Файл: Анализ и синтез линейных систем.pdf

13
3.1 Построение ЛАХ нескорректированной части системы
Передаточная функция для нескорректированной части системы имеет вид:
)
)(
.
(
)
(
)
(
1 30 1
3 0
1 3
20 2
+
+
+
=
s
s
s
s
s
W
нск
Для построения ЛАХ необходимо определить частоты сопряжения, порядок астатизма:
1.
 = 2 (т.о. первоначальный наклон ЛАХ - 40 дб/дек)
2.К=20, тогда 20lgК=20lg(20)=26 (дб)
3.
Т
1
=0,3
ω
1
=3.33 lg ω
1
=0.52
Т
2
=30
ω
2
=0.033 lg ω
2
=-1.47
Т
3
=3
ω
3
=0.33 lg ω
3
=-0.47
По полученным значениям построим график ЛАЧХ.
3.2 Построение желаемой ЛАХ
Построение желаемой ЛАХ удобно первоначально осуществлять раздельно в низкочастотном (I), среднечастотном (II) и высокочастотном (III) диапазонах.
Построение ЛАХ в низкочастотном диапазоне
Значение частоты для контрольной точки находится по формуле:
5 0
04 0
02 0
2 1
,
,
,
=
=
=
C
C
к

, тогда к
lg
= -0.3.
к
 - это частота контрольной точки, кот. необходима для построения запретной области (в области низких частот).
Построение ЛАХ в среднечастотном диапазоне
На среднечастотном участке желаемая ЛАХ в наибольшей степени зависит от требования к динамическим показателям качества регулирования, например, в частности, времени регулирования и перерегулированию. На этом участке находится частота среза ср
 и определяется запас устойчивости по фазе.
Величину ср
 определим по заданным значениям времени регулирования и перерегулирования, используя номограмму Солодовникова.
.
/
.
.
.
%
max
с
рад
P
ср
17 0
60 2
3 2
1 25
=
=
→
=
→
=




14 lg ср
 = -0.77.
Вид желаемой ЛАХ в среднечастотном диапазоне должен гарантировать необходимый запас устойчивости системы по фазе, что в максимальной степени обеспечивается, когда
( )

СК
L
в районе частоты среза имеет достаточно протяженный участок с наклоном -20 дБ/дек.
Построение ЛАХ в высокочастотном диапазоне
Поведение желаемой ЛАХ в высокочастотном диапазоне зачастую повторяет поведение ЛАХ нескорректированной части системы, что значительно упрощает вид корректирующего устройства.
Таким образом, на основании полученных данных, построим желаемую ЛАХ.
По полученному графику запишем частоты сопряжения: lg ω
1
=-0,3
ω
1
=0,5
Т
1
=2 lg ω
2
=0.2
ω
2
=1.58
Т
2
=0.63 lg ω
3
=1.6
ω
3
=39.8
Т
3
=0,025
Передаточная функция для скорректированной системы будет иметь вид:
2 1
025 0
1 2
1 63 0
20
)
.
)(
(
)
.
(
)
(
+
+
+
=
s
s
s
s
s
W
ск
Тогда передаточная функция корректирующего устройства будет иметь вид:
.
)
.
)(
)(
(
)
)(
.
)(
.
(
)
(
)
)(
.
(
)
.
)(
(
)
.
(
)
(
)
(
)
(
2 2
2 1
025 0
1 3
1 2
1 30 1
3 0
1 63 0
1 3
20 1
30 1
3 0
1 025 0
1 2
1 63 0
20
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+

+
+
+
=
=
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
W
s
W
s
W
нск
ск
ку
3.3 Исследование скорректированной системы
Построим с помощью пакета
MATLAB логарифмические частотные характеристики, переходную характеристику, амплитудно-фазовую частотную характеристику. Определим различные показатели качества системы по полученным графикам.

15
Рисунок 6 – ЛЧХ скорректированной системы
Как видно из ЛЧХ скорректированная система устойчива, запас по амплитуде составляет 21.6 дб, запас по фазе 62.5º.
Для построения переходной характеристики систему необходимо охватить единичной обратной связью.
Рисунок 7 –Переходная характеристика скорректированной системы
Определим прямые показатели качества по полученной переходной характеристике:
1. длительность переходного процесса для скорректированной системы p
t = 1,51 с;
2. относительное перерегулирование в переходном процессе
 =12 %.
На основании полученных показателей качества можно сделать вывод о том, что цели коррекции были достигнуты.

