Файл: Матан_шпора_таблица.docx

№6 Переход к точным граням в неравенствах.: A<B, . Пусть (Пп:) Возьмём т.о. Но это противоречит условию . Значит (пП).
Док-во полноты числ.прямой:

№10 Th. Всякая система вложенных отрезков имеет непустое пересечение. Докво: – один отрезок вложен в другой. Доказали. Но,тогда по свойству непрерывности ч.п. найдётся такое . Н-во будет иметь место и в случае если

№12 Th. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Дано: . Зафиксируем какое-нибудь значение E. По этому значению подберём N_0, такое, что n>N_0 будет выполняться н-во. Оно возможно не выполняется для членов последовательности , но среди тех, членов послти, кот не удовлетворяют н-ву можно выбрать мин. и макс. элт., и тогда мы придём к выводу об ограниченности посл-ти в целом. т.о. и выполняется для всех членов последовательности. Это и означает ограниченность последовательности

№14 Th. О переходе к пределу в н-ве.
Пусть –две сходящиеся последовательности и . Пусть кроме того, члены этих послдстей, начиная с некоторого номера связаны н-вом тогда . Док-во. (Пп:) . в частности . Из того, что . По условию теоремы: . Обозначим . ЧТД.

№19 Th. Всякая монотонная ограничнная последовательность сходится т.е. имеет конечный предел = Более точно: если последовательность возрастает и огр. сверху, то она имеет конечный предел, равный её ТВГ и тож само для ТНГ. Док-во: I) Пусть возрастает и ограничено сверху т.е. . Докажем что . Зафиксируем Из опр. ТВГ последовательности вытекает, что , но последовательность возрастает, поэтому н-во влечёт за собой , поэтому . Это и означает, что . То же самое для убывающей.

№22 Th. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Всякая ограниченная последовательность имеет конечный частичный предел т.е. из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Док-во: Пусть {X_n} – ограничена. Это озн. что . Все члены последовательности – отрезки числовой прямой. Разделим [a,b] пополам. Т.к. на отр. [a,b] находятся все члены последовательности (беск.много), то по крайней мере на одной из половин отрезка [a,b] содержится бесконечно много членов последовательсности. Обозначим через ту половину [a,b], кот. содержит беск. много членов посл-ти . Пусть – номер какого-нибудь члена последовательности: Разделим – пополам. И хотя бы на одной из полученных половинок содержится бесконечное количество членов последовательности . На шаге с номером k мы имеем отр-ки: При этом – содержит бесконечно много членов последовательности . Разделим и пополам. На нем беск.много членов последовательности, значит и на одной из его половинок из тоже беск.много. Обозначим их и пусть такой что . Получилась система вложенных отрезков. . Докажем, что именно эта последовательность является сходящейся. Наша последовательность отрезков {[a_k,b_k]} получена методом половинного деления Докажем что Отсюда следует, что единственная точка, принадлежащая всем отрезкам этой стягивающейся системы. т.к.

№28 Th. Теорема Вейерштрасса в терминах предельных точек.
Дано: является предельной точкой мн-ва А ТиТТК Док-во: 1) Необходимость: Дано \n \n \n \n , где [@] имеем . Необходимость доказана. 2) Достаточность: Дано Доказать, что в любой окрестности x : По опр.предела: . ЧТД

№31 Th. Эквивалентность определений Коши и Гейне предела функции в точке.
Дано: если в смысле опр.Коши, то и в смысле опр. Гейне и наоборот. Док-во 1) К Г. Дано Доказать . Зафиксируем и для него подберем сигму>0 в соотв. с опрделением Коши. так что: Для найденного значения сигма , но тогда по опр. Коши: предел в соответствии с опр. предела последовательности. 2) Дано: Докво: (Пп:) . Возьмём по теореме о двух полицейских (пП)

№34 Th. непрерывность рациональных функций в точках области определения.
x_0 явл. корнем многочлена P(x) P(x) делится без остатка на (x-x_0) т.е. когда имеет место равенство: т.е. для:

