Файл: Matan_kollokvium_1_28.docx

1. Множества и операции над ними. Свойства операций над множествами. Подмножества. Пустое множество. Декартово произведение множеств. Отображение, функция. Сюръективное, инъективное и биективное отображение. Обратное отображение.

Множества

! Множество – совокупность объектов одной природы.

Обозначаются: A,B,C…

a ∈ B – элемент a принадлежит множеству B

а ∉ B – элемент а не принадлежит множеству B

∀ - квантор общности

∃ - квантор существования

∃ а ∈ В – найдется элемент а принадлежащий множеству В

∃! – существует единственный

⇒ - отсюда следует

А ⇒ В

⇔ - необходимо и достаточно, тогда и только тогда

А ⇔ В :

1) А – необходимое условие В (В ⇒ А)

2) В – достаточное условие А (А ⇒ В)

Подмножества

! А ⊂ В ⇔ Множество А является подмножеством В если все элементы множества А входят в множество В. ⇔ А ⊂ В ⇔ ∀ а ∈ А ⇒ а ∈ В

! А = В ⇔ эти множества состоят из одних и тех же элементов ⇔

⇔ ∀ а ∈ А ⇒ а ∈ В и ∀ а ∈ А ⇒ а ∈ В

! ∅ ⇔ пустое множество, в нём нет ни одного элемента ⇔ ∀ А ∅ ⊂ А

Операции над множествами

1. Объединение
   А ∪ В = С – элементы С принадлежат по крайней мере А или В
   а ∈ С ⇔ а ∈ В или а ∈ А
   Свойства:
   1. А ∪ В = В ∪ А
   2. А ∪ (В ∪ С) = (А ∪ В) ∪ С = (А ∪ С) ∪ В
   3. А ⊂ В ⇒ А ∪ В = В

2. Пересечение
   А ⋂ В = С – элементы С входят и в А, и в В одновременно
   а ∈ С ⇔ а ∈ А и а ∈ В
   Свойства
   1. А ⋂ В = В ⋂ А
   2. А ⋂ (В ⋂ С) = (А ⋂ В) ⋂ С
   3. А ⊂ В ⇒ А ⋂ В = А

3. Вычитание
   А \ В = С элементы С входят в А, но не входят в В
   а ∈ С ⇔ а ∈ А и а ∉ В

4. Дополнение
   (А ⊂ Е) Е \ А – дополнение множества А до множества Е.

2. Вещественные числа и их свойства. Аксиома Архимеда.
   Модуль числа, неравенства | x + y| ≤ |x| + |y|, ||x| - |y|| ≤ |x-y|. Целая и дробная часть числа. Промежутки (интервал, полуинтервал, отрезок)

Вещественные числа - расширение множества рациональных чисел, возникшее из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений. Обозначается это множество R

Свойства вещественных чисел:

1. Правило упорядочения. ∀ a,b ∈ R связаны одним и только одним из знаков >,< или =.

2. ∀ a,b ∈ R ∃ с ∈ R, называемое их суммой и обозначаемое с=a +b. Операция нахождения суммы называется сложением.

3. ∀ a,b ∈ R ∃ с ∈ R, называемое их произведением и обозначаемое с=a * b. . Операция нахождения произведения называется умножением

4. ∀ a,b,c ∈ R: a>b, b>c ⇒ a>c (свойство транзитивности знака >); ∀ a,b,c ∈ R: a=b, b=c ⇒ a=c (свойство транзитивности знака =)

5. a+b = b+a (коммутативность)

6. (a+b)+c = a + (b+c) (ассоциативность)

7. ∃ 0: a+0 = a, ∀ a ∈ R (особая роль нуля)

8. ∀ а ∈ R ∃ a’ ∈ R: a+a’=0; a’ – противоположное.

9. a*b = b*a (коммутативность)

10. (a*b)*c = a*(b*c) (ассоциативность)

11. ∃ 1: а*1 = а, ∀ а ∈ R (особая роль единицы)

12. ∀ a ≠ 0 ∃ a’: a*a’ = 1; a’ – обратное

13. (a+b)*c = a*c + b*c (дистрибутивность)

14. a>b ⇒ a+c>b+с

15. a>b и c>0 ⇒ a*c>b*c

16. Каково бы ни было число а, можно число 1 повторить слагаемым столь раз, что сумма превзойдет а.

