ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.10.2023
Просмотров: 37
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
1. Определение, предел и непрерывность функции нескольких переменных:
- Функция нескольких переменных - это функция, зависящая от двух или более независимых переменных.
- Предел функции нескольких переменных - это значение, к которому стремится функция при приближении независимых переменных к определенной точке.
- Непрерывность функции нескольких переменных - это свойство функции сохранять свои значения вблизи каждой точки области определения без скачков или разрывов.
2. Частные и полное приращение ФНП. Частные производные и дифференцируемость ФНП:
- Частное приращение функции нескольких переменных (ФНП) - это изменение значения функции при изменении одной из независимых переменных, оставляя остальные переменные постоянными.
- Полное приращение ФНП - это изменение значения функции при одновременном изменении всех независимых переменных.
- Частные производные функции нескольких переменных - это производные функции по каждой из независимых переменных, рассматривая остальные переменные как постоянные.
- Дифференцируемость ФНП - это свойство функции иметь все частные производные и быть непрерывной.
3. Дифференцирование сложной ФНП:
- Дифференцирование сложной ФНП - это процесс нахождения производной функции, которая является композицией других функций.
- Для дифференцирования сложной ФНП используется правило цепочки, которое связывает производные внутренней и внешней функций.
4. Экстремумы функции нескольких переменных:
- Экстремумы функции нескольких переменных - это точки, в которых функция достигает наибольшего (максимума) или наименьшего (минимума) значения в заданной области.
- Экстремумы могут быть локальными (выделяются внутри области) или глобальными (наибольший или наименьший значения во всей области).
5. Первообразная и неопределенный интеграл, их основные свойства. Таблица основных интегралов:
- Первообразная функции - это функция, производная которой равна исходной функции.
- Неопределенный интеграл - это обратная операция
дифференцированию, которая находит класс функций, производная которых равна заданной функции.
- Основные свойства неопределенного интеграла включают линейность, интегрирование элементарных функций, аддитивность и константу интегрирования.
- Таблица основных интегралов предоставляет список известных интегралов элементарных функций.
6. Основные методы интегрирования:
- Методы интегрирования включают замену переменной, интегрирование по частям, метод неопределенных коэффициентов и тригонометрические подстановки.
- Эти методы помогают упростить интегралы и найти их аналитические выражения.
7. Интегрирование дробно-рациональных функций:
- Интегрирование дробно-рациональных функций - это процесс нахождения интеграла от функции, представленной отношением двух полиномов.
- Для интегрирования дробно-рациональных функций применяются методы частных дробей, разложения на простейшие дроби и методы рациональных подстановок.
8. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций:
- Интегрирование некоторых классов иррациональных функций включает функции с корнем, тригонометрические функции и другие иррациональные выражения.
- Для интегрирования таких функций могут использоваться различные подстановки и тригонометрические иррациональности.
9. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций:
- Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций включает функции синуса, косинуса, тангенса и других тригонометрических выражений.
- Для интегрирования таких функций могут использоваться тригонометрические тождества, подстановки и методы преобразования.
10. Определенный интеграл Римана. Классы интегрируемых функций:
- Определенный интеграл Римана - это предел суммы Римана, которая приближает площадь под кривой функции на заданном интервале.
- Классы интегрируемых функций
включают ограниченные функции и функции, у которых конечное число разрывов на заданном интервале.
11. Основные свойства определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определённого интеграла:
- Основные свойства определенного интеграла включают линейность, аддитивность, интегрирование по частям и замену переменной.
- Формула Ньютона-Лейбница (фундаментальная теорема исчисления) связывает определенный интеграл с неопределенным интегралом функции.
- Методы вычисления определенного интеграла включают методы разбиения интервала, численные методы (такие как метод прямоугольников
, метод тrapezoid и метод Симпсона) и использование таблиц интегралов.
12. Понятие о несобственных интегралах:
- Несобственный интеграл - это интеграл от функции, определенный на бесконечном или неограниченном интервале или на интервале, где функция имеет бесконечность или разрыв.
