ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.02.2021
Просмотров: 178
Скачиваний: 1
|
|
Уравнение состояния идеального газа
Темы кодификатора ЕГЭ
: модель идеального газа, связь между давлением и средней кинетической энергией
теплового движения молекул идеального газа, связь температуры газа со средней кинетической энергией его
частиц, уравнение
p
=
nkT
, уравнение Менделеева — Клапейрона.
Из трёх агрегатных состояний вещества наиболее простым для изучения является газообраз-
ное. В достаточно разреженных газах расстояния между молекулами намного больше размеров
самих молекул (тогда как в жидкостях и твёрдых телах молекулы «упакованы» весьма плотно).
Поэтому силы взаимодействия между молекулами таких газов очень малы.
Для описания разреженных газов в физике используется
модель идеального газа
. В рамках
этой модели делаются следующие допущения.
1. Пренебрегаем размерами молекул. Иными словами, молекулы газа считаются материаль-
ными точками.
2. Пренебрегаем взаимодействием молекул на расстоянии.
3. Соударения молекул друг с другом и со стенками сосуда считаем абсолютно упругими.
Таким образом,
идеальный газ — это газ, частицы которого являются не взаимодействую-
щими на расстоянии материальными точками и испытывают абсолютно упругие соударения
друг с другом и со стенками сосуда.
Средняя кинетическая энергия частиц газа
Оказывается, что ключевую роль в описании идеального газа играет средняя кинетическая
энергия его частиц.
Частицы газа двигаются с разными скоростями. Пусть в газе содержится
N
частиц, скорости
которых равны
v
1
, v
2
, . . . , v
N
. Масса каждой частицы равна
m
0
. Кинетические энергии частиц:
E
1
=
m
0
v
2
1
2
,
E
2
=
m
0
v
2
2
2
,
. . . ,
E
N
=
m
0
v
2
N
2
.
Средняя кинетическая энергия
E
частиц газа — это среднее арифметическое их кинетиче-
ских энергий:
E
=
E
1
+
E
2
+
. . .
+
E
N
N
=
1
N
m
0
v
2
1
2
+
m
0
v
2
2
2
+
. . .
+
m
0
v
2
N
2
=
m
0
2
v
2
1
+
v
2
2
+
. . .
+
v
2
N
N
.
Последний множитель — это
средний квадрат скорости
, обозначаемый просто
v
2
:
v
2
=
v
2
1
+
v
2
2
+
. . .
+
v
2
N
N
.
Тогда формула для средней кинетической энергии приобретает привычный вид:
E
=
m
0
v
2
2
.
(1)
Корень из среднего квадрата скорости называется
средней квадратической скоростью
:
v
=
r
v
2
1
+
v
2
2
+
. . .
+
v
2
N
N
.
1
Основное уравнение МКТ идеального газа
Cвязь между давлением газа и средней кинетической энергией его частиц называется
основ-
ным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа
. Эта связь выводится из
законов механики и имеет вид:
p
=
2
3
nE,
(2)
где
n
— концентрация газа (число частиц в единице объёма). С учётом (
) имеем также:
p
=
1
3
m
0
nv
2
.
(3)
Что такое
m
0
n
? Произведение массы частицы на число частиц в единице объёма даёт мас-
су единицы объёма, то есть плотность:
m
0
n
=
ρ
. Получаем третью разновидность основного
уравнения:
p
=
1
3
ρv
2
.
(4)
Энергия частиц и температура газа
Можно показать, что
при установлении теплового равновесия между двумя газами вырав-
ниваются средние кинетические энергии их частиц
. Но мы знаем, что при этом становятся
равны и температуры газов. Следовательно,
температура газа — это мера средней кинетиче-
ской энергии его частиц
.
Собственно, ничто не мешает попросту отождествить эти величины и сказать, что темпе-
ратура газа — это средняя кинетическая энергия его молекул. В продвинутых курсах теоре-
тической физики так и поступают. Определённая таким образом температура измеряется в
энергетических единицах — джоулях.
Но для практических задач удобнее иметь дело с привычными кельвинами. Связь средней
кинетической энергии частиц и абсолютной температуры газа даётся формулой:
E
=
3
2
kT,
(5)
где
k
= 1
,
38
·
10
−
23
Дж/К —
постоянная Больцмана
.
Из данной формулы можно получить выражение для средней квадратической скорости ча-
стиц. Подставим (
m
0
v
2
2
=
3
2
kT,
откуда
v
=
r
3
kT
m
0
.
В эту формулу входит масса частицы
m
0
, которую ещё надо вычислить. Но можно получить
более удобный вариант формулы, домножив числитель и знаменатель подкоренного выражения
на число Авогадро
N
A
:
v
=
r
3
kN
A
T
m
0
N
A
.
В знаменателе имеем:
m
0
N
A
=
µ
— молярная масса газа. В числителе стоит произведение двух
констант, которое также является константой:
R
=
kN
A
= 1
,
38
·
10
−
23
Дж
К
·
6
,
02
·
10
23
моль
−
1
= 8
,
31
Дж
моль
·
К
.
Константа
R
называется
универсальной газовой постоянной
.
2
Теперь формула для средней квадратической скорости приобретает вид:
v
=
s
3
RT
µ
.
Такое выражение гораздо более удобно для практических вычислений.
Уравнение Менделеева — Клапейрона
Берём формулу
p
=
2
3
nE
и подставляем в неё
E
=
3
2
kT
. Получаем:
p
=
nkT.
Вспомним теперь, что
n
=
N
V
и
N
=
νN
A
, где
ν
— число молей газа:
p
=
N
V
kT
=
νN
A
V
kT
=
νRT
V
,
откуда
pV
=
νRT.
(6)
Соотношение (
) называется
уравнением Менделеева — Клапейрона
. Оно даёт взаимосвязь
трёх важнейших макроскопических параметров, описывающих состояние идеального газа —
давления, объёма и температуры. Поэтому уравнение Менделеева — Клапейрона называется
ещё
уравнением состояния идеального газа
.
Учитывая, что
ν
=
m
µ
, где
m
— масса газа, получим другую форму уравнения Менделеева —
Клапейрона:
pV
=
m
µ
RT.
(7)
Есть ещё один полезный вариант этого уравнения. Поделим обе части на
V
:
p
=
m
V µ
RT.
Но
m
V
=
ρ
— плотность газа. Отсюда
p
=
ρ
µ
RT.
(8)
В задачах по физике активно используются все три формы записи (
3