Файл: Matan_kollokvium_1_28.docx

16. Теорема Больцано-Вейерштрасса (принцип компактности ограниченной последовательности).

ТЕОРЕМА: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

{х _n} – ограниченная ⇒ ∀ n ∈ N х _n ∈ [а,b]. Разделим этот отрезок на две части, и назовем его [а₁,b₁]/ Длина его будет равна (b-а)/2. Продолжим этот процесс и получим отрезок [а_k,b_k].

∀ ε > 0 b_k – a_k = (b-a)/2^k < ε

2^k > (b-a) / ε
k > log ₂ ((b-а)/ε) ⇒ Т = {[a_k,b_k]} – стягивающаяся система вложенных отрезков

Т – стягивающаяся система вложенных отрезков ⇒ ∃! х₀ ∈ [a_k,b_k], ∀ k ∈ N ⇔ a_k ≤ х₀ ≤ b_k

{a_k} – монотонно возрастает и ограничена сверху ⇒ ∃ lim _{k ⟶ ∞} a_k{b_k} – монотонно убывает и ограничена снизу ⇒ ∃ lim _{k ⟶ ∞} b_k

lim _{k ⟶ ∞} (a_k -b_k) = lim _{k ⟶ ∞} ((a –b)/2^k) = 0
lim _{k ⟶ ∞} (a_k -b_k) = lim _{k ⟶ ∞} a_k - lim _{k ⟶ ∞} b_k = 0 ⇔ lim _{k ⟶ ∞} a_k = lim _{k ⟶ ∞} b_k

Пусть подпоследовательность {х _nk} ∈ [a_k,b_k]. Тогда, ∀ k ∈ N a_k ≤ х _nk ≤ b_k. По теореме о трех пределах,

lim _{k ⟶ ∞} a_k = lim _{k ⟶ ∞} b_k = lim _{k ⟶ ∞} х _nk - что и требовалось доказать.

17. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости последовательности.

{х _n} – фундаментальная ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ n ≥ N ∃ m ≥ N |х _n – х _m | < ε ⇔ ∀ε>0 ∃N(ε) ∀n≥N ∀p∈N |х_n+p-х _n|<ε

ТЕОРЕМА: (КРИТЕРИЙ КОШИ) Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы последовательность была фундаментальной.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость: {х _n} – сходящаяся ⇒ {х _n} – фундаментальная.

{х _n} – сходящаяся ⇔ ∃ а ∈ R а = lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇔ ∀ε'>0 ∃ N(ε') ∀ n ≥N |х_n -а|<ε'
|х _n – х _m| = |х _n –а + а – х _m| ≤ |х _n –а| + |х _m – а|

∀ m > N ∀ n > N |х _n –а| + |х _m – а| < ε' + ε' = 2*ε'∀ ε > 0 (ε' = ε / 2) ∃ N (ε') ∀ n > N ∀ m > N |х _n – х _m| < ε - {х _n} – фундаментальная

Достаточность: {х _n} – фундаментальная ⇒ {х _n} – сходящаяся.

∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ n ≥ N ∃ m ≥ N |х _n – х _m | < ε
Покажем, что {х _n} – сходящаяся:
ε = 1 ∃ N₁: ∀ n ≥ N₁, m = N₁: |х _n – х _N1| < 1
х _N1 –1 < х _n < х _N1 +1

Пусть d = max (|х _N1 –1|, | х _N1 +1|), тогда ∀ n ≥ N₁ х_n < |d|
Пусть М = max (d, |х₁|,…, |х _{N1 –1}|). Тогда, ∀ n ∈ N |х_n| ≤ М ⇒ {х _n} – ограниченная

По теореме Больцано-Вейерштрасса: ∃ {х _nk} – сходящаяся ⇒ ∃а = lim _{k ⟶ ∞} х _nk

а = lim _{n ⟶ ∞} х _n ?

| х _n –а | = | х _n - х _nk + х _nk –а | ≤ | х _n - х _nk | + | х _nk –а |

∀ k > N₁ n_k ≥ k > N₁ ⇒ ∀ n ≥ N₁, ∀ k > N₁ | х _n - х _nk | < ε' , так как {х _n} – фундаментальная
а = lim _{k ⟶ ∞} х _nk ⇔ ∀ε'>0 ∃N₂(ε') ∀k≥N₂ | х _nk –а | < ε'

| х _n - х _nk | + | х _nk –а | < 2*ε'

∀ ε > 0 (ε' = ε/2) ∃ N = max (N₁(ε'),N₂(ε')) ∀n≥N | х _n –а | < ε ⇒ {х _n} – сходящаяся – доказано.

