ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.12.2020
Просмотров: 150
Скачиваний: 1
Семинар 5. Упражнения
рис.5.1.
Пример 5.1.
Кубит (спин-1/2) находится в неизвестном
чистом состоянии
|
ψ
i
, выбранном случайным образом из
ансамбля состояний однородно распределенных по сфере
Блоха. Выбирая случайным образом, что данное состояние
есть
|
ϕ
i
, чему равна в среднем точность воспроизведения
случайного выбора (
fi
delity)
F
, определяемая соотношением
F
≡ |
ϕ
ψ
|
2
?
Р е ш е н и е:
В силу однородности распределения ансамбля состояний
по сфере Блоха, можно утверждать, что вероятность
нахождения состояния внутри телесного угла
d
Ω
на сфере
Блоха равна:
dµ
=
1
4
π
sin
θ dθ dϕ
=
1
4
π
d
Ω
.
(5.1)
Средняя точность воспроизведения случайного выбора определяется усреднением по всем
возможным состояниям
|
ψ
i
и
|
ϕ
i
. Если обозначить операцию усреднения по состояниям
|
ϕ
i
–
E
|
ϕ
i
, а по состояниям
|
ψ
i
–
E
|
ψ
i
, получим
h
F
i
=
E
|
ψ
i
E
|
ϕ
i
|
ϕ
ψ
|
2
=
E
|
ψ
i
E
|
ϕ
i
ϕ
ψ
ψ
ϕ
=
E
|
ψ
i
E
|
ϕ
i
Sp
(
|
ϕ
i
ϕ
ψ
h
ψ
|
)
=
Sp E
|
ψ
i
E
|
ϕ
i
|
ϕ
i
ϕ
ψ
h
ψ
|
=
Sp E
|
ψ
i
[
|
ψ
i h
ψ
|
]
E
|
ϕ
i
[
|
ϕ
i h
ϕ
|
]
=
Sp
1
4
π
Z
1
2
(
1
+ ˆ
n
|
ψ
i
·
σ
) sin
θ dθ dϕ
1
4
π
Z
1
2
(
1
+ ˆ
n
|
ϕ
i
·
σ
) sin
θ dθ dϕ
=
Sp
1
2
1
1
2
1
=
1
4
Sp
1
=
1
2
Таким образом усредненная точность выбора равна
h
F
i
= 1
/
2
.
Пример 5.2.
После случайно выбранного однокубитового чистого состояния (см.
пример 5.1.) выполняется измерение спина вдоль оси
z
. Это измерение приготавливает
состояние, описываемое матрицей плотности
%
=
P
↑
ψ
P
↑
ψ
+
P
↓
ψ
P
↓
ψ
,
(5.2)
где
P
↑
,
↓
–
проекторы на состояние со спином вверх и вниз по оси
z
, соответственно. В среднем
с какой точностью
F
≡
ψ
%
ψ
этот оператор плотности представляет начальное
|
ψ
i
–
состояние?
40
Р е ш е н и е:
До начала вычислений объясним почему оператор плотности, который приготавливается
в результате измерения может быть записан в форме, приведенной в условии задачи.
Напомним, что если квантовая система находящаяся в чистом состоянии
|
ψ
i
подвергается
процессу измерения наблюдаемой
A
, то состояние
|
ψ
i
редуцируется в состояние
|
ψ
n
i
=
P
n
|
ψ
i
ψ
P
n
ψ
1
/
2
,
(5.3)
где
P
n
–
проектор на собственное состояние
|
A
i
. Это предполагает, что оператор плотности
для этого чистого состояния должен трансформироваться к ансамблю по всем возможным
результатам измерения
|
ψ
i h
ψ
| −→
X
n
p
n
|
ψ
n
i h
ψ
n
|
,
(5.4)
здесь
p
n
–
вероятность обнаружения состояния
|
ψ
n
i
в
|
ψ
i
. Однако, так как
|
ψ
n
i h
ψ
n
|
–
есть
проектор
P
n
, поэтому оператор плотности, который приготавливается в результате измерения
может быть эквивалентно представлен в виде
|
ψ
i h
ψ
| −→
X
n
ψ
P
n
ψ
P
n
,
(5.5)
Это выражение справедливо, только если система исходно находилась в чистом состоянии.