№37 Th. Если , то являются функциями одного порядка при . Докво: зафиксируем любое Е>0 . Возьмём

Th. Пусть В этом случае для того, чтобы функция U(x) имела больший порядок малости, чем . Док-во: (Н) Пусть U(x)=ω(x)⋅ v(x), где . (Д):

№40 Th. I теорема Вейерштрасса о непрерывной функции. Если функция непрерывна на ограниченном замкнутом мн-ве, то она ограничена на этом мн-ве. В частности непрерывная на отрезке ф-я, ограничена на этом отрезке. Док-во: Пусть функция y=f(x) непрерывна на огр.замкнутом D⊆ℝ. Нужно доказать, что она ограничяена т.е. . Докво: (Пп:) что функция не ограничена на мн-ве D. Применяем правило отрицания высказывания: построена как последовательность из точек ограниченного мн-ва D. но в таком случа и . Это значит, что – ограничено. По теореме Б-В из ограничнного можно выделить сходящуюся п-посл-ть. Пусть является предельной для D. Из того, что D – замкнуто, значит . Но функция непрерывна на мн-в D, а значит она непрерывна и в т. . , а значит она ограничена в некоторой окр-ти По сути частности такие н-ва должны быть выполнены для всех членов посл- большими номерами. Но по построению

№43 Th. Следствие 1. если непрерывная на отрезке функция принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то, в какой-нибудь точке этого отрезка она принимает нулевое значение. Док-во?: – имеет хотя бы 1 корень на этом отрезке. Следствие 2. Пусть непрерывна на промежутке D⊆ ℝ, тогда значения ф-ии f(x) заполняют сплошь промежуток (возможно открытый) между Это означает, что м-во значений непрерывной на промежутк функции представляет собой промежуток. Док-во: зафикс Поскольку тогда Непрерывная ф-я отобр промежуток в промежутке.

№46 Th. О непрерывности монотонной функции.
Пусть y=f(x) строго монотонна на промежутке D⊆ℝ, а её зн-я сплошь заполняют пром-ток Е. Тогда ф-я f – непрерывна на пром-тке D. Док-во: Пусть для опр-ти ине явл. правым концом пром-тка , что функция непрерывна справа в т. . Пусть не является правым концом пром-тка Е силу строгого возрастания – не самая правая точка промежутка. Это дут из того, что зн-я функции сплошь заполняют E. Кроме того, укажм ? Тогда в силу [@] Аналогично докажем, что Аналогично доказывается, что если точка не является левым концом промежутка D, то ф-я f непрерывная в ней слева.

№49 Th. Определение степени с произвольным вещественным показателем a^x,x∈ℝ ( Корректно в сл. смысле: 1) ∃lim_(n->\infty) a^(r_n) // Существует конечный предел последовательности. 2) Этот предел не зависит от конкретной посл-ти рациональных чисел, сходящихся к числу Х. т.е. .