18. Частичный предел последовательности. Верхний, нижний пределы последовательсноти. Теорема о необходимом и достаточном условии того, что а = ^--lim _{n ⟶ ∞} х _n (а = _--lim _{n ⟶ ∞} х _n). Теорема о необходимом и достаточном условии сходящейся последовательности (в терминах верхнего и нижнего пределов).

а – частичный предел {х _n} ⇔ ∃ {х _nk} – сходящаяся, а = lim _{k ⟶ ∞} х _nk

а – верхний предел {х _n} ⇔ а – максимальный из частичных пределов

а – нижний предел {х _n} ⇔ а – минимальный из частичных пределов

ТЕОРЕМА: Для того, чтобы число а было верхним пределом {х _n}, необходимо и достаточно ∀ε>0:
1) ∃ N(ε) ∀ n ≥ N х_n < а + ε.
2) ∀ k ∈ N ∃ n_k ≥ k х _nk > а – ε

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость: а = ^--lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇒ ∃ {х _nk} : а = lim _{k ⟶ ∞} х _nk ⇒ правее а-ε бесконечное число элементов.

Предположим противное, правее а+ε лежит бесконечное число элементов.

Тогда, х _n ≥ а+ε ⇒ х _nk ≥ а+ε ⇒ lim _{k ⟶ ∞} х _nk ≥ а+ε > а – пришли к противоречию.

Достаточность: ∀ε>0:
1) ∃ N(ε) ∀ n ≥ N х_n < а + ε.
2) ∀ k ∈ N ∃ n_k ≥ k х _nk > а – ε

1. ∀ k ≥ N n_k ≥k: х_nk < а + ε

2. х _nk > а – ε ⇒ ∃ а = lim _{k ⟶ ∞} х _nk – частичный предел.

а – максимальный частичный предел?

Предположим противное, ∃b>а и b = lim _{m ⟶ ∞} х _nm ⇒ ∀ ε > 0 в ε-окрестности точки b лежит бесконечное количество точек { х _nm } ⇒ бесконечное количество точек { х _n }.

Пусть ε = b-a/2. Тогда, правее точки а+ε = b-ε находится бесконечноt количество точек, что противоречит условию 1 – доказано.

ТЕОРЕМА: Для того, чтобы число а было нижним пределом {х _n}, необходимо и достаточно ∀ε>0:
1) ∃ N(ε) ∀ n ≥ N х_n > а - ε.
2) ∀ k ∈ N ∃ n_k ≥ k х _nk < а + ε

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость: а = _-- lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇒ а = lim _{k ⟶ ∞} х _nk ⇒ левее а+ε бесконечное число элементов – (2) доказано.

Предположим противное, левее а-ε лежит бесконечное число элементов.

Тогда, х _n ≤ а-ε ⇒ х _nk ≤а-ε ⇒ lim _{k ⟶ ∞} х _nk ≤а-ε < а – пришли к противоречию.

Достаточность: ∀ε>0:
1) ∃ N(ε) ∀ n ≥ N х_n > а - ε.
2) ∀ k ∈ N ∃ n_k ≥ k х _nk < а + ε

∀ ε ∃ N(ε) ∀ k ≥ N n_k ≥ k : х_nk > а – ε (1)
х _nk < а + ε (2) ⇒ а – частичный предел.

а – минимальный частичный предел?

Предположим противное, существует b, меньшее чем а, и b= lim _{m ⟶ ∞} х _nm. Тогда, ∀ ε > 0 в эпсилон окрестности бесконечное число элементов х _nm, а следовательно и х _n.

Пусть ε = b-a/2. Тогда, левее b+ε =а-ε находится бесконечное количество элементов, что противоречит пункту 1. Доказано.

ТЕОРЕМА: Для того, чтобы {х_n} была сходящейся, необходимо и достаточно, _-- lim _{n ⟶ ∞} х _n = ^--lim _{n ⟶ ∞} х_n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость: ∃ а=lim _{n ⟶ ∞} х _n ⇒ ∀ {х_nk} lim _{k ⟶ ∞} х _nk = a ⇒ _-- lim _{n ⟶ ∞} х _n = ^--lim _{n ⟶ ∞} х_n

Достаточность: _-- lim _{n ⟶ ∞} х _n = ^--lim _{n ⟶ ∞} х_n = а

∀ ε > 0 ∃ N₁(ε): ∀ n ≥ N₁ х_n < а+ε∀ ε > 0 ∃ N₂(ε): ∀ n ≥ N₂ х_n > а-ε

N = max (N₁,N₂). Тогда, ∀ n ≥ N а-ε < х_n < а+ε ⇒ а=lim _{n ⟶ ∞} х _n - Доказано.