- Несобственные интегралы могут быть сходящимися (конечными) или расходящимися (бесконечными).
13. Приложения определённого интеграла:
- Определенный интеграл имеет множество приложений в различных областях, включая науку, инженерию и экономику.
- Он используется для вычисления площадей, объемов, массы, центра тяжести, длин дуг, работы, потоков и других величин, связанных с изменением величин во времени или пространстве.
14. Двойные интегралы, основные свойства, приложения:
- Двойной интеграл - это интеграл от функции двух переменных по области в плоскости.
- Основные свойства двойного интеграла включают линейность, изменение порядка интегрирования и связь с площадью.
- Двойные интегралы используются для вычисления площадей, массы, моментов инерции, центра масс, плотности потока и других физических величин.
15. Основные понятия теории рядов. Сходимость. Не
обходимое условие сходимости. Обобщенно гармонический ряд, геометрический ряд, условия сходимости. Формула суммы сходящегося геометрического ряда:
- Ряд - это бесконечная сумма элементов, записанных в определенной последовательности.
- Сходимость ряда означает, что сумма ряда существует и является конечным числом.
- Необходимое условие сходимости ряда - это условие, которое должно быть выполнено для того, чтобы ряд сходился.
- Обобщенно гармонический ряд и геометрический ряд являются примерами рядов, для которых существуют точные условия сходимости.
- Формула суммы сходящегося геометрического ряда позволяет вычислить сумму ряда, если он сходится.
16. Достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов: сравнения, Даламбера, Коши:
- Достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов позволяют определить сходимость или расходимость ряда на основе сравнений с другими рядами или с помощью предельных значений.
- Признаки сравнений сравнивают заданный ряд с рядом, для которого известна сходимость или расходимость.
- Признак Даламбера использует предел отношения последовательных членов ряда для определения его сходимости или расходимости.
- Признак Коши использует предел корня из последовательных членов ряда для определения его сходимости или расходимости.
17. Абсолютная и условная сходимость рядов с произвольными членами. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница:
- Абсолютная сходимость ряда означает, что сходится абсолютная величина суммы ряда, независимо от знака его членов.
- Условная сходимость ряда означает, что сумма ряда сходится только при учете знаков его членов.
- Знакочередующиеся ряды - это ряды, в которых знаки членов чередуются.
- Признак Лейбница - это критерий сходимости знакочередующихся рядов, который использует убывание абсолютной величины членов ряда.
18.
Степенной ряд как частный случай функционального ряда. Теорема Абеля, радиус и интервал сходимости. Исследование сходимости степенного ряда:
- Степенной ряд - это функциональный ряд, в котором члены представлены степенями переменной.
- Теорема Абеля устанавливает условия сходимости степенного ряда на границе его интервала сходимости.
- Радиус сходимости определяет интервал, на котором степенной ряд сходится.
- Исследование сходимости степенного ряда включает определение его радиуса и интервала сходимости, а также анализ поведения ряда на границе интервала сходимости.
19. Основные понятия теории ДУ первого порядка. Задача Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи Коши:
- Теория дифференциальных уравнений (ДУ) первого порядка изучает уравнения, связывающие функцию и ее производную.
- Задача Коши состоит в нахождении решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.
- Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи Коши устанавливает условия, при которых решение существует и единственно.
20. Методы решения ДУ первого порядка: ДУ с разделяющимися переменными, линейные ДУ, однородные ДУ:
- Методы решения дифференциальных уравнений первого порядка включают метод разделения переменных, метод интегрирующего множителя, метод линейных ДУ и метод однородных ДУ.
- ДУ с разделяющимися переменными решаются путем разделения переменных и последующего интегрирования обеих частей уравнения.
- Линейные ДУ решаются с помощью метода интегрирующего множителя или метода вариации постоянных.
- Однородные ДУ решаются с помощью метода замены переменных и поиска решения в виде экспоненциальной функции.