№6 Th. Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет конечную точную верхнюю (нижнюю) грань. Док-во. Пусть ограничено сверху . Два случая доква: 1) Среди элтов мнва А имеется хотя бы одно неотрицательное число 2) Все элты являются отрицательными.
1 сл.) Каждое из этих чисел представим в виде бесконечной дес.дроби и с помощью всех этих дробей составим ещё одну дробь, действуя в соотв. со сл. алгоритмом: сначала рассм. все части всех этих дес.дробей в силу и целые части неотр.дробей не превосходят числа М. Среди этих частей найдётся наибольшая, обозначаим её: неотр. целое. Сохраним среди неотр.чисел множества А лишь те, у кот. целая часть . Остальные отбросим. У сохранённых чисел рассмотрим первые десятичные знаки после запятой (их не больше 10. возможно среди них найдётся наибольшее, которое мы обоозначим за . Оставим теперь для рассмотрения лишь те неотр. числа из мнва А, у кот. целая часть а дробная . Среди этих чисел оставим те, у кот. 2-я цифра после запятой – максимальная и т.д. Продолжая рассуждения далее, получим некоторую дес.дробь . Докажем что именно это число является ТВГ мнва А. Для этого восп. Опр.2 что по построению X’ – не отр., поэтому для любого элта это н-во заведомо выполняется. Докажем что это н-во неотр.элтов мнва А. (Пп:) Не все элты удовлетворяют н-ву По правилу сравнения дес.дробей для этого числа будут иметь место соотношение: . Это противоречит тому, что в качве
Докажем второе утверждение. Для Если x’ является отрицательным, то н-во x>x’ – заведомо удовлетворяет неотр. эл-ту x из мн-ва А. Пусть x’ является неотрицательным с другой стороны из построения числа вытекает что для любого m у кот. целая часть и все первые m знаков после запятой такие же как у числа X’. .
2 сл.) Все элты нашего мнва отрицательны. В этом сл. мы представим все элты X, принадлежащие А – отрицательными бесконечнымии десятичными дробями. Пусть наим из целыех частей этих дробей, - наим из первых дес знаков тех дробей, целая часть которых равна , - наименьший из вторых дес. знаков тех дробей, целая часть которых равна . Получим Дальнейшее докво полностью аналогично первому случаю. ЧТД.

№58 Th. Второй замечательный предел.
Доказать,что Док-во. Сначала докажем, что предел справа = e. Т.к. Отсюда следует: какую бы б.м.п мы не взяли из , то вытекает но в силу определения Гейне это и означает, что Слева: Пусть {X_n} x_n<0 . чтд.

№61 Th. Теорема Кантора. Если функция непрерывная на ограниченном замкнутом мн-ве, в частности на отрезке, то она равномерно непрерывна на этом мн-ве. Докво: y=f(x) непрерывна на ограниченном замкнутом мн-ве D∈ℝ. Докажем, что она равномерно непрерывна. (Пп:) . Возьмём какую-нибудь последовательность и при этом . D – ограниченное замкнутое множество - ограничено по теореме Б-В. Из ограниченной посл-ти можно выделить подпоследовательность По определению Гейне непрерывности ф-ии в точке мы имеем Отсюда следует что разность этих пределов равна нулю т.е. (:пП)

17. Th. (о свойствах пределов сходящихся последовательностей)

Пусть: – две сходящиеся последовательности, причем:

Тогда сходятся последовательности вида: , и имеют место равенства:

Заготовки для док-ва каждого св-ва: ,

Д-во (сумма и произведение):

1. – это и есть предел суммы/разности.

2. – это и есть предел произведение.

Два свойства доказаны. Чтд.

20. Th. (о существовании бесконечного предела неограниченной последовательности)

Если последовательность возрастает и не ограничена сверху, то ее предел . Если же последовательность убывает и не ограничена снизу, то ее предел

Д-во: 1) – возрастает, не ограничена сверху.

. Из неограниченности сверху следует, что

– убывает, не ограничена снизу.

. Из неограниченности снизу следует, что

. Чтд.

23-1) Th. Если последовательность имеет предел, то и любая ее подпоследовательность имеет тот де предел, и обратно, если все подпоследовательности данной последовательности имеют один и тот же предел, то последовательность имеет такой же предел.

Д-во: 1)

Выделим подпоследовательность , так, чтобы

Для данного

. Чтд.

23-2) Th. Больцано-Вейерштрасса. Всякая ограниченная последовательность имеет конечный частичный предел; другими словами, из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Кроме того, если числовая последовательность не ограничена сверху, из нее можно выделить подпоследовательность, имеющую , а если числовая последовательность не ограничена снизу, из нее можно выделить подпоследовательность, имеющую .