19. Числовая функция. Суперпозиция функций. Проколотая окрестность точки. Предельная точка множества (точка сгущения множества). Изолированная точка множества (примеры).

Пусть множество D ⊂ R.

Тогда, если ∀ х ∈ D соответствует у ∈ R, то говорят, что на множестве D определена функция у = f(x).

Тогда D – область определения функции.

Е = {у ∈ R : ∃ х ∈ D, у = f(x)} – множество значений функции

Суперпозиция функций

∀ х ∈ D, у = f(x), ∀ у ∈ G z = g(y)

Тогда, ∀ х ∈ D, у = f(x) ∈ G ⇒ z = g(f(x)), ∀ х ∈ D – суперпозиция функций f и g или сложная функция.

U(х₀,ε) - ε-окрестность точки х₀ ⇔ (х₀-ε, х₀+ε)

U⁰(х₀,ε) – проколотая окрестность ⇔ U(х₀,ε)\{х₀} ⇔ (х₀-ε,х₀)∪(х₀,х₀+ε)

а – предельная точка множества D ⇔ ∀ ε > 0 ∃ х ∈ U⁰(а,ε): х ∈ D

х₀ ∈ D – внутренняя точка множества D ⇔ ∃ ε > 0: U(х₀,ε) ⊂ D

х₀ ∈ D – изолированная точка множества D ⇔ ∃ ε > 0 ∀ х ∈ U⁰(х₀,ε): х ∉ D ⇔ U⁰(х₀,ε) ⋂ D = ∅.

20. Определение предела функции по Гейне. «Локальность» понятия предел функции. Предел функции по множеству. Односторонние пределы.

Пусть х₀ – внутренняя точка множества D

Тогда, А = lim_{х ⟶ х0} f(x) ⇔ по Гейне: ∀ {х_n} ⊂ U⁰(х₀,ε): lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀, lim _{n ⟶ ∞} f(x _n) = А

Из определения видно, что предел функции в точке х₀ не зависит от значения функции в точке х_0. Функция в точке х₀ может быть неопределена.

Также, из определения предела функции видно, что предел функции в точке х₀ не зависит от значений функции на всем D, а зависит только от значений функции в U⁰(х₀,ε). Предел функции – локальное свойство функции.

Допустимые обозначения:

lim _{х ⟶ х0} f(x) = А, f(x) → A при х→х₀, f(x) →_x→x0A

Односторонние пределы:

lim _х⟶х0+0 f(x) = А ⇔ f(x) определена в (х₀,х₀+ε) и ∀ {х_n} ⊂ (х₀,х₀+ε) : lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀, lim _{n ⟶ ∞} f(x _n) = А (предел справа)

lim _х⟶х0-0 f(x) = А ⇔ f(x) определена в (х₀-ε,х₀) и ∀ {х_n} ⊂ (х₀-ε ,х₀) : lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀, lim _{n ⟶ ∞} f(x _n) = А

_{Предел функции по множеству}

-точка соприкосновения множеств. Если f(x) имеет предел по множествам , то она в этой точке имеет предел по их объединению.

Доказательство

21. Определение предела функции по Коши. Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши.

lim х ⟶ х0 f(x) = А – по Коши ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ х ∈ D: 0 < |х – х0| < δ, |f(x) - А| < ε

ТЕОРЕМА: Для того, чтобы lim х ⟶ х0 f(x) = А по Гейне, необходимо и достаточно, чтобы lim х ⟶ х0 f(x) = А по Коши.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость:

А = limх ⟶ х0 f(x) ⇔ по Гейне: U⁰(х0,R) ∀ {хn} ⊂ U⁰(х0,R): lim _{n ⟶ ∞} х n = х0, lim _{n ⟶ ∞} f(x n) = А

Предположим противное, А ≠ limх ⟶ х0 f(x) по Коши ⇔

Противоречие определению по Гейне по Коши

Достаточность:

По Коши

по Гейне. Теорема доказана.

22. Односторонние пределы (слева и справа) функции по Коши. Теорема о существовании предела функции(в терминах односторонних пределов). Определение предела функции в терминах окрестностей.

Односторонние пределы:

Теорема: о существовании предела функции

чтобы н. и д.

