Файл: Лабораторная работа 1 Построение компьютерной модели.pdf

1
Оглавление
Лабораторная работа №1 ............................................................................................ 2
Построение компьютерной модели ........................................................................... 2
Лабораторная работа №2 ............................................................................................ 7
Моделирование физических процессов в среде табличного процессора. ............. 7
Лабораторная работа №3 .......................................................................................... 19
Построение графических моделей физических процессов в среде Lazarus ........ 19
Лабораторная работа №4 .......................................................................................... 24
Имитация движения в среде Lazarus. ...................................................................... 24
Лабораторная работа №5 .......................................................................................... 30
Компьютерное моделирование в экологии ............................................................. 30
Лабораторная работа №6 .......................................................................................... 37
Компьютерное моделирование случайных процессов. ......................................... 37
Литература ................................................................................................................. 44

2
Лабораторная работа №1
Построение компьютерной модели
Краткие теоретические сведения
Понятие компьютерной модели и моделирования. Моделью называют идеальный или реальный объект, заменяющий собой другой объект в процессе его познания. Модель является представлением объекта в некоторой форме, отличной от формы его реального существования.
Моделирование – это изучение объектов путем построения и исследования моделей.
Классификация моделей.
В моделировании есть два заметно разных пути
– натурное и абстрактное моделирование.
Натурная модель – копия реального объекта, выполненная в другом масштабе, из другого материала, с отсутствием ряда деталей.
Абстрактная модель- представление, словесное или формализованное описание объекта.
Абстрактные модели делятся на вербальные и знаковые. Знаковые в свою очередь делят на математические, графические, информационные.
Вербальная модель представляет собой последовательности предложений какого-либо естественного языка, описывающую объект (например, протокол осмотра места происшествия, инструкция пользования прибором и т.п.)
Математическая модель – это совокупность исходных данных, результатов и связей между ними, выраженных в математической форме.
Информационная модель описывает объект в виде информационных процессов, происходящих в нем.
Компьютерное математическое моделирование связано с информатикой технологически. В настоящее использование компьютера и соответствующих процессов обработки информации является неотъемлемой стороной математического моделирования.

3
Этапы построения компьютерной модели.
Технологическая цепочка процесса решения задачи методом компьютерного моделирования включает следующие этапы:
I. Определение цели моделирования
II. Формализация задачи. Выделение существенных свойств объекта в соответствие с поставленной целью. Постановка задачи на формальном языке.
III. Построение математической модели (исходные данные, результаты, связь между ними).
IV. Выбор метода исследования. Построение компьютерной модели
(написание программы или табличного алгоритма)
V. Исследование, интерпретация результатов и проверка на адекватность.
Если модель не адекватно отражает реальность, возврат ко второму этапу, коррекция модели.
VI. Использование модели для достижения поставленной цели, а возможно, и для других целей.
Пример компьютерной модели «Биоритмы»
Постановка задачи. Существует гипотеза, что жизнь человека подчиняется трем циклическим процессам, называемым биоритмами. Эти циклы описывают три стороны самочувствия человека: физическую, эмоциональную и интеллектуальную. Биоритмы характеризуют подъемы и спады нашего самочувствия. За точку отсчета всех трех биоритмов берется день рождения человека.
Физический биоритм характеризует жизненные силы человека, т.е. его физическое самочувствие. Периодичность его составляет 23 дня.
Эмоциональный биоритм характеризует внутренний настрой человека, его способность эмоционального восприятия окружающего. Продолжительность периода эмоционального цикла равна 28 дням.
Интеллектуальный биоритм характеризует мыслительные способности, интеллектуальное состояние человека. Цикличность его – 33 дня.

4
Требуется осуществить моделирование биоритмов для конкретного человека от указанной текущей даты (дня отсчета) на месяц вперед.
I этап. Цели моделирования.
1. На основе анализа индивидуальных биоритмов прогнозировать неблагоприятные дни, выбирать благоприятные дни для разного рода деятельности.
2. На основе анализа биоритмов двух человек проверить их физическую или эмоциональную или интеллектуальную совместимость.
II этап. Формализация задачи.
Объектом моделирования в этой задаче является любой человек или группа людей, для которых известна дата рождения.
Исходные данные: дата рождения, день отсчета, длительность прогноза.
Расчетные данные: количество прожитых дней.
Результаты: физический, эмоциональный, интеллектуальный биоритмы.
Задача: исследовать зависимость трех вышеуказанных характеристик от времени, принимая за минимум их значение, равное минус единице и за максимум – единице.
III этап. Построение математической модели.
Предположим, что состояния человека меняются по синусоидальному закону с периодом 23, 28 и 33 дня соответственно. Пусть x – количество прожитых человеком дней, тогда физический цикл
ФИЗ(x)=sin(2x/23);
(1) эмоциональный цикл
ЭМО(x)=sin(2x/28);
(2) интеллектуальный цикл ИНТ(x)=sin(2x/33)
(3)
IV этап. Выбор метода исследования.
Для моделирования выберем среду электронной таблицы. В этой среде математическая модель имеет вид формул, введенных в таблицу (Рис.1).