Выбирая оператор плотности в форме (5.5) вычисление точности воспроизведения
определяется выражением
F
=
ψ
%
ψ
=
ψ
(
P
↑
ψ
P
↑
ψ
+
P
↓
ψ
P
↓
ψ
)
ψ
=
ψ
P
↑
ψ
ψ
P
↑
ψ
+
ψ
P
↓
ψ
ψ
P
↓
ψ
=
ψ
P
↑
ψ
2
+
ψ
P
↓
ψ
2
=
p
2
↑
+
p
2
↓
=
p
2
+ (1
−
p
)
2
(
p
≡
p
↑
)
=2
p
2
−
2
p
+ 1
.
Чтобы найти среднее значение точности воспроизведения, нужно вычислить классическое
ожидаемое значение, усреднив по всем возможным направлениям состояния
|
ψ
i
. Так как
состояния
|
ψ
i
однородно распределены в пространстве Блоха
h
F
i
=
E
|
ψ
i
[
F
]
может быть
найдено путем предположения от однородности распределения вероятности
p
∈
0
÷
1
. В
41
результате
h
F
i
=
1
Z
0
(2
p
2
−
2
p
+ 1)
dp
= 2
p
3
3
−
2
p
2
2
+ 1
1
0
=
2
3
−
1 + 1
=
2
3
=
1
2
+
1
6
.
Пример 5.3.
Для двух-кубитового состояния:
|
Φ
i
=
1
√
2
|↑i
A
1
2
|↑i
B
+
√
3
2
|↓i
B
!
+
1
√
2
|↓i
A
√
3
2
|↑i
B
+
1
2
|↓i
B
!
1. Вычислить
%
A
=
Sp
B
(
|
Φ
i h
Φ
|
)
и
%
B
=
Sp
A
(
|
Φ
i h
Φ
|
)
2. Найти разложение Шмидта для состояния
|
Φ
i
Р е ш е н и е:
1. Частичные шпуры
Эта часть задачи решается по определению. Начальное состояние системы есть:
|
Φ
i
=
1
√
2
|↑i
A
1
2
|↑i
B
+
√
3
2
|↓i
B
!
+
1
√
2
|↓i
A
√
3
2
|↑i
B
+
1
2
|↓i
B
!
=
1
√
8
|↑↑i
+
√
3
|↑↓i
+
√
3
|↓↑i
+
|↓↓i
.
С учетом данного равенства оператор плотности может быть записан в виде:
|
Φ
i h
Φ
|
=
1
8
|↑↑i
+
√
3
|↑↓i
+
√
3
|↓↑i
+
|↓↓i
|↑↑i
+
√
3
|↑↓i
+
√
3
|↓↑i
+
|↓↓i
=(
|↑↑i |↑↓i |↓↑i |↓↓i
)
1
8
1
√
3
√
3
1
√
3
3
3
√
3
√
3
3
3
√
3
1
√
3
√
3
1
|↑↑i
|↑↓i
|↓↑i
|↓↓i
.
42
Частичный шпур по переменным системы
B
есть:
%
A
=
Sp
B
(
|
Φ
i h
Φ
|
)
=
↑
B
Φ
Φ
↑
B
+
↓
B
Φ
Φ
↓
B
=
1
8
(
|↑i h↑|
+
√
3
|↑i h↓|
+
√
3
|↓i h↑|
+ 3
|↓i h↓|
)+
(3
|↑i h↑|
+
√
3
|↑i h↓|
+
√
3
|↓i h↑|
+
|↓i h↓|
)
=
1
8
4
|↑i h↑|
+ 2
√
3
|↑i h↓|
+ 2
√
3
|↓i h↑|
+ 4
|↓i h↓|
=(
|↑i |↓i
)
1
/
2
√
3
/
4
√
3
/
4
1
/
2
h↑|
h↓|
.