Д-во (для неограниченных последовательностей): Докажем теорему для последовательности, не ограниченной сверху (док-во для неограниченной снизу аналогично). Итак, . Очевидно, последовательность также не ограничена сверху, так как получается из данной неограниченной сверху послед. отбрасыванием конечного числа ее членов. Поэтому существует такое . Продолжая этот процесс, получим последовательность таких номеров , что и . Отсюда следует, что – подпоследовательность последовательности и, согласно следствию из свойства пределов последовательностей ( ) . Чтд.

29-1) Th. (Необх. и дост. Условие существования конечного предела ф-ции в точке в терминах односторонних пределов). – определена на . Тогда, чтобы имела предел в , необх. и дост., чтобы в она имела совпадающие односторонние пределы слева и справа. Тогда общее значение этих одностор. Пределов и является пределом в .

Д-во: 1) Необход. Дано: . Д-ть: . Д-во: . Это верно и для и для . Необход. Доказана. 2) Достат. Дано: . Д-ть: . Д-во: . Выберем меньший из и обозначим . Тогда: . Получили определения предела ф-ии в точке . Чтд.

29-2) Th. Если , определенная на , имеет конечный предел в т. , то ограничена в пересечении некоторой проколотой окрестности т. и мн-ва .

Д-во: - это и означает ограниченность на . (Предел можно заменить на односторонний предел, а окрестность – на соответствующую одностороннюю окрестность). Чтд.

32-1) Th. Арифметические св-ва пределов ф-ий. Пусть – определены на мн-ве . Тогда выполняются св-ва: 1) , 2) , 3) , то

Д-во: 1) Пусть . Из определения Гейне предела ф-ии: . По арифметическим св-вам пределов последовательностей: , откуда, опять же, по определению Гейне предела ф-ии в точке, следует:

2-е и 3-е св-ва доказываются аналогично. Чтд.

32-2) Th. (о переходе к пределам ф-ий в неравенствах):

Д-во: .Чтд.

32-3) Th. (о 2 милиционерах для ф-ий): – определены на ; ; ;

Д-во: . Чтд.

32-4) Th. (Св-ва б.м. и б.б. ф-ий в точках): 1) , то: 2) , то: 3) , то ; , то

Д-во (все кроме 1-ого св-ва): 2) – св-во доказано. 3) - св-во доказано. Аналогично доказывается 2-я часть св-ва. Чтд.

32-5) Th. (о связи предела ф-ии в точке с б.м. ф-ями в точке (необ. и дост. условие существ. Предела ф-ии в точке в терминах б.м. ф-ий)): Дано: Д-ть:

Д-во: (определение Коши): Чтд.

38) Th. Для того, чтобы ф-ия имела больший порядок малости, чем (то есть, чтобы выполнялось равенство ), необходимо и достаточно, чтобы

Д-во: 1) Необход. Пусть . . Необход. доказана. 2) Дост. . Дост. доказана. Чтд.

Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения).

Доказательство: Пусть f(x)∈C([a;b]) , c=infx∈[a;b]f(x), d=supx∈[a;b]f(x). По первой
теореме Вейерштрасса c,d∈R . Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x1,x2∈[a;b] , чтоf(x1)=c,f(x2)=d.

Докажем, например, существование точки x2.

По определению верхней грани имеем (∀x∈[a;b])(f(x)=d) . Предположим противное, т.е. точки x2, в которой f(x2)=dна [a;b], тогда на [a;b] выполняется условиеf(x)<d или d−f(x)>0 . Далее введем вспомогательную функцию ϕ(x)=1d−f(x) . ϕ(x) на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a;b] функций и d−f(x)/=0) , поэтому по первой Т. Вейерштрасса ϕ(x) на [a;b] ограничена.
Это означает, что при некотором М>0 (∀x∈[a;b])(0<1d−f(x)≤M) , отсюда имеем f(x)≤d−1M<d .
Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, что f(x2)=d.

Аналогично доказывается существование точки x1∈[a;b] , такой что f(x1)=c.