5
Рис.1 Фрагмент таблицы в режиме отображения формул
Рис.2 Фрагмент таблицы в режиме отображения значений
Рис.3.По результатам расчетов (рис.2.) построены графики

6
V этап. Проверка модели на адекватность
Проверим модель на адекватность, введя свою дату рождения и сопоставляя результаты моделирования и собственные ощущения на основе уже прожитого периода.
VI этап. Использование модели.
1. Определим свои благоприятные и неблагоприятные дни для разного рода деятельности на ближайший месяц.
Задание к лабораторной работе
1. Осуществить моделирование собственных биоритмов
2. Построить модель своей совместимости с другим человеком в одном из аспектов (физическом, эмоциональном или интеллектуальном)
3. Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:
 постановку задачи и описание модели;
 результаты тестирования программы;
 результаты, полученные в ходе выполнения заданий (в различных формах);
 качественный анализ результатов.

7
Лабораторная работа №2
Моделирование физических процессов в среде табличного
процессора.
Краткие теоретические сведения
Второй закон Ньютона. В рассматриваемых ниже математических моделях физических процессов фундаментальную роль играет второй закон
Ньютона. Он гласит, что ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей на него силе (если их несколько — то равнодействующей этих сил) и обратно пропорционально его массе:


a
F
m

(1)
Свободное падение тела. Математическая модель свободного падения тела — уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на тело — силы тяжести и силы сопротивления среды. Движение является одномерным; проецируя силу тяжести
g
m

, силу сопротивления
ñîïð
F

, скорость
v

и перемещение
h

на ось, направленную вертикально вниз, получаем :









m
F
g
m
t
d
v
d
v
t
d
h
d
conp
,
(2)
Сила сопротивления имеет две составляющие:
2 2
1
v
k
v
k
F


Коэффициенты
k
1
и
2
k
определяется свойствами среды и формой тела.
Например, для шара
k
r
1 6


— так называемая формула Стокса, где

— динамическая вязкость среды,
r
— радиус шара. Обычно принимают cp
2 5
,
0

cS
k 
, где S - площадь сечения тела, поперечного по отношению к потоку,
cp

- плотность среды, c — безразмерный коэффициент лобового сопротивления (см. рис. 1). В конкретных задачах можно одной из составляющих силы сопротивления пренебречь (если она значительно меньше другой).

8
Рис. 1. Значения коэффициента лобового сопротивления для некоторых тел, поперечное сечение которых имеет указанную на рисунке форму
Взлет ракеты. Исследуем ситуацию, когда масса тела не является величиной постоянной. Запишем второй закон Ньютона в более общей математической форме.
Построим простейшую модель вертикального взлета ракеты, приняв следующие гипотезы:
1) масса ракеты уменьшается во время взлета по линейному закону:
m t
m
t если m t
m
m
если m t
m
кон
кон
кон
( )
,
( )
,
( )







0

,
(3) где m
0
 начальная масса ракеты, заправленной топливом; m
кон
 остаточная масса после полного выгорания топлива;

 расход топлива;
2) Сила тяги двигателя постоянна на всем участке взлета.
3) плотность воздуха , входящая в коэффициент k2, убывает по мере подъема ракеты по закону  = 
0
. 10
h
, где h  высота,   5,6 . 10
5
м
1
Таким образом, модель будет описываться системой двух дифференциальных уравнений для функций v(t) и h(t):
Диск
Полусфера
Шар
«Каплевидное» тело
c=1,11
c=0,55
c=0,4
c=0,045

9










,
)
(
)
(
10
)
(
5
,
0
,
2 0
t
m
t
v
s
c
t
m
F
dt
dv
v
dt
dh
h
˜Ø‹•


(4)
Движение
тела,
брошенного
под
углом
к
горизонту.
Дифференциальные уравнения модели получаются из второго закона Ньютона проецированием скорости и перемещения на горизонтальную и вертикальную оси координат:
dv
dt
k
k
v
v
m
v
dv
dt
k
k
v
v
m
v
dx
dt
v
dy
dt
v
x
y
x
y
x
y
y
x
y
x
 


