Файл: Контрольная работа 1 Элементы алгебры и аналитической геометрии.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2023
Просмотров: 182
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Контрольная работа 1Элементы алгебры и аналитической геометрии№2a) ABб) BAв) A-1Вычислим определитель матрицы А:Вычислим элементы союзной матрицы:г) A A-1д) A-1А№12Проверим совместность. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:Видно, что ранг главной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Причем ранги равны числу неизвестных. Система совместна и имеет единственное решение.
1) Метод Крамера:По формулам Крамера:2) Метод обратной матрицыЗапишем систему в матричном виде:Найдем Найдем элементы союзной матрицы.Проверка:3) Метод Гаусса:При проверке совместности мы уже привели матрицу к ступенчатому виду.Осталось выразить переменные и через .Ответ:
№22Приведем главную матрицу системы к ступенчатому виду (нули столбца свободных членов можно не писать):Общее решение:Пусть z = 7, тогда фундаментальная система решений:№321) Вычислим определитель, составленный из координат векторов a,b,c.Следовательно, образуют базис.2) Разложим по базису.Составим систему:№421) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) уравнение высоты СD и ее длину; 4) уравнение медианы АЕ и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой СD; 5) уравнение прямой, проходящей через точку K параллельно стороне АВ; 6) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD. Сделать чертеж.1) Найдем длину стороны АB. Длину стороны найдем как длину вектора АВ.2) Уравнение стороны находим по формуле:Уравнение АВ:Угловой коэффициент АВ:
Уравнение ВС:. угловой коэффициент ВС.3) Найдем уравнение высоты СD и ее длину.Так как то направляющий вектор АВ – это нормальный вектор CD.Уравнение через точку с нормальным вектором :Уравнение CD:Длину высоты найдем как расстояние от точки С до прямой АВ:4) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD.Найдем координаты тычки Е – середины стороны ВС.Уравнение медианы АЕ:Координаты точки К найдем из системы:5) Найдем уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ.Так как уравнение параллельно АВ, то их направляющие векторы совпадают. Тогда:6) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD.Найдем координаты точки D – пересечения стороны АВ и высоты CD.
Точка D – середина отрезка АМ. Найдем координаты М:№42Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.Решение:1) Длина 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3.3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.Где направляющий вектор прямой А1А4, нормальный вектор плоскости А1А2А3.4) площадь грани А1А2А3.5) объем пирамиды.6) уравнение прямой А1А2.7) уравнение плоскости А1А2А3.Мы уже нашли нормальный вектор этой плоскости:Тогда уравнение плоскости через точку A1 с нормалью
1) Метод Крамера:По формулам Крамера:2) Метод обратной матрицыЗапишем систему в матричном виде:Найдем Найдем элементы союзной матрицы.Проверка:3) Метод Гаусса:При проверке совместности мы уже привели матрицу к ступенчатому виду.Осталось выразить переменные и через .Ответ:
№22Приведем главную матрицу системы к ступенчатому виду (нули столбца свободных членов можно не писать):Общее решение:Пусть z = 7, тогда фундаментальная система решений:№321) Вычислим определитель, составленный из координат векторов a,b,c.Следовательно, образуют базис.2) Разложим по базису.Составим систему:№421) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) уравнение высоты СD и ее длину; 4) уравнение медианы АЕ и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой СD; 5) уравнение прямой, проходящей через точку K параллельно стороне АВ; 6) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD. Сделать чертеж.1) Найдем длину стороны АB. Длину стороны найдем как длину вектора АВ.2) Уравнение стороны находим по формуле:Уравнение АВ:Угловой коэффициент АВ:
Уравнение ВС:. угловой коэффициент ВС.3) Найдем уравнение высоты СD и ее длину.Так как то направляющий вектор АВ – это нормальный вектор CD.Уравнение через точку с нормальным вектором :Уравнение CD:Длину высоты найдем как расстояние от точки С до прямой АВ:4) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD.Найдем координаты тычки Е – середины стороны ВС.Уравнение медианы АЕ:Координаты точки К найдем из системы:5) Найдем уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ.Так как уравнение параллельно АВ, то их направляющие векторы совпадают. Тогда:6) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD.Найдем координаты точки D – пересечения стороны АВ и высоты CD.
Точка D – середина отрезка АМ. Найдем координаты М:№42Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.Решение:1) Длина 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3.3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.Где направляющий вектор прямой А1А4, нормальный вектор плоскости А1А2А3.4) площадь грани А1А2А3.5) объем пирамиды.6) уравнение прямой А1А2.7) уравнение плоскости А1А2А3.Мы уже нашли нормальный вектор этой плоскости:Тогда уравнение плоскости через точку A1 с нормалью