Напряжение между концом и началом фазы при соединении треугольником – это напряжение между линейными проводами. Поэтому при соединении треугольником линейное напряжение равно фазному напряжению.

(3.18)

U_Л = U_Ф.

Пренебрегая сопротивлением линейных проводов, линейные напряжения потребителя можно приравнять линейным напряжениям источника питания: U_ab = U_AB, U_bc = U_BC, U_ca = U_CA. По фазам Z_ab, Z_bc, Z_ca приемника протекают фазные токи İ_ab, İ_bc и İ_ca. Условное положительное направление фазных напряжений Ú_ab, Ú_bc и Ú_ca совпадает с положительным направлением фазных токов. Условное положительное направление линейных токов İ_A, İ_B и İ_C принято от источников питания к приемнику.

В отличие от соединения звездой при соединении треугольником фазные токи не равны линейным. Токи в фазах приемника определяются по формулам

(3.19)

İ_ab = Ú_ab / Z_ab; İ_bc = Ú_bc / Z_bc; İ_ca = Ú_ca / Z_ca.

Линейные токи можно определить по фазным, составив уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a, b и c (рис 3.12)

(3.20)

İ_A = İ_ab - İ_ca; İ_B = İ_bc - İ_ab; İ_C = İ_ca - İ_bc.

Сложив левые и правые части системы уравнений, (3.20), получим

(3.21)

İ_A + İ_B + İ_C = 0,

т.е. сумма комплексов линейных токов равна нулю как при симметричной, так и при несимметричной нагрузке.

Симметричная нагрузка

При симметричной нагрузке

(3.22)

Z_ab = Z_bc = Z_ca = Ze^jφ,

т.е. Z_ab = Z_bc = Z_ca = Z, φ_ab = φ_bc = φ_ca = φ.

Так как линейные (они же фазные) напряжения U_AB, U_BC, U_CA симметричны, то и фазные токи образуют симметричную систему

İ_ab = Ú_ab / Z_ab; İ_bc = Ú_bc / Z_bc; İ_ca = Ú_ca / Z_ca.

Абсолютные значения их равны, а сдвиги по фазе относительно друг друга составляют 120°.

Линейные токи

İ_A = İ_ab - İ_ca; İ_B = İ_bc - İ_ab; İ_C = İ_ca - İ_bc;

образуют также симметричную систему токов (рис.3.13, 3.14).

Рис. 3.13

На векторной диаграмме (рис. 3.14) фазные токи отстают от фазных напряжений на угол φ (полагаем, что фазы приемника являются индуктивными, т.е. φ > 0°). Здесь принято, что напряжение U_AB имеет нулевую фазу. Из диаграммы следует, что любой линейный ток больше фазного в раз. Линейный ток İ_A отстает по фазе от фазного тока İ_ab на угол 30°, на этот же угол отстает İ_B от İ_bc, İ_C от İ_ca.

Таким образом, при соединении треугольником действующее значение линейного тока при симметричной нагрузке в раз больше действующего значения фазного тока и U_Л = U_Ф; I_Л =I_Ф.

При равномерной нагрузке фаз расчет трехфазной цепи соединенной треугольником, можно свести к расчету одной фазы.

Фазное напряжение U_Ф = U_Л. Фазный ток I_Ф = U_Ф / Z_Ф, линейный ток I_Л =I_Ф, угол сдвига по фазе φ = arctg (X_Ф / R_Ф).

Рис. 3.14

Несимметричная нагрузка приемника

В общем случае при несимметричной нагрузке Z_ab ≠ Z_bc ≠ Z_ca. Обычно она возникает при питании от трехфазной сети однофазных приемников. Например, для нагрузки, рис. 3.15, фазные токи, углы сдвига фаз и фазные мощности будут в общем случае различными.

Рис. 3.15

Векторная диаграмма для случая, когда в фазе ab имеется активная нагрузка, в фазе bc – активно-индуктивная, а в фазе ca – активно-емкостная приведена на рис. 3.16, топографическая диаграмма – на рис. 3.17.

