Файл: Контрольная работа 1 Элементы алгебры и аналитической геометрии.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2023
Просмотров: 43
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Контрольная работа 1
Элементы алгебры и аналитической геометрии
№2
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_b5803a027488e7bc.gif)
a) AB
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_c3cd3e72c7f8a9d4.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_a19e300eb14b602.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_8ff9c48fbbbe25ef.gif)
б) BA
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_db083cbf3368841d.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_86ad20ca3de6791d.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_fbe1adfa701b43a1.gif)
в) A-1
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_7d2e430ea5ef3acb.gif)
Вычислим определитель матрицы А:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_42b608f827a8bca5.gif)
Вычислим элементы союзной матрицы:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_325da60711028fa0.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_c7b89942003b7b18.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_50570d217b275720.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_9761f0a4d288b7ec.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_5a9de37d3b3922c0.gif)
г) A A-1
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_49cd807f022dc884.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_5f56c4121f4251a5.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_71b5e06f2f6d59e2.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_64cb27ee8b32a056.gif)
д) A-1А
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_bbf747e5a405bc69.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_287bae8f50edf0fd.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_dcbe3460fa5f946c.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_62ce52b29ad938a1.gif)
№12
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_c0018d29f9a1571c.gif)
Проверим совместность. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_c71969bce777b841.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_7e266ca1b22abc1.gif)
Видно, что ранг главной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Причем ранги равны числу неизвестных. Система совместна и имеет единственное решение.
1) Метод Крамера:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_7137ac54777396e7.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_f8929162bfcc45b7.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_81762f60b1b14c81.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_6a1936c077a46694.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_716b49041b5e2f56.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_9d12436bf81b61ed.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_88464c1a02f10323.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_86d381a3d6e7226c.gif)
По формулам Крамера:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_566db1f50b9284ca.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_44ef974ef022a57e.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_94207d41674c265e.gif)
2) Метод обратной матрицы
Запишем систему в матричном виде:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_8700d9284eff3552.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_b2990df9eaeea6b1.gif)
Найдем
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_6998bd116c867074.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_d40b874c4047f037.gif)
Найдем элементы союзной матрицы.
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_f9fe78604f3f7b6.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_46632420ca74f6b3.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_a600bb6ab4132495.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_10540d029da84c90.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_bff2ac433bb959a5.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_629a987b6235723b.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_f9699d2ae43e2641.gif)
Проверка:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_a3b7fa8256faae16.gif)
3) Метод Гаусса:
При проверке совместности мы уже привели матрицу к ступенчатому виду.
![](/images/files/141840/1233804_html_7e266ca1b22abc1.gif)
Осталось выразить переменные
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_45bd5b4854bf3db3.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_f0a50d561237dd5c.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_4921d3b79cbdf932.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_ab32ff144b51a57b.gif)
Ответ:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_f9699d2ae43e2641.gif)
№22
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_7a1fec881024973b.gif)
Приведем главную матрицу системы к ступенчатому виду (нули столбца свободных членов можно не писать):
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_4f88ff4d53c2296d.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_915df9257fd9ca10.gif)
Общее решение:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_246e7756711fb3d3.gif)
Пусть z = 7, тогда фундаментальная система решений:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_927080189ffe43ae.gif)
№32
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_bd0f34b163860d26.gif)
1) Вычислим определитель, составленный из координат векторов a,b,c.
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_56a42b4113781c55.gif)
Следовательно,
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_bab7ad8d85ccb0b3.gif)
2) Разложим
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_5ebd3faaaf1fe47e.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_c1105e2ac7768056.gif)
Составим систему:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_263a222e37ef570d.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_bfbd86baa95b080.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_ff5fc3856fed97b0.gif)
№42
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_f20a02978221ea38.gif)
1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) уравнение высоты СD и ее длину; 4) уравнение медианы АЕ и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой СD; 5) уравнение прямой, проходящей через точку K параллельно стороне АВ; 6) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD. Сделать чертеж.
1) Найдем длину стороны АB. Длину стороны найдем как длину вектора АВ.
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_3d073471d5539f1.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_d117f93e33612bf9.gif)
2) Уравнение стороны находим по формуле:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_3e0840aec1977547.gif)
Уравнение АВ:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_5e085fc13e4823d3.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_ad2a085de131b29f.gif)
Угловой коэффициент АВ:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_74949a233a81eba7.gif)
Уравнение ВС:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_44327651b51f93bf.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_e494626a4dcb7983.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_f3e8121ca0892826.gif)
3) Найдем уравнение высоты СD и ее длину.
Так как
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_6a4a0feec6369d65.gif)
Уравнение через точку
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_fcac8d284ffd74bd.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_ddbe6de9f36d53ed.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_9bb3b24bff58bce7.gif)
Уравнение CD:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_e7d56b0376a19560.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_3ba9a7a5fa1ee10c.gif)
Длину высоты найдем как расстояние от точки С до прямой АВ:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_d380ddc53aacb765.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_49587332f20cc82b.gif)
4) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD.
Найдем координаты тычки Е – середины стороны ВС.
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_70785fac83461653.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_7b971a520d9a105c.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_e2de48bdc400e36b.gif)
Уравнение медианы АЕ:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_b46de3ab1c2b26aa.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_2ec8cb7dc8c64a8d.gif)
Координаты точки К найдем из системы:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_e822b056e2e8d427.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_3381cfc2b1b04645.gif)
5) Найдем уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ.
Так как уравнение параллельно АВ, то их направляющие векторы совпадают. Тогда:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_3241f7b0a1f88168.gif)
6) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD.
Найдем координаты точки D – пересечения стороны АВ и высоты CD.
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_4662c87a61e080f5.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_45d5b53693b49a6a.gif)
Точка D – середина отрезка АМ. Найдем координаты М:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_66007858a06092cd.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_1456bf7e85279c21.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_b2a7a42f4a8935c4.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_2077167b4a8c51d6.png)
№42
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_69091cfacb2267df.gif)
Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
Решение:
1) Длина
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_af016aaa32f1c848.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_4f06545d38d6ec4b.gif)
2) угол между ребрами А1А2 и А1А3.
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_2b682ec8a8bba8c3.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_b6120cb6156596bb.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_51d28b30fa8fbf02.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_cce401482c26d153.gif)
3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_51a4ae8c8add0161.gif)
Где
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_8b00fdcfb941dab3.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_48ea6088a5f780c8.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_33cdde6e35bd21ca.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_bace42f7fb87c360.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_e83fac6badab206d.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_fba9ec3fda93b436.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_6d36e7dd00c7ebd2.gif)
4) площадь грани А1А2А3.
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_cc654e102f3bed7d.gif)
5) объем пирамиды.
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_3d305aefad7c1c51.gif)
6) уравнение прямой А1А2.
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_9333780df222721d.gif)
7) уравнение плоскости А1А2А3.
Мы уже нашли нормальный вектор этой плоскости:
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_251bd1ee01566592.gif)
Тогда уравнение плоскости через точку A1 с нормалью
![](https://images.student-it.ru/files/141840/1233804_html_c62e120c3ed5fc1.gif)