Модуль 4. Магнитные и нелинейные цепи

4.1. Магнитное поле и его параметры

Направление магнитных линий и направление создающего их тока связаны между собой известным правилом правоходового винта (буравчика) (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Магнитное поле прямолинейного проводника и катушки. Правило Буравчика

Основной величиной, характеризующей интенсивность и направление магнитного поля является – вектор магнитной индукции , которая измеряется в Теслах [Тл].

Вектор направлен по касательной к магнитной линии, направление вектора совпадает с осью магнитной стрелки, помещенной в рассматриваемую точку магнитного поля.

Величина определяется по механической силе, действующей на элемент проводника с током, помещенный в магнитное поле.

Если во всех точках поля имеет одинаковую величину и направление, то такое поле называется равномерным.

 зависит не только от величины I, но и от магнитных свойств окружающей среды.

Второй важной величиной, характеризующей магнитное поле является – магнитный поток , который измеряется в Веберах [Вб].

Элементарным магнитным потоком Ф сквозь бесконечно малую площадку называется величина (рис. 4.2)

dФ = B cos  dS,

где  – угол между направлением и нормалью к площадке dS.

а) б)

Рис. 4.2. Определение магнитного потока, пронизывающего: а) произвольную поверхность; б) плоскую поверхность в равномерном магнитном поле

Сквозь поверхность S [м²]

Ф = _s∫ dФ = _s∫ B cos α dS,

Если магнитное поле равномерное, а поверхность S представляет собой плоскость

Ф = B S.

При исследовании магнитных полей и расчете магнитных устройств пользуются расчетной величиной – напряженность магнитного поля [А/м]

,

где _а – абсолютная магнитная проницаемость среды.

Для неферромагнитных материалов и сред (дерево, бумага, медь, алюминий, воздух) _а не отличается от магнитной проницаемости вакуума и равна

_o = 4  · 10^-7, Гн/м (Генри/метр).

У ферромагнетиков _а переменная и зависит от В.

4.2. Магнитные цепи

Всякий электромагнит состоит из стального сердечника – магнитопровода и намотанной на него катушки с витками изолированной проволоки, по которой проходит электрический ток.

Совокупность нескольких участков: ферромагнитных (сталь) и неферромагнитных (воздух), по которым замыкаются линии магнитного потока, составляют магнитную цепь.

4.3. Закон полного тока

В основе расчета магнитных цепей лежит закон полного тока (рис. 4.3)

,

где: Н – напряженность магнитного поля в данной точке пространства;
dL – элемент длины замкнутого контура L;
 – угол между направлениями векторов и ;
  I – алгебраическая сумма токов, пронизывающих контур L.

Рис. 4.3. Закон полного тока

Ток I_к, пронизывающий контур L считается положительным, если принятое направление обхода контура и направление этого тока связаны правилом правоходового винта (буравчика).

Применение закона полного тока для расчета магнитных цепей

---

Рассмотрим простейшую магнитную цепь, выполненную в виде кольца тороида из однородного материала (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Кольцевая магнитная цепь

Обмотка имеет W витков и обтекается током I. Магнитные линии внутри кольца представляют собой концентрические окружности с центров точке О. Применим к контуру C_х, совпадающему с одной из магнитных линий, проходящих в магнитопроводе, закон полного тока. При этом будем считать:

1. и совпадают, следовательно  = 0;

2. величина Нх во всех точках контура одинакова;

3. сумма токов, пронизывающих контур, равна IW.

Тогда

.

Отсюда

[А/м],

где L_x – длина контура, вдоль которого велось интегрирование;
r_x – радиус окружности.

Вектор внутри кольца зависит от расстояния r_х. Если  – ширина кольца << d, то эта разница между значениями Н в пределах сердечника не велика. При этом в расчет допустимо принять для всего поперечного сечения магнитопровода одно значение напряженности магнитного поля:

H_ср = IW / L ,

где L – длина средней магнитной линии.

4.4. Закон Ома для магнитной цепи. Линейные и нелинейные магнитные сопротивления

В кольцевом магнитопроводе с равномерной обмоткой все поле концентрируется внутри кольца.

Определим в этом случае магнитный поток в магнитопроводе с распределенной обмоткой.

Исходя из соотношений Ф = B_ср S и B_ср = _а H_ср получим

Ф = B_ср S = _а H_ср S .

(*)

.

Магнитный поток Ф зависит от произведения IW = F, которое получило название магнитодвижущей силы (МДС).

Величину L / (_а S) = R_м – принято назвать магнитным сопротивлением магнитопровода (по аналогии с электрическим сопротвлением r = L / γ S).

Магнитное сопротивление воздуха (зазоров) линейное, т.к. _а = _o = const. Магнитное сопротивление сердечника нелинейно – _а зависит от В.

Если намагничивающую силу F, уподобить действию ЭДС, будет получено соотношение, похожее на выражение закона Ома для цепи постоянного тока. В связи с этим формулу (*) принято назвать законом Ома для магнитной цепи. Следует оговориться, что эта аналогия – формальная, а физическая сущность процессов в электрических и магнитных цепях различна.

