ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.12.2020
Просмотров: 151
Скачиваний: 1
Используя нормированные состояния
|
ϕ
i
i
B
≡
1
√
p
i
|
˜
ϕ
1
i
B
теперь можно записать разложение
Шмидта исходного чистого состояния по ортонормированным состояниям систем
A
и
B
.
|
Φ
i
=
s
1 +
√
3
2
1
√
2
(
|↑i
A
+
|↓i
A
)
1
q
1 +
√
3
2
1 +
√
3
4
!
(
|↑i
B
+
|↓i
B
)
+
s
1
−
√
3
2
1
√
2
(
|↑i
A
− |↓i
A
)
1
q
1
−
√
3
2
1
−
√
3
4
!
(
|↑i
B
− |↓i
B
)
=
√
3 + 1
2
√
2
!
1
√
2
(
|↑i
A
+
|↓i
A
)
1
√
2
(
|↑i
B
+
|↓i
B
)
+
√
3
−
1
2
√
2
!
1
√
2
(
|↑i
A
− |↓i
A
)
1
√
2
(
|↓i
B
− |↑i
B
)
.
Пример 5.4.
Рассмотрим оператор плотности для двух кубитов вида
%
=
1
8
I
+
1
2
ψ
−
ψ
−
,
где
I
–
единичная
4
×
4
-матрица, а
ψ
−
=
1
√
2
(
|↑i |↓i − |↓i |↑i
)
Предположим, что производится измерение первого спина вдоль оси
~
n
, а второго спина вдоль
оси
~
m
, где
(
~
n
·
~
m
) = cos
θ
. Какова вероятность того, что оба спина будут находиться в
состоянии "спин-вверх" относительно выбранных осей?
Р е ш е н и е:
Как показано в примере 5.2., вероятность измерения собственного значения
ˆ
P
n
есть
p
=
Sp
( ˆ
P
·
%
)
. Соответствие между проекторами кубитов и точками на сфере Блоха означает, что
вероятность первого измерения состояния "спин-вверх" вдоль оси
~
n
первого кубита, а затем
измерения состояния "спин-вверх" вдоль оси
~
m
второго кубита есть:
p
=
Sp
B
h
ˆ
P
m
Sp
A
h
ˆ
P
n
⊗
I
B
%
ii
p
=
Sp
B
1
2
(
1
+ ˆ
m
·
σ
B
)
Sp
A
1
2
(
1
+ ˆ
n
·
σ
A
)
⊗
I
B
%
.
Проектор
ˆ
P
m
действует как постоянный сомножитель относительно шпура по переменным
системы
A
, так как его действие тривиально в подсистеме
A
. В силу линейности операций
вычисления шпура можно вынести эту константу из под знака операции вычисления шпура
p
=
Sp
B
Sp
A
I
A
⊗
1
2
(
1
+ ˆ
m
·
σ
B
)
1
2
(
1
+ ˆ
n
·
σ
A
)
⊗
I
B
%
=
Sp
B
Sp
A
1
2
(
1
+ ˆ
n
·
σ
A
)
⊗
1
2
(
1
+ ˆ
m
·
σ
B
)
⊗
I
B
%
45
Используя вид
%
заданной в примере можно вычислить эти шпуры точно, основываясь на
свойствах линейности операций вычисления шпура и равенстве нулю шпура матриц Паули
=
Sp
B
Sp
A
1
2
(
1
+ ˆ
n
·
σ
A
)
⊗
1
2
(
1
+ ˆ
m
·
σ
B
)
1
8
1
AB
+
1
2
ψ
−
ψ
−
=
1
32
Sp
B
Sp
A
[(
1
+ ˆ
n
·
σ
A
)
⊗
(
1
+ ˆ
m
·
σ
B
)]
+
1
8
Sp
B
Sp
A
((
1
+ ˆ
n
·
σ
A
)
⊗
(
1
+ ˆ
m
·
σ
B
))
ψ
−
ψ
−
=
1
32
Sp
B
Sp
A
[
1
⊗
1
] +
1
8
ψ
−
(
1
+ ˆ
n
·
σ
A
)
⊗
(
1
+ ˆ
m
·
σ
B
)
ψ
−
=
1
8
+
1
8
ψ
−
1
+ ˆ
n
·
σ
A
+ ˆ
m
·
σ
B
+ ˆ
n
·
σ
A
⊗
ˆ
m
·
σ
B
ψ
−
=
1
4
+
1
8
ˆ
n
·
ψ
−
σ
A
ψ
−
+ ˆ
m
·
ψ
−
σ
B
ψ
−
+
ψ
−
ˆ
n
·
σ
A
⊗
ˆ
m
·
σ
B
ψ
−
Средние значения как
σ
A
, так и
σ
B
равны нулю в синглетном состоянии
|
ψ
−
i
, что может быть
доказано как непосредственными вычислениями, так и на основании того, что синглет
–
это
скаляр (спин
= 0
). Единственный член, который остается для вычисления
–
это последнее
слагаемое в полученном выражении. Имеется несколько возможностей для вычисления. По
видимому простейший способ доказать, что спин
–
0 симметрии синглетные состояния имеют
одну форму в любом базисе. Поэтому можно взять спины относительно
z
-осей:
~
n
= ˆ
z
,
~
m
=
ˆ
z
cos
θ
+ ˆ
x
sin
θ
, так что:
ψ
−
ˆ
n
·
σ
A
⊗
ˆ
m
·
σ
B
ψ
−
=
ψ
−
σ
z
⊗
σ
z
ψ
−
cos
θ
+
ψ
−
σ
z
⊗
σ
x
ψ
−
sin
θ
=
−
cos
θ.
Это приводит нас к ответу:
p
=
1
4
−
1
8
cos
θ.
46