Аксиома Архимеда:

∀ а ∈ R , а > 0, ∃ n ∈ N: a*n ≥ 1

1. a ≥ 1 ⇒ n = 1.

2. 0<a<1
   a = a₀,a₁a₂a₃…
   a₀ = 0, a₁=a₂=…=a_k-1=0, a_k ≠ 0
   а = 0,00…0a_k (k-1 нулей после запятой)
   a*10^k = a_k,a_k+1… n = 10^k

Модуль числа:

х ∈ R, |x| = x, x>0
|x| = 0, x=0
|x| = -x, x<0

Неравенства |x + y| ≤ |x| + |y|, ||x| - |y|| ≤ |x-y|

• (|x+y|)² = x² + 2*x*y + y² ≤ |x|² + 2*|x|*|y| + |y|² = (|x| + |y|)² ⇒ |x+y| ≤ |x| + |y|

• |x| = |(x-y)+y| ≤ |x-y| + |y|
  |x| ≤ |x-y| + |y|
  |x| - |y| ≤ |x-y| (1)
  |y| = |y-x+x| = |(y-x)+x| ≤ |x-y| +|x|
  |y| ≤ |x-y| + |x|
  |y|-|x|≤|x-y| (2)
  (1) и (2) ⇒ |x-y| ≥ ||x|-|y||

Целая и дробная часть числа

х = х₀,х₁х₂…

[х] – целая часть числа
[х] = х₀, х>0
[х] = х₀-1, х<0

{x} – дробная часть числа
{х} = 0,х₁х₂, х>0
{х} = 1-0,х₁х₂, х<0

Промежутки. Интервал, полуинтервал, отрезок.

{х ∈ R :а≤х≤b} = [a,b] – отрезок
{х ∈ R :а<х<b} = (a,b) – интервал
{х ∈ R :а≤х<b} = [a,b) – полуинтервал

3. Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя и нижняя грани множества. Свойство полноты множества вещественных чисел. Существование точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества.
   
   

D ⊂ R, D – ограниченное сверху ⇔ ∃ b ∈ R : ∀ х ∈ D x ≤b; b – верхняя грань множества

D ⊂ R, D – ограниченное снизу ⇔ ∃ b ∈ R : ∀ х ∈ D x ≥ b; b – нижняя грань множества

D ≠ ∅ - ограниченное ⇔ ограниченное сверху и снизу ⇔ ∃ b₁,b₂ ∈ R : ∀ х ∈ D: b₁ ≤ x ≤ b₂

D ⊂ R, D – неограниченное сверху ⇔ ∀ b ∈ R : ∃ х ∈ D x ≥ b

D ⊂ R, D – неограниченное снизу ⇔ ∀ b ∈ R : ∃х ∈ D x ≤b

D ⊂ R, D – неограниченное ⇔ ∃ М > 0: ∃ х ∈ D : |x| >M

Свойство полноты множества вещественных чисел.

Пусть A/B – сечение множества D точкой b:

А ∪ В = D

А ⋂ В = ∅

∀ х ∈ А, ∀ у ∈ В: x<y.

A = {х ∈ R: х ≤ b (x<b)}, B = {у ∈ R:у > b (y≥b)}

b = sup A = inf B

Полнота множества R заключается в том, что точка b, выполняющая сечение числовой оси и b = sup A = inf B, принадлежит либо множеству А, либо множеству В.

Существование точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху(снизу)множества.

ТЕОРЕМА: у всякого ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань, а у ограниченного снизу – точная нижняя грань.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
D – ограниченное сверху ⇔ ∃ b ∀ х ∈ D: x≤b. Рассмотрим несколько случаев:

1. а = max x, х ∈ D.
   1. ∀ х ∈ D х ≤ a ⇒ а ∈ B (множество верхних граней)

2. ∀ b ∈ B a ≤ b
Предположим противное, ∃ b ∈ B: b<a ∈ D ⇒ b ∉ B – пришли к противоречию.