4.5. Ферромагнитные материалы и их свойства

Известно, что магнитная проницаемость _а ферромагнитных материалов переменная величина и зависит от В. Это влечет за собой непостоянство магнитного сопротивления R_м и значительно усложняет расчеты магнитных цепей. Поэтому для расчета магнитных цепей, содержащих ферромагнитные участки, необходимо располагать кривыми намагничивания, представляющими собой зависимость B = f(H). Эти зависимости получают экспериментальным путем – испытанием замкнутых магнитопроводов с распределенной обмоткой.

Первоначальному намагничиванию образца соответствует кривая , называемая кривой первоначального намагничивания (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Зависимость В(Н) – петля гистерезиса

Если образец подвергать циклическому намагничиванию при изменении напряженности магнитного поля в пределах +Н_х до –Н_х, то график будет представлять замкнутую кривую, известную под названием петли гистерезиса.

---

Если процесс циклического намагничивания повторять для постепенно увеличивающихся значений напряженности магнитного поля, то можно получить семейство петель гистерезиса, и так называемую предельную петлю гистерезиса, которой соответствует изменение напряженности магнитного поля в пределах от +Н_max до –Н_max, увеличение Н сверх Н_max не повлечет за собой увеличение площади петли гистерезиса. Предельная петля гистерезиса определяет значение остаточной магнитной индукции и коэрцетивной силы Н_с. Кривая, соединяющая вершины петель гистерезиса, называется основной кривой намагничивания. Эти кривые приводятся в справочных руководствах и используются в расчетах магнитных цепей.

Процесс циклического перемагничивания требует затраты энергии, как известно из курса физики, пропорциональной площади петли гистерезиса.

В связи с этим магнитопроводы электротехнических устройств, работающих в условиях непрерывного перемагничивания (например трансформаторы), целесообразно выполнять из ферромагнитных материалов, имеющих узкую петлю гистерезиса (на рис. 4.6, кривые ). Такие ферромагнитные материалы называют магнитомягкими (листовая электротехническая сталь и ряд специальных сплавов, например пермаллой, состоящий из никеля, железа и других компонентов).

Рис. 4.6. Петли гистерезиса магнитомягих (кривые ) и магнитотвердых (кривые ) материалов

Для изготовления постоянных магнитов рекомендуется использовать ферромагнитные материалы с широкой петлей гистерезиса (кривые ), имеющих большую остаточную индукцию и большую коэрцетивную силу. Такие ферромагнитные материалы называют магнитотвердыми (ряд сплавов железа с вольфрамом, хромом и алюминием).

4.6. Расчет неразветвленной магнитной цепи

Формула, выражающая закон полного тока магнитной цепи, была получена для кольцевого магнитопровода постоянного поперечного сечения и с равномерно распределенной обмоткой. Эту формулу распространяют и на магнитные цепи, где намагничивающая обмотка сосредоточена на ограниченном участке магнитопровода, а отдельные участки цепи выполнены из различных ферромагнитных и неферромагнитных материалов и имеют различное поперечное сечение.

В приближенных расчетах магнитных цепей принимают, что магнитный поток на всех участках цепи остается одним и тем же, хотя на самом деле в магнитной цепи образуются также потоки рассеяния Ф_р, которые замыкаются по воздуху, а не следуют по пути магнитопровода.

В расчетах магнитных цепей различают прямую и обратную задачи.

Прямая задача

Задано: 1) геометрические размеры магнитной цепи; 2) характеристика B = f(H) (кривая намагничивания) ферромагнитных материалов, из которых выполнена магнитная цепь; 3) магнитный поток Ф, который надо создать в магнитной цепи. Требуется найти намагничивающую силу обмотки F = IW. Решение задачи рассматривается применительно к магнитопроводу, представленному на рис. 4.7.

---

Рис. 4.7. Магнитная цепь

1. Магнитная цепь разбивается на ряд участков с одинаковым поперечным сечением S, выполненном из однородного материала.

2. Намечается путь прохождения средней магнитной линии (на рис. 4.7 показано пунктиром).

3. Т.к. магнитный поток на всех участках цепи остается постоянным, то магнитная индукция B = Ф / S на каждом из участков и напряженность магнитного поля Н неизменны. Это позволяет сравнительно просто определить значение для контура, образованного средней магнитной линией, а следовательно, найти искомую величину намагничивающей силы, поскольку .

Запишем интеграл в виде суммы интегралов с границами интегрирования, совпадающими с началом и концом каждого участка цепи. Тогда

.

где: L₁ и L₂ – длины ферромагнитных участков цепи [м].
 – ширина воздушного зазора, [м].

4. Значения Н₁ и Н₂ определяют по известным величинам магнитной индукции В с помощью кривых намагничивания, соответствующих ферромагнитных материалов.

А для воздушного зазора

А/м.

Обратная задача

Задано:

1. Геометрические размеры магнитной цепи;

2. Характеристики ферромагнитных материалов;

3. Намагничивающая сила обмотки F.