---

Рис. 3.16

Построение векторов линейных токов произведено в соответствии с выражениями

İ_A = İ_ab - İ_ca; İ_B = İ_bc - İ_ab; İ_C = İ_ca - İ_bc.

Рис. 3.17

Таким образом, при несимметричной нагрузке симметрия фазных токов İ_ab, İ_bс, İ_ca нарушается, поэтому линейные токи İ_A, İ_B, İ_C можно определить только расчетом по вышеприведенным уравнениям (3.20) или найти графическим путем из векторных диаграмм (рис. 3.16, 3.17).

Важной особенностью соединения фаз приемника треугольником является то, что при изменении сопротивления одной из фаз режим работы других фаз остается неизменным, так как линейные напряжения генератора являются постоянными. Будет изменяться только ток данной фазы и линейные токи в проводах линии, соединенных с этой фазой. Поэтому схема соединения треугольником широко используется для включения несимметричной нагрузки.

При расчете для несимметричной нагрузки сначала определяют значения фазных токов İ_ab, İ_bc, İ_ca и соответствующие им сдвиги фаз φ_ab, φ_bc, φ_ca. Затем определяют линейные токи с помощью уравнений (3.20) в комплексной форме или с помощью векторных диаграмм (рис. 3.16, 3.17).

Общие замечания к расчету трехфазных цепей

1. При расчете трехфазных цепей исходят из предположения, что генератор дает симметричную систему напряжений. На практике несимметрия нагрузки практически не влияет на систему напряжений генератора в том случае, если мощность нагрузки мала по сравнению с мощностью генератора или сети электроснабжения.

2. Схема соединения обмоток трехфазного генератора не предопределяет схему соединения нагрузки. Так, при соединении фаз генератора в звезду нагрузка может быть соединена в звезду с нейтральным проводом, в звезду без нейтрального провода или, наконец, в треугольник.

Мощность трехфазной цепи, ее расчет и измерение

В трехфазных цепях, так же как и в однофазных, пользуются понятиями активной, реактивной и полной мощностей.

Соединение потребителей звездой

В общем случае несимметричной нагрузки активная мощность трехфазного приемника равна сумме активных мощностей отдельных фаз

(3.23)

P = P_a + P_b + P_c,

где

(3.24)

P_a = U_a I_a cos φ_a; P_b = U_b I_b cos φ_b; P_c = U_c I_c cos φ_c;
U_a, U_b, U_c; I_a, I_b, I_c – фазные напряжения и токи;
φ_a, φ_b, φ_c – углы сдвига фаз между напряжением и током.

Реактивная мощность соответственно равна алгебраической сумме реактивных мощностей отдельных фаз

(3.25)

Q = Q_a + Q_b + Q_c,

где

(3.26)

Q_a = U_a I_a sin φ_a; Q_b = U_b I_b sin φ_b; Q_c = U_c I_c sin φ_c.

Полная мощность отдельных фаз

(3.27)

S_a = U_a I_a; S_b = U_b I_b; S_c = U_c I_c.

Полная мощность трехфазного приемника

(3.28)

.

При симметричной системе напряжений (U_a = U_b = U_c = U_Ф) и симметричной нагрузке (I_a = I_b = I_c = I_Ф; φ_a = φ_b = φ_c = φ) фазные мощности равны P_a = P_b = P_c = P_Ф = U_Ф I_Ф cos φ; Q_a = Q_b = Q_c = Q_Ф = U_Ф I_Ф sin φ.

Активная мощность симметричного трехфазного приемника

(3.29)

P = 3 P_Ф = 3 U_Ф I_Ф cos φ.

Аналогично выражается и реактивная мощность

(3.30)

Q = 3 Q_Ф = 3 U_Ф I_Ф cos φ.

Полная мощность

---

(3.31)

S = 3 S_Ф = 3 U_Ф I_Ф.

Отсюда следует, что в трехфазной цепи при симметричной системе напряжений и симметричной нагрузке достаточно измерить мощность одной фазы и утроить результат.