16
Для анализа системы с помощью построения АФЧХ системы необходимо проверить ее состояние в разомкнутом виде. Найдем корни характеристического уравнения для разомкнутой системы:
0
-40.0000
-40.0000
-0.5000
Как видно, скорректированная система в разомкнутом состоянии устойчива, т.к. все корни характеристического уравнения отрицательные.
Тогда для устойчивости системы при анализе ее с помощью АФХ необходимо, чтобы она не охватывала критическую точку (-1; j0).
Рисунок 8 – АФЧХ скорректированной системы
Так как характеристика не охватывает критическую точку можно сделать вывод, что система устойчива.
Таким образом, для системы, заданной передаточной функцией нескорректированной части, с помощью метода построения логарифмических характеристик был определен вид корректирующего устройства, при последовательном включении которого в систему обеспечиваются заявленные требования к показателям качества для переходного процесса, а именно:
1. длительность переходного процесса составила p
t = 1,51 с,
2. относительное перерегулирование в переходном процессе
 =12 %.

17
4. Синтез системы управления с использованием метода В.Я.Ротача
Заданная передаточная функция нескорректированной системы:
)
)(
.
(
)
(
)
(
1 30 1
3 0
1 3
20 2
+
+
+
=
s
s
s
s
s
W
нск
По таблице соответствия оценок запаса устойчивости по заданной степени затухания найдем частотный показатель колебательности:
M=1.55.
В задании требуется обеспечить следующие условия:
1
=

,

=25%,
p
T =2,
1
C =0.02,
2
C
=0.04.
Таким образом, чтобы из системы с порядком астатизма 2 сделать систему с порядком астатизма 1 будем использовать ПД-регулятор
Передаточная функция регулятора:
)
(
)
(
p
T
K
p
W
д
p
p
+
=
1
На комплексной плоскости строим АФЧХ системы [4]. Из начала координат проводим луч под углом
 к отрицательной вещественной полуоси. Угол
 определяется по формуле:
M
1
arcsin
=

В рассматриваемом случае: o
18 40 55 1
1
arcsin
=
=

Далее чертится окружность с центром на вещественной отрицательной полуоси так, чтобы она касалась построенной АФЧХ объекта и луча под углом
 . Определяется радиус этой окружности r
. Искомый параметр настройки для П-регулятора определяется по формуле:
)
1
M
(
r
M
K
2
p
−
=
Воспользуемся программной средой MATLAB
Алгоритм расчета, исполненный в М-файле такой:
1 – ввод частотного показателя колебательности.
2 – ввод с помощью специальной команды tf() передаточной функции объекта.
3 – ввод предельных значений с шагом по координате х, необходимых для построения луча.
4 – задание уравнения для луча под углом
 .

18 5 – ввод величины радиуса окружности. Данное значение в файле как раз и подлежит настройке.
6 – функция, задающая окружность в пакете MATLAB. При этом центр этой окружности корректируется в процессе поиска оптимального значения, чтобы окружность касалась луча и АФЧХ объекта.
7 – команда построения АФЧХ объекта.
8 – команда для «закрепления» графика, чтобы при последующей прорисовке он не затирался программой.
9 – построение луча под углом
 .
10 – построение окружности.
11 – расчет коэффициента регулятора K
p.
Рисунок 9 – Расчет настройки ПД-регулятора (
p
K = 8,84,
ä
T =1,2)
Рисунок 10 – Расчет настройки ПД-регулятора (
p
K
= 1,001,
ä
T =4)

19
Рисунок 11 – Расчет настройки ПД-регулятора (
p
K = 11,05,
ä
T =1)
Таким образом, с использованием М-файла, путем подбора параметров окружности
(радиус и точка позиционирования), были подобраны такие значения, чтобы окружность одновременно касалась и луча под углом
 , и АФЧХ объекта.
По известным значениям радиуса окружности и частотного показателя колебательности найдем искомые параметры ПД-регулятора:
)
1
(
11
)
(
p
p
W
p
+
=
Для полученной скорректированной системы построим график переходной характеристики.
Рисунок 12 – График переходного процесса скорректированной системы
Определим прямые показатели качества по полученной переходной характеристике:

20 1. длительность переходного процесса для скорректированной системы p
t = 0,68 с;
2. относительное перерегулирование в переходном процессе
 =33,9 %.
На основании полученных показателей качества можно сделать вывод о том, что цели коррекции были достигнуты частично, т.к. длительность переходного процесса значительно меньше заданного значения (2 с), но величина перерегулирования превышает заданное значение. Для улучшения показателей качества системы можно повысить величину
p
K
регулятора.
Рисунок 13 – Переходные процессы для скорректированных систем
На рисунке 13 представлены переходные процессы:
W1 – переходная характеристика для системы, полученной в п.3;
W2 – переходная характеристика при
p
K
= 11;
W3 – переходная характеристика при
p
K = 22.
Таким образом, были получены варианты коррекции заданной системы, удовлетворяющие требованиям по качеству.

21
Заключение
В курсовой работе исследуются методы анализа и синтеза систем управления, рассматриваются возможности пакета MatLab как средства анализа систем управления.
Учитывая то, что задачи синтеза систем управления являются первоочередными в процессе автоматизации, большая часть курсовой работы уделена вопросом расчета параметров настройки регуляторов в системах управления.
Так, в разделе 3 для системы 4го порядка была найдена передаточная функция регулятора, включение которого в структурную схему системы последовательно позволяет добиться таких показателей качества системы как длительность переходного процесса p
t = 1,51 с, относительное перерегулирование в переходном процессе
 = 12 %.
Также хорошие результаты синтеза системы были получены в разделе 4, где коррекция осуществлялась с помощью типового ПД-регулятора с помощью метода В.Я.
Ротача.

22
Список источников
1. Бесекерский В.Л., Попов Е. II. Теория систем автоматического управления / В. А.
Бесекерский, Е. П. Попов. - Изд. 4-е, перераб. и доп. — СПб, Изд-во «Профессия»,
2003. - 752 с.
2. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.1. Линейные системы. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 288 с
3. Методические указания к лабораторной работе № 4 по дисциплине «Теория автоматического управления» на тему «Синтез линейных систем», Тюмень 2008 4. Методические указания к лабораторной работе № 6 по дисциплине «Теория автоматического управления» на тему «Параметрический синтез линейных систем регулирования с оценкой запаса устойчивости по максимуму АЧХ замкнутой системы», Тюмень 2008

23
Приложение 1
Листинг программы
>> syms s
>> expand(s^2*(0.3*s+1)*(30*s+1)) ans =
9*s^4+303/10*s^3+s^2
>> w=tf([60 20],[9 303/10 1 0 0])
Transfer function:
60 s + 20
----------------------
9 s^4 + 30.3 s^3 + s^2
>> pole(w) ans =
0 0
-3.3333
-0.0333
>> wz=feedback(w,1)
Transfer function:
60 s + 20
----------------------------------
9 s^4 + 30.3 s^3 + s^2 + 60 s + 20
>> pole(wz) ans =
-3.7657 0.3595 + 1.3094i
0.3595 - 1.3094i
-0.3201
>> step()wz
>> impulse(wz)
>> nyquist(w)
>> expand(s*(2*s+1)*(0.025*s+1)^2) ans =

24 1/800*s^4+161/1600*s^3+41/20*s^2+s
>> wsk=tf([12.6 20],[1/800 161/1600 41/20 1 0])
Transfer function:
12.6 s + 20
---------------------------------------
0.00125 s^4 + 0.1006 s^3 + 2.05 s^2 + s
>> margin(wsk)
>> wskz=feedback(wsk,1)
Transfer function:
12.6 s + 20
-------------------------------------------------
0.00125 s^4 + 0.1006 s^3 + 2.05 s^2 + 13.6 s + 20
>> step(wskz)
>> pole(wskz) ans =
-53.5754
-15.2739
-9.6177
-2.0330
>> pole(wsk) ans =
0
-40.0000
-40.0000
-0.5000
>> nyquist(wsk)

25
Приложение 2
ЛАЧХ нескорректированной и скорректированной системы