Требуется определить магнитный поток Ф.

Непосредственное использование формулы для определния магнитного потока Ф оказывается невозможным, поскольку магнитное сопротивление цепи переменное и само зависит от величины магнитного потока. Такие задачи решаются методом последовательного приближения в следующем порядке. Задаются рядом произвольных значений магнитного потока в цепи и для каждого из этих значений определяют необходимую намагничивающую силу обмотки так, как это делается при решении прямой задачи.

По полученным данным строят кривую Ф(F) – вебер-амперную характеристику. Имея эту зависимость, нетрудно для заданного значения намагничивающей силы найти величину магнитного потока.

Для оценки необходимого значения Ф можно пренебречь сопротивлением ферромагнитного участка и посчитать поток, который получится под действием намагничивающей силы F при сопротивлении воздушного участка. Это значение Ф заведомо больше расчетного.

Остальные значения можно давать меньше.

.

4.7. Особенности расчета магнитных цепей с переменной магнитодвижущей силой

Физические процессы в цепях переменного тока, содержащих катушку со стальным сердечником, имеют ряд особенностей по сравнению с процессами в цепях постоянного тока. Эти особенности оказывают существенное влияние на конструктивное выполнение и технические характеристики электрических аппаратов и машин переменного тока.

Ферромагнитные элементы в цепях переменного тока имеют дополнительные потери в сердечнике на гистерезис и вихревые токи. Для снижения потерь стальной сердечник выполняют шихтованным из тонких изолированных друг от друга пластин.

---

4.8. Потери в сердечнике

Потери в сердечнике, называемые потерями в стали Р_с, увеличиваются при повышении частоты питающего напряжения. Переменный магнитный поток Ф индуктирует в стальном сердечнике вихревые токи (токи Фуко), замыкающиеся в плоскостях, перпендикулярных к оси потока. Эти токи вызывают нагрев стали, снижая тем самым к.п.д. и ограничивая нагрузочную способность электромагнитных устройств. Потери энергии в стальном магнитопроводе значительно снижаются при уменьшении толщины листа электротехнической стали (0,1 ÷ 0,5 мм)

P_в = k_в f² B_m² d² / ρ ,

где k_в – коэффициент, определяемый экспериментально;
f – частота перемагничивания стали;
B_m – максимальная магнитная индукция;
d – толщина листа электротехнической стали сердечника;
ρ – удельное сопротивление материала сердечника.

Помимо потерь от вихревых токов, в стальном магнитопроводе при переменном магнитном потоке возникают потери, обусловленные явлением гистерезиса

P_г = k_г f B_m² G ,

где k_г – постоянный коэффициент;
G – вес сердечника в килограммах.

Суммарные потери от вихревых потоков и гистерезиса P_с = P_в + P_г [Вт] называют магнитными потерями или потерями в стали.

4.9. Векторная диаграмма и схема замещения катушки с сердечником

При расчете цепей с ферромагнитными элементами с синусоидальными источниками питания индуктивность L нельзя считать постоянной, и поэтому необходимо использовать зависимость между ЭДС и потокосцеплением или потоком. Форма кривой зависимости между потоком Ф и намагничивающим током i (рис. 4.8) подобна форме основной кривой намагничивания В(Н), т.к. Ф = B S, а H = IW / L.

Нелинейный характер зависимости между Ф и i приводит к тому, что индуктивность катушки L = W Ф / i перестает быть величиной постоянной и зависит от величины намагничивающего тока.

При непостоянстве индуктивности L ЭДС самоиндукции е, наводимую в катушке переменным током i следует определять по формуле

.

Рис. 4.8. Зависимость В(Н)

Если к катушке подведено синусоидальное напряжение u = U_m sin(ωt + π/2), а активное сопротивление обмотки R ≈ 0, то приложенное напряжение уравновешивается только ЭДС самоиндукции:

u = -e,
U_m sin(ωt + π/2) = W dФ / dt.

Интегрируя это выражение, получим

Ф = U_m / (2 π f) W sin(ωt) = Ф_m sin(ωt).

Из полученного соотношения следует:

1. При синусоидальном напряжении на зажимах катушки магнитный поток Ф, вызванный протекающим по цепи током I, тоже синусоидальный.

2. Заданному действующему значению напряжения U на зажимах катушки соответствует определенная амплитуда магнитного потока Ф_m независимо от того, имеется ли у катушки стальной сердечник или же магнитный поток целиком замыкается по воздуху. Магнитный поток индуктирует в обмотке катушки ЭДС самоиндукции е, равную по величине приложенному напряжению и противоположную ему по направлению

e = -W dФ/dt = -W Ф_m ω cos(ωt) = 2 π f W Ф_m sin(ωt - π/2),

---

Смотрите также файлы

• 7(2) Практикум Магнитные и нелинейные цепи.doc

• 8(1) Переходные процессы в линейных электрических цепях.doc

• 8(2) Практикум Переходные процессы в линейных электрических цепях.doc

• 9(1) Трансформаторы.doc

• 9(2) Практикум трансформаторы.doc