2. У множества D нет максимального элемента
   2’) {0} ∈ D
   Введем числа х и х’: х = х₀,х₁х₂…, х’ – подобное. х >0, x’>0.
   x>x’ ⇒ х₀ > x₀’ либо х₀ = x₀’ и х₁ > x₁’ либо … либо х₀ = x₀’ и х₁ = x₁’ и … и –х_k > x_k’
   Возьмем множество D₀ = {х ∈ D: х ≥0} ⊂ D
   х ∈ D, х = х₀,х₁…D – ограниченное ⇒ ∀ х ∈ D: х ≤ b и ∀ х ∈ D₀ : х ≤ b.
   Пусть s₀ = max x₀, x ∈ D₀.
   Введем множество D₁ ∈ {x ∈ D₀: х = s_0,x₁x₂…}⊂ D₀ ⊂ D
   Пусть s₁ = max x₁, x ∈ D₁ и так до бесконечности.
   В итоге получим число s = s₀,s₁s₂…s=sup D ?
   1) ∀ х ∈ D: х ≤ s?
   Предположим противное, ∃ х ∈ D: х > s ⇒ х₀ > s₀, либо х₀ =s₀ и х₁ > s₁ и так далее до s_k. Приходим к противоречию, так как s_k мы выбирали как максимальное.
   2) ∀ b ∈ B: b ≥ s?
   Предположим противное, ∃ b < s
   b₀ <s₀
   b₀ =s₀, b₁ < s₁
   …
   b₀ =s₀, b₁ = s₁, … , b_k < s_k
   ∀ х ∈ D_k+1 ⊂ D s = s₀,s₁…s_kx_k+1… ⇒ x>b пришли к противоречию.
   2’’) {0} ∉ D , а ∈ D .
   D' = {x’: x’ = x-a, x ∈ D} ⇒ {0} ∈ D’ , далее доказательство аналогично.
   3) ∃ b ∀ х ∈ D х ≥ b ⇒ ∀ х ∈ D –х ≤ -bD’ = {x’:x’=-x; x ∈ D}, то D’ – ограниченное сверху, доказательство аналогично пунктам 1) и 2).

Свойства операций:

1) А ∪ (В ⋂ С) = (А ∪ В) ⋂ (А ∪ С) – дистрибутивное
2) А ⋂ (В ∪ С) = (А ⋂ В) ∪ (А ⋂ С) - дистрибутивное
3) А ∪ ∅ = А
4) А ⋂ ∅ = ∅
5) Е \ (А ⋂ В) = (Е \ А) ∪ (Е\В)
6) Е \ (А ∪ В) = (Е \ А) ⋂ (Е \В)

Доказательство:
∀ а ∈ Е \(А ∪ В) ⇒ а ∈ Е и а ∉ А ∪ В ⇒ а ∈ Е и а ∉ А и а ∉ В ⇒ а ∈ Е\А и а ∈ Е \В ⇒
⇒ а ∈ (Е\А)⋂ (Е\В)
∀ а ∈ (Е\А) ⋂ (Е\В) ⇒ а ∈ Е\А и а ∈ Е\В ⇒ а ∈ Е, а ∉ А и а ∉ В ⇒ а ∈ Е и а ∉ (А ∪ В) ⇒
⇒ а ∈ Е\(А ∪ В)

7) А ⊂ А
8) А ⊂ В, В ⊂ С ⇒ А ⊂ С

Декартово произведение множеств

С = А*В = {(х,у): х ∈ А, у ∈ В} – элементы множества С есть пары элементов множеств А и В.

Отображение и функция

F – отображение A*B ⇔ F ⊂ А*В ⇔ F = {(х,у):х ∈ А ∃! у ∈ В}
F – функция, определённая на (а,b).y = F(x) – образ точки х
Х – прообраз точки у.
F(A) – образ множества А ⇔ F(A) = {y ∈ В: ∃х ∈ В, у = F(x)}

Виды отображений

1) Сюръективное: F(A) = B (А = (a,b), B = (c,d)) – для каждого образа из множества B существует прообраз из множества А (не обязательно единственный)

2) Инъективное: ∀ x, x’ ∈ А: х ≠ x’ F(x) ≠ F(x’) – каждому прообразу из множества А соответствует единственный образ из множества В, но не обязательно каждому образу из множества В соответствует какой-либо прообраз из множества А.

3) Биективное: сюръективное и инъективное.