, ^: =

_Необх:

⇔ по Гейне: U⁰(х0, ε) ∀ {х_n} ⊂ U⁰(х₀,ε): lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀, lim _{n ⟶ ∞} f(x _n) = А

_∀{х_n} ⊂ (х₀,х₀+ε) : lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀, lim _{n ⟶ ∞} f(x _n) = А

∀ {х_n} ⊂ (х₀-ε ,х₀) : lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀, lim _{n ⟶ ∞} f(x _n) = А

∀ {х_n} ⊂ (х₀-ε ,х₀) ⊂ U⁰(х₀,ε) : lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀ ⇒ lim _{n ⟶ ∞} f(x _n) = А

Дост:

= А =

_⇒ ∃ U⁰(х₀,ε) - f(x) определена, ∀ {х_n} ⊂ U⁰(х₀,ε) lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀

_{Выделим подпосл.} , >, <. Если одно из множеств конечно (пусть ), то {х_n} сходится к х₀ справа. lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀+0 ⇒

Если подпоследовательности бесконечны, то пределы этих подпоследовательностей равны между собой, равны lim _{n ⟶ ∞} х _n = х₀ ⇒ + = А, - = А,

по Гейне,

Теорема доказана.

Определение предела функции в терминах окрестностей:

23. .Кр. Коши сущ. предела ф-ии.Т.(Кр. Коши) Ǝ н. и д. ∀ Ɛ>0 Ǝ δ= δ(Ɛ)>0: ∀ x,xʹϵŮ(x₀, δ) |f(x)-f(xʹ)|< Ɛ
    Док-во:
    Необх.

Ǝ =A<=>(по Коши) ∀ Ɛʹ>0 Ǝ δ>0:
∀ xϵŮ(x₀, δ) |f(x)-A|< Ɛʹ∀ xʹϵŮ(x₀, δ) |f(xʹ)-A|< Ɛʹ |f(x)-f(xʹ)|=|(f(x)-A)+(A-f(xʹ))|≤|f(x)-A|+|f(xʹ)-A|≤ Ɛʹ+ Ɛʹ=2 Ɛʹ= Ɛ∀ Ɛ>0 (Ɛʹ=) Ǝ δ>0 ∀ x,xʹϵŮ(x₀, δ): |f(x)-f(xʹ)|<Ɛ
Дост.

∀ Ɛ>0 Ǝ δ>0: ∀ x,xʹϵŮ(x₀, δ) |f(x)-f(xʹ)|< Ɛ (усл. Коши) => Ǝ ?
∀ {x_n}ϵ Ů(x₀,R): =₀ <=> {x_n}-фунд.
∀ δ>0 Ǝ N=N(δ): ∀ n≥N, |x_n-x₀|<δ => x_nϵŮ(x₀, δ)
∀ n≥N ∀ m≥N => x_n,x_mϵŮ(x₀, δ) |f(x_n)-f(x_m)| < Ɛ∀ Ɛ>0 (Ǝ δ>0) Ǝ N=N(Ɛ): ∀ n≥N ∀ m≥N |f(x_n)-f(x_m)| < Ɛ
=>{f(x_n)}-фунд. => {f(x_n)}-сход. => Ǝ A= |f(x)-A|=|(f(x)-f(x_n))+(f(x_n)-A)|≤
A= <=>(def) ∀ Ɛʹ>0 Ǝ N₁=N₁(Ɛʹ): ∀ n≥N₁ |f(x_n)-A|< Ɛʹn-фикс., n≥N₁
≤|f(x)-f(x_n)|+|f(x_n)-A|< Ɛʹ+ Ɛʹ=2 Ɛʹ= Ɛ
Усл. Коши: ∀ Ɛʹ>0 Ǝ δ= δ(Ɛʹ)>0: ∀ x,xʹϵŮ(x₀, δ) |f(x)-f(xʹ)|< Ɛʹ
т.к. =₀ => ∀ δ>0 Ǝ N₂=N₂(δ): ∀ n≥N₂ |x_n-x₀|<δ => x_nϵŮ(x₀, δ)
n-фикс. n≥max(N₁,N₂)
=>|f(x_n)-A|< Ɛʹ∀ x,x_nϵŮ(x₀, δ) (xʹ=x_n) => |f(x)-f(x_n)|< Ɛʹ∀ Ɛ>0 (Ɛʹ=) Ǝ δ= δ(Ɛ): ∀ xϵŮ(x₀, δ): |f(x)-A|<Ɛ
=>(по Коши)

24. Определение ограниченной на множестве функции.

Ограниченность функции, имеющей предел.

