все еще могут быть кодом; задача отгадывающего — свести пространство к одному элементу.
Первая стратегия, предложенная Кули, несколько проще. Пробой Gi пусть будет любая случайно выбранная комбинация с одной повторяющейся цифрой, например 4311, 6552 или 1335. Выполните эту пробу и постройте пространство Pi на основе ответа Ri. Новая проба Gi+1 ищется по пространству Рi, i ≥ 1, путем поочередного сравнения всех комбинаций С из Pi с пробой Gi. В качестве следующей пробы выбирается наименеепохожая на Gi комбинация С. Мерой сходства служит число точных совпадений, а в случае равенства — число цифр, совпадающих по значению, но расположенных по-другому. Так, среди трех комбинаций 2641, 2356 и 1345 наиболее похожей на 2345 будет 1345, а 2641 — наименее похожей. Если имеется несколько наименее похожих комбинаций, то можно выбрать любую кандидатуру случайным образом. Тур прекращается, когда будет получен ответ «четыре точных попадания», и, разумеется, в случае пространства из одного элемента в качестве следующей пробы всегда надо брать этот элемент. Как показывают эксперименты, размеры пространства решений сокращаются после каждой пробы примерно в 4 раза и никогда не требуется более шести проб.
Вторая стратегия предложена Дональдом Кнутом. Он утверждает, что она минимизирует наибольшее число проб, необходимых для нахождения кода; никакой код не требует более пяти проб. В основе алгоритма лежит наблюдение, что нам хотелось бы сделать пространство Pi как можно меньше. Следовательно, мы выбираем пробу Gi, минимизирующую |Pi| по всем возможным ответам Ri. Кандидатом в Gi будет любая комбинация С. Попробуйте применить все возможные комбинации С в качестве проб к пространству Pi−1; пусть Sc, <0,0> обозначает число членов Pi−1, дающих в ответе нулевое число точных совпадений и нулевое Число совпадений только по цвету Sc, <0,1> — число членов, дающих соответственно нуль и одно совпадение и т. д. до Sc, <4,0> для наиболее удачной комбинации с четырьмя точными совпадениями. Введем обозначение
Теперь в качестве пробы Gi выберите комбинацию С, минимизирующую Sc (при наличии нескольких таких С выберите комбинацию из Pi−1, если это возможно; если же нет — делайте случайный выбор). Вы, вероятно, уже заметили, что этот алгоритм можно использовать для предварительного анализа великого комбинатора, так чтобы в процессе игры не был нужен никакой анализ комбинаций. Проделав такой анализ, Кнут показал, что оптимальной первой пробой при использовании его стратегии будет ххуу, где х ≠ у. Для проверки своей программы посмотрите, начинает ли она с пробы ххуу.
Тема. Напишите программу, которая будет разыгрывать партии великого комбинатора. Реализуйте стратегию отгадывания, так чтобы машина могла загадывать коды и отгадывать их. Кроме собственно игры ваша программа может накапливать сведения о мастерстве разных игроков. Ваш местный великий комбинатор, возможно, пожелает приехать в Англию на очередной чемпионат. С вашей программой, как и другими игровыми программами, вероятно, будет иметь дело не слишком искушенный пользователь. Поэтому следует позаботиться о том, чтобы ввод данных был простым и естественным, а вывод понятным и красиво оформленным.
Рекомендации исполнителю. Единственная серьезная проблема в этом этюде связана с эффективностью при программировании алгоритма анализа — эффективностью как по памяти, так и по времени. Особенно длинный внутренний цикл требуется для второй стратегии. Заметьте, что комбинации суть не что иное, как числа, записанные по основанию 6 (но вместо цифр от 0 до 5 используются цифры от 1 до 6).
Развитие темы. Наиболее очевидное расширение — это изменение множества цифр, из которых составляется код, или количество цифр в коде. Более развитая версия великого комбинатора допускает коды из пяти цифр от 1 до 8. Слишком большое значение любого из двух параметров может привести к непомерному росту времени работы, однако ни один из алгоритмов не зависит сколько-нибудь существенно от чисел 6 и 4. Программа без всякого труда могла бы читать объем словаря (число различных цифр) и длину кода в качестве исходных данных и соответствующим образом изменять свои алгоритмы анализа.