В силу симметрии систем
A
и
B
получим для
%
B
аналогичное выражение:
%
B
=
Sp
A
(
|
Φ
i h
Φ
|
)
=
↑
A
Φ
Φ
↑
A
+
↓
A
Φ
Φ
↓
A
=
1
8
(
|↑i h↑|
+
√
3
|↑i h↓|
+
√
3
|↓i h↑|
+ 3
|↓i h↓|
)+
(3
|↑i h↑|
+
√
3
|↑i h↓|
+
√
3
|↓i h↑|
+
|↓i h↓|
)
=
1
8
4
|↑i h↑|
+ 2
√
3
|↑i h↓|
+ 2
√
3
|↓i h↑|
+ 4
|↓i h↓|
=(
|↑i |↓i
)
1
/
2
√
3
/
4
√
3
/
4
1
/
2
h↑|
h↓|
.
2.Разложение Шмидта.
Эта часть задачи также решается по определению с учетом того, что сначала нужно
повернуть базис системы
A
, чтобы сделать редуцированную матрицу плотности
%
A
диагональной. Чтобы выполнить это, необходимо найти собственные состояния, которые
диагонализуют матрицу
%
A
:
1
/
2
−
λ
√
3
/
4
√
3
/
4
1
/
2
−
λ
= 0
1
/
4
−
λ
+
λ
2
−
3
/
16 = 0
λ
2
−
λ
+ 1
/
16 = 0
λ
±
= 1
/
2
±
√
3
/
4
ψ
±
A
=
1
√
2
(
|↑i
A
± |↓i
A
)
.
Чтобы изменить базис, который реализует эти собственные векторы как базисные,
воспользуемся обычной формулой замены базиса:
|
Φ
i
=
X
i
=
±
ψ
i
ψ
i
Φ
.
43
Коэффициенты разложения в этом выражении являются состояниями системы
B
, так
как скалярное произведение берется только по переменным системы
A
. Коэффициенты
разложения есть:
ψ
+
Φ
=
1
2
[
h↑|
A
+
h↓|
A
]
"
|↑i
A
1
2
|↑i
B
+
√
3
2
|↓i
B
!
+
|↓i
A
√
3
2
|↑i
B
+
1
2
|↓i
B
!#
=
1
4
|↑i
B
+
√
3
|↓i
B
+
√
3
|↑i
B
+
|↓i
B
=
1 +
√
3
4
(
|↑i
B
+
|↓i
B
)
≡ |
˜
ϕ
1
i
B
ψ
−
Φ
=
1
2
[
h↑|
A
− h↓|
A
]
"
|↑i
A
1
2
|↑i
B
+
√
3
2
|↓i
B
!
+
|↓i
A
√
3
2
|↑i
B
+
1
2
|↓i
B
!#
=
1
4
|↑i
B
+
√
3
|↓i
B
−
√
3
|↑i
B
− |↓i
B
=
1
−
√
3
4
(
|↑i
B
− |↓i
B
)
≡ |
˜
ϕ
2
i
B
.
Теперь необходимо нормировать полученные состояния в системе
B
.
˜
ϕ
1
˜
ϕ
1
=
4 + 2
√
2
16
(
h↑|
B
+
h↓|
B
)(
|↑i
B
+
|↓i
B
)
= 1 +
√
3
2
≡
p
1
˜
ϕ
2
˜
ϕ
2
=
4
−
2
√
2
16
(
h↑|
B
− h↓|
B
)(
|↑i
B
− |↓i
B
)
= 1
−
√
3
2
≡
p
2
.
44