Обратное отображение

F^-1 = {(y,x) : у ∈ В, ∃! Х ∈ А} F – биективное.
х = F^-1(y)F(F^-1(y)) = y, F^-1(F(x)) = x

4. Свойство точной верхней (нижней) грани. Леммы о существовании рационального и иррационального числа между двумя вещественными числами.

ТЕОРЕМА: Для того, чтобы β являлось точной верхней гранью D, необходимо и достаточно:

1) ∀ х ∈ D: х ≤ β

2) ∀ ε > 0 ∃ х ∈ D : х > β – ε

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость:

β = sup D ⇒ β ∈ В ∀ х ∈ D х ≤ β – 1 – доказано.

Предположим противное, ∃ ε > 0, ∀ х ∈ D, х ≤ β – ε ∈ В. Но β – ε < β = sup D, пришли к противоречию.

Необходимость доказана.

Достаточность:

1) ∀ х ∈ D: х ≤ β ⇒ β ∈ В

Предположим противное, ∃ b ∈ В: b < β

Пусть ε = β – b

Тогда, из пункта 2) ⇒ ∃ х ∈ D: х > β – ε = β – β + b = b ⇒ х > b ⇒ b ∉ B – пришли к противоречию. Достаточность доказана.

Теорема о необходимом и достаточном условии существования inf D:

Для того, чтобы α являлось точной нижней гранью D, необходимо и достаточно:

1) ∀ х ∈ D: х ≥α

2) ∀ ε > 0 ∃ х ∈ D : х <α + ε

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость:

α = inf D ⇒ α ∈ В ∀ х ∈ D х ≥ α

Предположим противное, ∃ ε > 0, ∀ х ∈ D, х ≥ α + ε ∈ В. Но α + ε > α = inf D, пришли к противоречию.

Необходимость доказана.

Достаточность:

1) ∀ х ∈ D: х ≥ α ⇒ α ∈ В

Предположим противное, ∃ b ∈ В: b > α

Пусть ε = b – α

Тогда, из пункта 2) ⇒ ∃ х ∈ D: х < α + ε = α + b - α= b ⇒ b ∉ B – пришли к противоречию. Достаточность доказана.

ЛЕММА: Для любых двух вещественных чисел найдется рациональное число, лежащее между ними на числовой оси.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

∀ х,у ∈ R : х < у ∃ r ∈ Q : х < r < у

а = у-х > 0

∃ n ∈ N : а * n ≥ 1 (аксиома Архимеда)

(у-х)*n ≥ 1

у*n –х*n ≥ 1 | *2

2*у*n –2*х*n ≥ 2

∃ m ∈ Z : 2*х*n < m < 2*у*n

х < m / 2 * n < у

r = m / 2 * n ∈ Q – такое число нашлось.

ЛЕММА: Для любых двух вещественных чисел найдется иррациональное число, лежащее между ними на числовой оси.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

∀ х,у ∈ R : х < у ∃ q ∈ R \ Q : х < q < у

х < у | *√ 2

√ 2 * х < √ 2 у

∃ r ∈ R : √ 2 * х < r < √ 2 * у

х < r / √ 2 < у

q = r / √ 2 * х ∈ R \ Q - такое число нашлось.

5. Метод математической индукции. Определение n!, С_n^k . Доказательство равенства C_n^k + С_n^k+1 = C_n+1^k+1 . Бином Ньютона. Неравенство Бернулли.

Для того, чтобы доказать, что утверждение А верно ∀ n ≥ m (n , m ∈ N ) необходимо доказать, что:

1. А верно для n = m – База индукции.

2. Предположим, что А верно при n = k.

3. А верно для n = k+1.

Предположим противно, что при выполнении условий 1,2,3 А верно не для всех n ≥ m. Тогда, выберем такое n₀ = min n, что А_n0 – не верно ⇒ А_m, А_m+1,…, A_n0-1 – верно. Тогда:

1. n = m противоречит пункту 1.

2. n₀ > m. Но, так как A_n0-1 – верно, исходя из пункта 3, верно и А_n0 – верно. Пришли к противоречию.

n! – факториал.
n! = 1*2*3*…*n
Если n – четное, то n!! = 2*4*…*(n-2)*n.
Если n – нечетное, то n!! = 1*3*…*(n-2)*n.