 















1 2
2 1
2 2
2 2
,
,
,
(5)
Здесь m
 масса тела;
v
x
=vcos

,v
y
=vsin

- величины проекций начальной скорости v на горизонтальную и вертикальную оси;

 угол начального наклона вектора скорости к горизонту; k
1
и k
2
– коэффициенты, входящие в в формулу силы сопротивления.
Движение небесных тел. Рассмотрим модель движения космического тела (планеты, кометы, спутника) под действием силы всемирного тяготения в гравитационном поле, создаваемом телом с многократно большей массой.
Примем следующие предположения: «большое» тело находится в начале системы координат, другие тела на движение «малого» тела влияния не оказывают. Дифференциальные уравнения модели имеют вид
dx
dt
v
dy
dt
v
dv
dt
GM
x
x
y
dv
dt
GM
y
x
y
x
y
x
y


 

 












,
,
,
(
)
(
)
2 2 3 2
2 3
,
(6)

10 где M- масса «большого» тела; x, y - координаты «малого» тела, движение которого изучается; v
x
, v
y
– величины проекций скорости «малого» тела на горизонтальную и вертикальную оси, G = 6,67. 10
11
м
3
/кг с
2
 гравитационная постоянная .
Обезразмеривание. В задаче о движении небесных тел особенно неудобно работать с размерными величинами, измеряемыми миллиардами километров, секунд и т.д. В качестве величин для обезразмеривания удобно принять характерное расстояние от Земли до Солнца ρ = 1,496∙10 11
м, (так называемая астрономическая единица), период круговой орбиты
MG
T
3 2



,
соответствующий этому расстоянию, скорость движения по ней

MG
v 
, т.е. принять
T
t
v
v
V
v
v
V
y
Y
x
X
y
y
x
x








,
,
,
,
После обезразмеривания получаем



















)
(
2
)
(
2
,
2 2
3 2
2
,
3 2
2
,
Y
X
Y
d
dV
Y
X
X
d
dV
V
d
dY
V
d
dX
y
x
y
x








(7)
В безразмерных переменных уравнения вообще не содержат параметров.
Единственное, что отличает разные режимы движения друг от друга – это начальные условия.
Движение заряженных частиц. Рассмотрим модель движения заряженной частицы в кулоновском поле другой заряженной частицы, положение которой фиксировано.
В системе координат, начало которой привязано к «большому» телу, дифференциальные уравнения модели имеют вид

11
dx
dt
v
dy
dt
v
dv
dt
Qq
m
x
x
y
dv
dt
Qq
m
y
x
y
x
y
x
y


 



 














,
,
(
)
,
(
)
1 4
1 4
0 2
2 3 0
2 2 3


(8)
Они получаются из второго закона Ньютона и закона Кулона.

0
= 0,85
.
10
12 ф/м  электрическая постоянная. Знак “” в двух последних уравнениях соответствует разноименно заряженным частицам; в случае одноименных зарядов он меняется на “+”.
Здесь q и Q  соответственно заряды движущейся и закрепленной частиц; m  масса движущейся частицы; x и y -
координаты движущейся частицы; v
x
, v
y
- величины проекций скорости v движущейся частицы.на горизонтальную и вертикальную оси;
Метод
Эйлера
решения
обыкновенных
дифференциальных
уравнений.
Рассмотрим задачу
Коши:
Найти решение
)
(t
y
y 
дифференциального уравнения
)
,
( y
t
f
dt
dy 
для
]
,
[
0
b
t
t 
при начальном условии
)
(
0 0
t
y
y 
. Для численного решения уравнения проведем дискретизацию следующим простейшим способом: заменим непрерывные промежутки изменения t и y дискретными множествами значений, непрерывные функции –дискретными, производную – конечноразностным отношением. Получим :
),
,
(
);
,
(
1
i
i
i
i
i
i
y
t
f
t
y
y
y
t
f
t
y







откуда получаем разностную схему Эйлера:
)
,
(
1
i
i
i
i
y
t
tf
y
y




(9)
Здесь отрезок
]
,
[
0
b
t
разбит на n равных частей длиной
t

, так что
t
i
t
t
i




0 1
Вопрос о выборе конкретного значения
t

весьма непрост и определяется следующими соображениями.
При компьютерном моделировании можно получить решение задачи о движении тела на некотором дискретном множестве значений t
0
, t
0
+

t, …, t
0
+(n-1)

t. Чем