Сохранение знака функции, имеющей предел.

f(x)-ограниченная на множестве D  |f(x)|≤M

T. f(x) имеет предел в т. X₀ lim f(x) (x₀,R) f(x)-ограничена в (x₀,R)

A=limf(x) (по Коши)ε>0 δ= δ(ε) ε

ε =1 R= δ(1)

Т. О сохранении знака

ε δ= δ(ε) δ) ε (по Коши)

A-ε<f(x)<A+ ε

1)A>0 ε= δ= δ()=R ε

2)A<0 ε= δ= δ()=R ε

25. Предельный переход в неравенствах. Арифметические свойства пределов функций.

Теорема: ∀X∈U⁰ (x₀ ,R) f(x)≥B, ∃ lim_x⟶x0f(x) ⇒ lim_x⟶x0f(x)≥B

Доказательство:

∃ lim_x⟶x0f(x)=A ⇒ (по Гейне) ∀ {X_n}∈ U⁰(x₀,R): lim_n⟶∞ f(X_n)=A ; ∀n∈N f(X_n)≥B⇒

lim_n⟶∞ f(X_n)≥B ⇒ A≥B, lim_x⟶x0 f(x)≥B. Доказано.

Теорема: ∀X∈U⁰ (x₀ ,R) , f(x)≥g(x), ∃ lim_x⟶x0f(x) , ∃ lim_x⟶x0g(x) ⇒ lim_x⟶x0 f(x)≥ lim_x⟶x0 g(x)

Доказательство: ∃ lim_x⟶x0f(x)=A ⇒ ∀ {X_n}∈ U⁰(x₀,R): lim_n⟶∞ X_n=X_{0 ,} lim_n⟶∞ f(X_n)=A

∃ lim_x⟶x0g(x)=B ⇒ ∀ {X_n}∈ U⁰(x₀,R): lim_n⟶∞ X_n=X_{0 ,} lim_n⟶∞ g(X_n)=B. Используя теорему о предельном переходе в неравенствах для последовательностей для последовательностей, получаем: A≥B ⇒ lim_x⟶x0 f(x)≥ lim_x⟶x0 g(x). Доказано.

Теорема(о 3-х пределах): ∀X∈U⁰ (x₀ ,R) , f(x)≤φ(x)≤g(x), ∃ lim_x⟶x0f(x) , ∃ lim_x⟶x0g(x)

lim_x⟶x0f(x) = lim_x⟶x0g(x) ⇒ ∃ lim_x⟶x0 φ (x)= lim_x⟶x0f(x)= lim_x⟶x0g(x)

Доказательство:

A= lim_x⟶x0⇔ f(x) ∀ ε>0 ∃δ>0: ∀X: 0<|X-X₀|< δ |f(x)-A|< ε

A= lim_x⟶x0⇔ g(x) ∀ ε>0 ∃δ>0: ∀X: 0<|X-X₀|< δ |g(x)-A|< ε

f(x)≤φ(x)≤g(x) ⇒ - ε<f(x)-A≤φ(x)-A≤g(x)-A < ε ⇒ |φ (x)-A|< ε ⇒ lim_x⟶x0φ(x)=A.

Доказано.

Арифметические свойства пределов.

f(x), g(x) имеют в т x₀ lim_x⟶x0 f(x)_, lim_x⟶x0g(x)

1) ∀α∈R: αf(x)- имеет предел lim_x⟶x0(αf(x)) = αlim_x⟶x0f(x)

2) f(x)±g(x) имеют в т x₀ lim_x⟶x0 (f(x)± g(x)) = lim_x⟶x0 f(x)± lim_x⟶x0g(x)

3) f(x)*g(x) имеют в т x₀ lim_x⟶x0 (f(x)* g(x)) = lim_x⟶x0 f(x)* lim_x⟶x0g(x)

4) Если lim_x⟶x0g(x)≠0; (f(x)/g(x)) имеют в т x₀ lim_x⟶x0(f(x)/g(x)) = lim_x⟶x0 f(x)/ lim_x⟶x0 g(x)

Доказательство 4) ∃ lim_x⟶x0 f(x)=A, ∃ lim_x⟶x0g(x)=B ⇒ ∀ {X_n}∈ U⁰(x₀,R): lim_n⟶∞ f(X_n)=A, lim_n⟶∞ g(X_n)=B≠0 ⇒ lim_n⟶∞(f(X_n)/g(X_n)) = lim_n⟶∞ f(X_n)/ lim_n⟶∞ g(X_n) ⇒ lim_x⟶x0 (f(x)/g(x))=A/B ⇒