Соединение потребителей треугольником

В общем случае несимметричной нагрузки активная мощность трехфазного приемника равна сумме активных мощностей отдельных фаз

(3.32)

P = P_ab + P_bc + P_ca,

где

(3.33)

P_ab = U_ab I_ab cos φ_ab; P_bc = U_bc I_bc cos φ_bc; P_ca = U_ca I_ca cos φ_ca;
U_ab, U_bc, U_ca; I_ab, I_bc, I_ca – фазные напряжения и токи;
φ_ab, φ_bc, φ_ca – углы сдвига фаз между напряжением и током.

Реактивная мощность соответственно равна алгебраической сумме реактивных мощностей отдельных фаз

(3.34)

Q = Q_ab + Q_bc + Q_ca,

где

(3.35)

Q_ab = U_ab I_ab sin φ_ab; Q_bc = U_bc I_bc sin φ_bc; Q_ca = U_ca I_ca sin φ_ca.

Полная мощность отдельных фаз

(3.36)

S_ab = U_ab I_ab; S_bc = U_bc I_bc; S_ca = U_ca I_ca.

Полная мощность трехфазного приемника

(3.37)

.

При симметричной системе напряжений (U_ab = U_bc = U_ca = U_Ф) и симметричной нагрузке (I_ab = I_bc = I_ca = I_Ф; φ_ab = φ_bc = φ_ca = φ) фазные мощности равны P_ab = P_bc = P_ca = P_Ф = U_Ф I_Ф cos φ; Q_ab = Q_bc = Q_ca = Q_Ф = U_Ф I_Ф sin φ.

Активная мощность симметричного трехфазного приемника

P = 3 P_Ф = 3 U_Ф I_Ф cos φ.

Аналогично выражается и реактивная мощность

Q = 3 Q_Ф = 3 U_Ф I_Ф cos φ.

Полная мощность

S = 3 S_Ф = 3 U_Ф I_Ф.

Так как за номинальные величины обычно принимают линейные напряжения и токи, то мощности удобней выражать через линейные величины U_Л и IЛ.

При соединении фаз симметричного приемника звездой U_Ф = U_Л / , I_Ф = I_Л, при соединении треугольником U_Ф = U_Л, I_Ф = I_Л / . Поэтому независимо от схемы соединения фаз приемника активная мощность при симметричной нагрузке определяется одной и той же формулой

(3.38)

P = U_Л I_Л cos φ.

где U_Л и I_Л – линейное напряжение и ток; cos φ – фазный.

Обычно индексы "л" и "ф" не указывают и формула принимает вид

(3.39)

P = U I cos φ.

Соответственно реактивная мощность

(3.40)

Q = U I sin φ.

и полная мощность

(3.41)

S = U I.

При этом надо помнить, что угол φ является углом сдвига фаз между фазными напряжением и током, и, что при неизмененном линейном напряжении, переключая приемник со звезды в треугольник его мощность увеличивается в три раза:

Δ P = Υ 3P.

Измерение активной мощности в трехфазных цепях

Измерение активной мощности в трехфазных цепях производят с помощью трех, двух или одного ваттметров, используя различные схемы их включения. Схема включения ваттметров для измерения активной мощности определяется схемой сети (трех- или четырехпроводная), схемой соединения фаз приемника (звезда или треугольник), характером нагрузки (симметричная или несимметричная), доступностью нейтральной точки.

При несимметричной нагрузке в четырехпроводной цепи активную мощность измеряют тремя ваттметрами (рис. 3.18), каждый из которых измеряет мощность одной фазы – фазную мощность.

Рис. 3.18

Активная мощность приемника определяют по сумме показаний трех ваттметров

(3.42)

P = P₁ + P₂ + P₃,

где P₁ = U_A I_A cos φ_A; P₂ = U_B I_B cos φ_B; P₃ = U_C I_C cos φ_C.

Измерение мощности тремя ваттметрами возможно при любых условиях.

---

При симметричном приемнике и доступной нейтральной точке активную мощность приемника определяют с помощью одного ваттметра, измеряя активную мощность одной фазы P_Ф по схеме рис. 3.19. Активная мощность всего трехфазного приемника равна при этом утроенному показанию ваттметра: P = 3 P_Ф.

