47

М_t – денежная масса в период t;

^G_t ^{– государственные расходы в период t;}

^C_t–1 ^{– расходы на потребление в период t–1;}

^I_t–1 ^{– инвестиции в период t–1;}

^u₁^{, u}₂^{, u}₃ ^{– случайные ошибки.}

Требуется:

1. В предположении, что имеются временные ряды данных по всем пере-

менным модели, предложить способ оценки ее параметров.

2. Как изменится ваш ответ на вопрос п. 1, если из модели исключить тож-

дество дохода?

Решение:

1. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Для от-

вета на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее урав-

нение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные (С_t, I_t, У_t, и r_t) и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные – M_t и G_t ( и две лаговые эндогенные переменные – С_t–1 и I_t–1).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

I уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (С_t и У_t) и одну пре- допределенную переменную (C_t–1). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение:

3 + 1 > 2. Уравнение сверхидентифицировано.

II уравнение.

Уравнение II включает две эндогенные переменные (I_t и r_t) и не включает три предопределенные переменные. Как и I уравнение, оно сверхидентифици- ровано.

III уравнение.

Уравнение III тоже включает две эндогенные переменные (Y_t, и r_t) и не включает три предопределенные переменные. Это уравнение сверхидентифи- цировано.

IV уравнение.

Уравнение IV представляет собой тождество, параметры которого извест-

ны. Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.

Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели

	Сt	Yt	Сt–1	1t	rt	It–1	Mt	Gt
I уравнение	–1	b11	b12	0	0	0	0	0
II уравнение	0	0	0	–1	b21	b22	0	0
Ш уравнение	0	b31	0	0	–1	0	b32	0
Тождество	1	–1	0	1	0	0	0	1

---

48

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравне- ние, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эн- догенных переменных модели минус 1, т. е. 4–1=3.

I уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, име-

_{ет вид}

---

49

_{Шаг 1. Запишем приведенную форму модели в общем виде}

---

Применяя к каждому из полученных уравнений в отдельности обычный

^{МНК, определим структурные параметры a}₁^{, b}₁₁^{, b}₁₂^{, a}₂^{, b}₂₁^{, b}₂₂^{, a}₃^{, b}₃₁^{, и b}₃₂^.

2. Если из модели исключить тождество дохода, число предопределенных

переменных модели уменьшится на 1 (из модели будет исключена переменная

G_t). Число эндогенных переменных модели также снизится на единицу – пере- менная Y_t станет экзогенной. В правых частях функции потребления и функции денежного рынка будут находиться только предопределенные переменные. Функция инвестиций постулирует зависимость эндогенной переменной I_t, от эндогенной переменной r_t (которая зависит только от предопределенных пере- менных) и предопределенной переменной I_t–1. Таким образом, мы получим ре- курсивную систему. Ее параметры можно оценивать обычным МНК, и нет не- обходимости исследования системы уравнения на идентификацию.

---