41) Th. (2-ая теорема Вейерштрасса о непрерывной на огр. замкн. мн-ве ф-ии): Если ф-ия непрерывна на огр. замкн. мн-ве (в частности, на отрезке), то на этом отрезке она достигает своих точных верхней и нижней граней. Дано: – непрерывна на огр. замкн. . Д-ть:

Д-во: Докажем его для . По 1-ой Th. Вейерштрасса непрерывная ф-ия ограничена на отрезке, на котором является непрерывной . Предположим противное: – непрерывна на в силу 1-ой Th. Вейерштрасса – ограничена на . По опр. – это доказывает, что – не ограничена на , получили противоречие, что доказывает Th. Чтд.

13. Единственность предела.

Сходящаяся последовательность имеет единственный предел. Пусть - сходящаяся последовательность. Докажем, что она имеет единственный предел. Предположим противное, а именно, что , причём . Для определённости укажем, что . Возьмём > 0.

=> [@] => [@] [@] должны выполняться неравенства и Т.к. , то неравенства принимают вид: получили противоречие, что опровергает предположении и тем самым доказывает теорему.

15. Теорема о промежуточной последовательности.

Пусть даны три последовательности {} {} {}. Начиная с некоторого номера они связаны неравенством . Кроме того , то и .

:

=> [@] =>

[@] [@] [@] , что означает, что . Что и требовалось доказать.

18. Арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей (доказательство утверждения о пределе частного).

Для того, чтобы предел последовательности был равен A, необходимо и достаточно, чтобы была бесконечно малой.

Об арифметических свойствах предела последовательности. Пусть {} {} – сходящиеся последовательности, причём и Тогда сходятся и последовательности вида {} и {}, причём и . Если кроме того , то сходится и последовательность вида , причём Доказательство утверждения о пределе частного. - по предыдущей теореме. – бесконечно малая. [@] – бесконечно малая. [@] Докажем, что – ограниченная. [@ ] [@] @ @ [@] @ @ @ – ограниченная последовательность, а значит - бесконечно малая.

24. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.Последовательность называется фундаментальной или последовательностью Коши, если она удовлетворяет следующему условию: [@] или Другими словами с увеличением номеров члены последовательности неограниченно приближаются друг к другу. Критерий Коши сходимости числовых последовательностей. Для того, чтобы последовательность сходилось, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. 1. Необходимость. – фундаментальная. @ @ @ @ @ @ @ 2. Достаточность. {} – фундаментальна. Доказать: @ Докажем ограниченность {}. @ @ Из фундаментальности следует: @ @ @ ∀ @ Пусть @ , что означает ограниченность , а значит и то, что что и требовалось доказать.

30. Определение Коши непрерывности функции в точке. Случаи изолированной точки и предельной точки области определения функции. Односторонняя непрерывность. Теорема о сохранении знака непрерывной в точке функции и в окрестности этой точки. Точки разрыва функции и их классификация. @ Пусть определена на . Функция называется непрерывной в точке , если выполняется следующее условие: @ Из этого определения следует:

1. Если - предельная точка, то функция f непрерывная в точке непрерывна на D.

2. Если ( – предельная), то непрерывность f в точке означает, что

Если f(x) определена в окрестности , то для её непрерывности необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна и слева и справа. @ Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Пусть определена на (или < 0) , тогда , . @ @ 1) Пусть , пусть [@] @ 2) Пусть - аналогично с пунктом 1.

33. Предел и непрерывность суперпозиции функций.

Пусть y=f(x) определена на D, - предельная точка. Пусть пусть на тогда

Воспользуемся определением Гейне. Пусть есть . [@] По условию

@ , ч.т.д.

36. Первый замечательный предел. Следствия. В тригонометрическом круге проведем ось тангенсов. Построим луч, соединяющий центр круга с точкой х, достроим его так, чтобы он пересекал ось тангенсов. О – центр окружности. М – точка х на круге. Р – точка пересечения луча с осью тангенсов, К – точка пересечения оси тангенсов с осью косинусов. @ @ @ @ @ @ . @ @ переходим к пределу. @

Следствия: [@]