С_n^k - число сочетаний из n по k.
С_n^k = n! /( (n-k)! * k! )

C_n^k + С_n^k+1 = C_n+1^k+1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Разложим правую часть, приведем к общему знаменателю, приведем подобные в числителе – что и требовалось доказать.

0! = 1 – это важно.

Бином Ньютона:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Доказательство по методу математической индукции.
1 и 2 пункт – все ясно.
3 пункт

Извлечем из 1 суммы слагаемое при k=0

Извлечем из второй суммы слагаемое при k=n

Теперь сложим преобразованные суммы:

Доказано

Неравенство Бернулли:

∀ а > -1, ∀ n ∈ N
(а+1)ⁿ ≥ 1 + n*а.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

1. n = 1: а+1 ≥ 1 + а – верно

2. n = k: (а+1)^k ≥ 1 + k*а

n = k+1: (а+1)^k+1 ≥ 1 + (k+1)*а
(а+1)^k+1 = (а+1)* (а+1)^k = (а+1)*(1 + k*а) = 1 + а * (k+1) + k*a² (так как k*a² > 0) ≥ 1 + а * (k+1) - доказано.

6. Система вложенных отрезков. Лемма о системе вложенных отрезков. Лемма о стягивающейся системе вложенных отрезков.

Т = {[a,b]} – система вложенных отрезков ⇔ ∀ [а_1,b₁], [a₂,b₂]∈ Т : либо [а_1,b₁] ⊂ [a₂,b₂], либо [a₂,b₂] ⊂ [а_1,b₁]

ЛЕММА 1:

А = {а} – множество левых концов.
В = {b} – множество правых концов
Т = {[a,b]} – система вложенных отрезков ⇒
∀ а ∈ А, ∀ b’ ∈ В: а ≤ b’.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Предположим противное, ∃ а ∈ А ∃ b ∈ В: а > b’. Тогда, так как Т = {[a,b]} – система вложенных отрезков, а’<b’<a<b ⇒ пришли к противоречию, так как [a’,b’] не вложен в [a,b].

ЛЕММА 2:

Т – система вложенных отрезков ⇒ ∃ х₀ ∈ [a,b] ∀ [a,b] ∈ Т

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

А = {а} – множество левых концов – ограничено сверху
В = {b} – множество правых концов – ограничено снизу
х₀ =sup A ⇒ ∀ а ∈ А, а ≤ х₀ (1)
∀ b ∈ В : х₀ ≤ b ? (2)
Предположим противное, ∃ b’∈ В: х₀ > b’
Пусть ε = х₀ – b’.x₀ = sup A ⇒ ∀ ε > 0 ∃ а ∈ А : а > х₀ – ε ⇔ а > х₀ – х₀ – b’ ⇔ а > b’ – пришли к противоречию (лемма 1)
(1) и (2) ⇒ ∃ х₀ ∈ [a,b] ∀ [a,b] ∈ Т – доказано.

Стягивающаяся система вложенных отрезков

Система вложенных отрезков называется стягивающейся, если ∀ ε > 0 ∃ [а,b]∈ Т: b-а < ε .

ТЕОРЕМА:

Т - стягивающаяся система вложенных отрезков ⇒ ∃! х₀ ∈ [а,b] ∀ [а,b] ∈ Т.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Предположим противное , ∃ х₁,х₂ ∈ [а,b] ∀ [а,b]∈ Т, х₁ < х₂Тогда, ∀ [а,b]∈ Т b-a ≥ х₂ – х₁
Пусть ε = х₂ – х₁ / 2. Тогда нет ни одного отрезка имеющего длину меньше чем ε ⇒ Т – не стягивающаяся ⇒ пришли к противоречию ⇒ х₀ - единственная точка.

7. Мощность множества. Эквивалентные множества. Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел. Счетность конечного или счетного множества счетных множеств. Теорема Кантора (несчетность множества (0,1)). Множества мощности континуум. Примеры множеств мощности континуум.

Мощностью множества называется то общее,, что характеризует все множества эквивалентные данному множеству. Для конечных множеств мощность множества – это количество элементов.

Множества называются эквивалентными или равномощными, если существует биективное отображение одного множества на другое.

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называются счетными.