Рис. 3.19

Рис. 3.20

На рис. 3.19 показано включение прибора непосредственно в одну из фаз приемника. В случае, если нейтральная точка приемника недоступна или зажимы фаз приемника, включенного треугольником не выведены, применяют схему рис. 3.20 с использованием искусственной нейтральной точки n'. В этой схеме дополнительно в две фазы включают резисторы с сопротивлением R = R_V.

Измерение активной мощности симметричного приемника в трехфазной цепи одним ваттметром применяют только при полной гарантии симметричности трехфазной системы.

Измерение активной мощности двумя ваттметрами

В трехпроводных трехфазных цепях при симметричной и несимметричной нагрузках и любом способе соединения приемников широко распространена схема измерения активной мощности приемника двумя ваттметрами (рис. 3.21). Показания двух ваттметров при определенной схеме их включения позволяют определить активную мощность трехфазного приемника, включенного в цепь с симметричным напряжением источника питания.

На рис. 3.21 показана одна из возможных схем включения ваттметров: здесь токовые катушки включены в линейные провода с токами I_A и I_B, а катушки напряжения – соответственно на линейные напряжения U_AC и U_BC.

Рис. 3.21

Докажем, что сумма показаний ваттметров, включенных по схеме рис. 3.21, равна активной мощности Р трехфазного приемника. Мгновенное значение общей мощности трехфазного приемника, соединенного звездой,

(3.43)

p = u_A i_A + u_B i_B + u_C i_C.

Так как

(3.44)

i_A + i_B + i_C = 0.

то

(3.45)

i_C = -(i_A + i_B).

Подставляя значение i_C в выражение для р, получаем

(3.46)

p = u_A i_A + u_B i_B - u_C (i_A + i_B) = (u_A - u_C) i_A + (u_B - u_C) i_B = u_AC i_A + u_BC i_B.

Выразив мгновенные значения u и i через их амплитуды, можно найти среднюю (активную) мощность

(3.47)

,

которая составит

(3.48)

P = U_AC I_A cos(U_AC^I_A) + U_BC I_B cos(U_BC^I_B) = P₁ + P₂.

Так как U_AC, U_BC, I_A и I_B – соответственно линейные напряжения и токи, то полученное выражение справедливо и при соединении потребителей треугольником.

Следовательно, сумма показаний двух ваттметров действительно равна активной мощности Р трехфазного приемника.

При симметричной нагрузке

I_A = I_B = I_Л, U_AC = U_BC = U_Л.

Рис. 3.22

Из векторной диаграммы (рис. 3.22) получаем, что угол α между векторами U_AC и I_A равен α = φ - 30°, а угол β между векторами U_BC и I_B составляет β = φ + 30°.

В рассматриваемом случае показания ваттметров можно выразить формулами

(3.49)

P₁ = U_Л I_Л cos(φ - 30°),

(3.50)

P₂ = U_Л I_Л cos(φ + 30°).

Сумма показаний ваттметров

(3.51)

P₁ + P₂ = U_Л I_Л [cos(φ - 30°) + cos(φ + 30°)] = U_Л I_Л cos φ.

Ввиду того, что косинусы углов в полученной формуле могут быть как положительными, так и отрицательными, в общем случае активная мощность приемника, измеренная по методу двух ваттметров, равна алгебраической сумме показаний.

---

При симметричном приемнике показания ваттметров Р₁ и Р₂ будут равны только при φ = 0°. Если φ > 60°, то показания второго ваттметра Р₂ будет отрицательным.

Для измерения активной мощности в трехфазных цепях промышленных установок широкое применение находят двухэлементные трехфазные электродинамические и ферродинамические ваттметры, которые содержат в одном корпусе два измерительных механизма и общую подвижную часть. Катушки обоих механизмов соединены между собой по схемам, соответствующим рассмотренному методу двух ваттметров. Показание двухэлементного ваттметра равно активной мощности трехфазного приемника.

---

Смотрите также файлы

• 6(2) Практикум Трехфазные электрические цепи.doc

• 7(1) Магнитные и нелинейные цепи.doc

• 7(2) Практикум Магнитные и нелинейные цепи.doc

• 8(1) Переходные процессы в линейных электрических цепях.doc

• 8(2) Практикум Переходные процессы в линейных электрических цепях.doc