ЛЕММА: Множество рациональных чисел счетно (Q ~ N)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

r = m/n, m ∈ Z, n ∈ N. h = |m| + nh=1, n = 1, m=0, r = 0 ⇔ 1 ∈ N
h=2, n = 1, m = ±1 r=1 ⇔ 2 ∈ N
r=-1 ⇔ 3 ∈ N

и так далее…

ЛЕММА: Множество конечной или счетной совокупности счетных множеств счетно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

А₁, А₂, А_{3 …} - счетные множества.
Пусть А = ∪_n=1^∞ А_n. Произведем нумерацию элементов А = {a} следующим образом.

а₁ = а₁₁, а₂ = а₁₂, а₃ = а₂₁, а₄ = а₁₃, а₅ = а₂₂, а₆ = а₃₁ и так далее.

Таким образом, все элементы множества А можно занумеровать, а если встречаются одинаковые элементы – то учитывать их будем один раз.

ТЕОРЕМА КАНТОРА: [0,1] не является счетным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Предположим противное, [0,1] ~ N ⇒ ∀ х ∈ [0,1] ⇔ n ∈ N.

Разделим отрезок [0,1] на три части, выберем на нем точку х₁. Возьмем отрезок [а₁,b₁] такой, что:
х₁ ∉ [а₁,b₁] ⊂ [0,1]. Длина его равна 1/3.
На отрезке [а₁,b₁] возьмем точку х₂, разделим [а₁,b₁] на три части, и возьмем ту часть, которой х₂ не принадлежит. И так до бесконечности.

Рассмотрим отрезок [а_k,b_k]. Его длина равна b_k – a_k = 1/3^k.

Т = {[а_k,b_k]} – система вложенных отрезков.
∀ ε > 0 b_k – a_k = 1/3^k < ε
3^k > 1/ε
k > log₃(1/ε)k = [log₃(1/ε)] +1 ⇒ Т – стягивающаяся ⇒ ∃! х₀ ∈ [а_k,b_k], ∀ [а_k,b_k] ∈ Т

х₀ ∈ [а_k,b_k] ⊂ [0,1]
х₀ ∈ [0,1] ⇒ х₀ ⇔ n₀ ⇒ х₀ = х_n0 ∉ [а_n0,b_n0 ] – пришли к противоречию, так как система Т – стягивающаяся, а х₀ не принадлежит одному из её отрезков ⇒ нельзя пронумеровать. Теорема доказана.

Множества, эквивалентные множеству [0,1], называются множествами мощности континуум.

Примеры множеств мощности континуум:

(0,1) ~ [0,1], так как отнимаются всего 2 элемента.

Множество [а,b] ~ [0,1], так как есть биективное отображение.

8. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Сходящаяся последовательность. Расходящаяся последовательность. Окрестность точки. Определение предела последовательности в терминах окрестности. Последовательность, сходящаяся слева (справа). Бесконечно большая последовательность. Определить lim _{n ⟶ ∞} х _n = ± ∞.

Последовательность – ∀ n ∈ N ⟶ х ∈ R. х = х _n – перенумерованное множество.
х = х _n – элемент последовательности.

Def1: а ∈ R – предел последовательности ⇔ а = lim_{n ⟶∞} х_n ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N(ε) (номер): ∀ n ≥ N |х_n-а|< ε.

Число а является пределом последовательности х _n, если при любом ε > 0 в (а-ε, а+ε) находится бесконечное количество членов, а вне её – конечное.

Последовательность называется сходящейся ⇔ ∃ а = lim _{n ⟶ ∞} х_n.

Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.

ε-окрестностью точки а (U(а,ε)) называют интервал (а-ε,а+ε)

Def2: а = lim_{n ⟶∞}х_n ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N х _n ∈ U(а,ε).

Последовательность, сходящаяся справа ⇔ lim _{n ⟶ ∞} х_n = a+0 ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N х _n ∈ (а,а+ε)

Последовательность, сходящаяся слева ⇔ lim _{n ⟶ ∞} х_n = a-0 ⇔ ∀ ε >0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N х _n ∈ (а-ε,а)

Бесконечно большая последовательность ⇔ lim _{n ⟶ ∞} х_n = ∞ ⇔ ∀ ε >0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N |х _n| > 1/ε
lim _{n ⟶ ∞} х_n = +∞ ⇔ ∀ ε >0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N х _n > 1/εlim _{n ⟶ ∞} х_n = +∞ ⇔ ∀ ε >0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N х _n < -1/ε

9. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

ТЕОРЕМА: Если последовательность сходящаяся, то ∃! а = lim _{n ⟶ ∞} х_n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Предположим противное, ∃ а_{1 =} lim _{n ⟶ ∞} х_n, ∃ а₂ = lim _{n ⟶ ∞} х_n, а₁<а₂

а₁ = lim_{n ⟶∞}х_n ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N₁ х _n ∈ U(а₁,ε).

а₂ = lim_{n ⟶∞}х_n ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N₂ х _n ∈ U(а₂,ε).

Пусть ε = а₂ – а₁ / 2_, N = max (N₁,N₂), ∀ n ≥ N
х _n ∈ U(а₁,ε), х _n ∈ U(а₂,ε) ⇒ х _n ∈ U(а₁,ε) ⋂ U(а₁,ε) = ∅ - пришли к противоречию ⇒ только один предел.

ТЕОРЕМА: Если последовательность сходящаяся, то она ограничена

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

{х_n } - сходящаяся ⇔ ∃ а = lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε) ∀ n ≥ N |х _n - а|< ε

∃ М > 0 ∀ n ∈ N |х _n| ≤ М?
Пусть ε = 1 ⇒ ∃N(ε): ∀ n ≥ N |х _n - а|<1 ⇒ а-1 < х _n < а+1
Пусть d_{1 =} max (|а-1|, |а+1|) Тогда, -d₁ < а-1 < а+1 < d₁ ⇔ ∀ n ≥ N |х _n| < d₁
Пусть М = max (|х₁|,|х₂|,…,|х _n-1|, d₁). Тогда ∀ n ∈ N |х _n| ≤ М ⇒ Последовательность ограниченна. Доказано.

10. Теоремы о предельном переходе в неравенствах (х _n ≤ b, х _n ≥ b, х _n ≤ у _n, х _n ≤ z _n ≤ у _n)

ТЕОРЕМА: Если ∀ n ≥ N₁, х _n ≥ b, {х _n } – сходящаяся, тогда lim _{n ⟶ ∞} х _n ≥ b

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

∃ а: а = lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N₂(ε): ∀ n ≥ N₂ |х _n - а| < ε
а ≥ b?
Предположим противное, b>а. Тогда пусть ε = b–а

∀ n ≥ N₂ |х _n -а| < b-a
2*a-b < x_n<b – Пришли к противоречию, х _n ≥ b. Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ: Строгое неравенство при предельном переходе не сохраняется.

ТЕОРЕМА: Если ∀ n ≥ N₁, х _n ≤ b, {х _n } – сходящаяся, тогда lim _{n ⟶ ∞} х _n ≤ b

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

∃ а: а = lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N₂(ε): ∀ n ≥ N₂ |х _n - а| < ε
а ≤ b?
Предположим противное, а > b. Тогда пусть ε = а-b >0
∀ n ≥ N₂ |х _n - а| < а-bb<х _n < 2*а – b – пришли к противоречию. х _n ≤ b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Если ∀ n ≥ N₁, х _n ≥ у _{n ,} {х _n },{у _n } – сходящиеся, тогда lim _{n ⟶ ∞} х _n ≥ lim _{n ⟶ ∞} у _n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Пусть z_n = у _n - х _n ≥ 0. ∀ n ≥ N₁ {z _n } – сходящаяся.
Тогда lim _{n ⟶ ∞} z _n ≥ 0 и lim _{n ⟶ ∞} z _n = lim _{n ⟶ ∞} х _n - lim _{n ⟶ ∞} у _nlim _{n ⟶ ∞} х _n - lim _{n ⟶ ∞} у _n ≥ 0
lim _{n ⟶ ∞} х _n ≥ lim _{n ⟶ ∞} у _n - что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА: Если ∀ n ≥ N₁, х _n ≥ у _{n ,} lim _{n ⟶ ∞} у _n = +∞, тогда lim _{n ⟶ ∞} х _n = +∞,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim _{n ⟶ ∞} у _n = +∞ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N₂(ε): ∀ n ≥ N_2, у _n > 1/ ε
Тогда, ∀ ε > 0, ∃ N = max (N_1, N₂): х _n ≥ у _n > 1/ε ⇒ х _n > 1/ε ⇒ lim _{n ⟶ ∞} х _n = +∞ - что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА: Если ∀ n ≥ N₁, х _n ≤ у _{n ,} lim _{n ⟶ ∞} у _n = -∞, тогда lim _{n ⟶ ∞} х _n = -∞,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim _{n ⟶ ∞} у _n = -∞ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N₂(ε): ∀ n ≥ N₂ у _n < -1/ ε
Тогда, ∀ ε > 0 ∃ N = max (N_1, N₂): х _n ≤ у _n < -1/ε ⇒ х _n < -1/ε ⇒ lim _{n ⟶ ∞} х _n = -∞ - что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА: (О ТРЕХ ПРЕДЕЛАХ) Если ∀ n ≥ N_1, х _n ≤ z _n ≤ у _n, {х _n },{у _n } – сходящиеся, lim _{n ⟶ ∞} х _n = lim _{n ⟶ ∞} у _n = а, Тогда {z _n } – сходящаяся, lim _{n ⟶ ∞} z _n = а.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim _{n ⟶ ∞} х _n = а ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N₂ (ε): ∀ n ≥ N₂ |х _n -а|< εlim _{n ⟶ ∞} у _n = а ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N₃ (ε): ∀ n ≥ N₃ |у_n -а|< ε

∀ n ≥ N₁: х _n ≤ z _n ≤ у _n ⇔ х _n-а ≤ z _n -а ≤ у _n-а (вычли из каждого неравенства а).
∀ n ≥ N₂ х _n –а > - ε (следует из определения предела х _n)∀ n ≥ N₃ у_n -а< ε(следует из определения предела у_n)
Пусть N = max ( N₁, N₂, N₃). Тогда ∀ n ≥ N -ε < z _n –а < ε
| z _n –а | < ε ⇒ lim _{n ⟶ ∞} z _n = а – что и требовалось доказать.

11. Арифметические операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями.

ТЕОРЕМА: Если {х _n },{у _n } – сходящиеся, то {х_n ± у _n } – сходящаяся, и lim _{n ⟶ ∞} (х_n ± у _n) = lim _{n ⟶ ∞} х _n ±lim _{n ⟶ ∞} у _n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

∃ а = lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N₁ (ε) : ∀ n ≥ N₁ |х _n -а|< ε’∃ b = lim _{n ⟶ ∞} y _n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N₂ (ε) : ∀ n ≥ N₂ |y _n -b|< ε’

lim _{n ⟶ ∞} (х_n ± у _n) = a±b? ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ n > N | х_n ± у _n – (a±b)| < ε
|(х _n-а) ± (у _n-b)| < | х _n-а | + | у _n-b | < ε’+ ε’ (возьмем N = max (N₁, N₂), ∀ n ≥ N) = 2*ε‘

Пусть ε =2*ε‘. Тогда ∀ ε > 0 (ε’ = ε/2) ∃ N = max (N₁(ε ’), N₂(ε ’)): ∀ n > N | х_n ± у _n – (a±b)| < ε – что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА: Если {х _n }– сходящаяся, и ∀ α ∈ R, тогда {α*х _n }– сходящаяся и lim _{n ⟶ ∞} α*х _n = α* lim _{n ⟶ ∞} х _n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

∃ а = lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N(ε’) ∀ n ≥ N |х _n -а|< ε’

lim _{n ⟶ ∞} α*х _n = α*а? ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N(ε) ∀ n ≥ N |α*х _n –α*а|< ε
|α*( х _n -а)| = |α|*|х _n -а|
Если α = 0, то 0 < ε – очевидно
Если α ≠ 0, то |α|*|х _n -а| ≤ |α|*ε’. Пусть ε = |α|*ε’.

Тогда, ∀ ε > 0 ( ε’ = ε /|α|) ∃ N ∀ n ≥ N |α*х _n –α*а|< ε – что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА: Если {х _n },{у _n } – сходящиеся, то {х_n * у _n } – сходящаяся, и lim _{n ⟶ ∞} (х_n * у _n) = lim _{n ⟶ ∞} х _n *lim _{n ⟶ ∞} у _n