ЛЕКЦИЯ №41
14. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
14.1. Основные операторы и векторные операции
Электромагнитное поле – это вид материи, определяемый во всех точках двумя векторными величинами, которые характеризуют две его стороны, называемые электрическим полем и магнитным полем, и оказывающий силовое воздействие на заряженные частицы, зависящее от их скорости и заряда (ГОСТ 19880-74).

Основным математическим аппаратом при расчете электромагнитного поля является векторный анализ, включающий в себя понятия: скаляр, вектор и тензор. В общем случае скаляры и векторы являются функциями координат точки и времени. При анализе электромагнитного поля применяют линейный, поверхностный и объемный интегралы, а также дифференциальные операторы.

Оператор – это символ, характеризующий действие над вектором или скаляром, расположенным после символа.

Дифференциальные операторы позволяют сократить запись различных операций над скалярными и векторными величинами.
14.1.1. Линейный, поверхностный и объемный интегралы
Пусть имеется кривая l, ограничивающая поверхность S, которая находится в электромагнитном поле (рис. 14.1).



Линейный по кривой l интеграл является скалярной величиной

(14.1)

где – вектор электромагнитного поля.

Вектор имеет направление, касательное к элементу кривой интегрирования l.

Циркуляцией вектора по замкнутой кривой l называется интеграл вида: . (14.2)

Поверхностный интеграл по поверхности S (рис. 14.2) имеет вид:

---

. (14.3)




Рис. 14.2. К пояснению поверхностного интеграла


Его часто называют потоком вектора через поверхность S.

Вектор имеет направление, совпадающее с направлением внешней нормали к элементу замкнутой поверхности. Он численно равен элементу поверхности ds.

Объемный интеграл по объему V:

. (14.4)

Элемент объема – это физически бесконечно малый объем, который может иметь форму куба, сферы и т.д.
14.1.2. Дифференциальные операторы набла и Лапласа
Оператор набла (оператор Гамильтона)  – это символический вектор, сочетающий в себе векторные и дифференцирующие свойства. Поэтому при действии с оператором  необходимо применять правила векторной алгебры.

В декартовой системе координат оператор  записывается:



Существует запись его в цилиндрической и сферической системах координат.

При оперировании со сложными функциями используют правила дифференцирования сложных функций:

(14.5)

Использование оператора  позволяет упростить запись некоторых векторных операций. Так умножение оператора  на скалярную функцию означает градиент этой функции

. (14.6)

Скалярное умножение  и вектора приводит к дивергенции вектора

. (14.7)

Векторное произведение  на вектор дает ротор вектора

. (14.8)

Оператор Лапласа (лапласиан) – это скалярный дифференциальный оператор, определяемый как дивергенция градиента скалярной функции (уравнение Лапласа

---

).

В декартовой системе координат оператор запишется:

(14.9)

Если применить оператор к вектору , то

(14.10)

где

Векторное уравнение можно представить тремя скалярными уравнениями:

(14.11)

14.1.3. Понятие о градиенте, дивергенции и роторе
Градиент скалярной функции – это вектор, указывающий направление наиболее быстрого возрастания скалярной функции и по абсолютному значению равный наибольшей скорости возрастания этой функции.

(14.12)

Градиент направлен по нормали к поверхности равного уровня скалярной функции в данной точке. Градиент скалярного потенциала  постоянного во времени поля равен:

(14.13)

где – нормаль к эквипотенциальной поверхности в данной точке поля.

Градиент скалярного потенциала  в каждой точке совпадает с касательной к силовой линии напряженности электрического поля в данной точке и имеет направление, противоположное вектору (рис. 14.3).


Рис. 14.3. Картина электрического поля

Дивергенция (расхождение вектора) – это алгебраическая скалярная величина, характеризующая источники поля в рассматриваемой точке поля или указывающая на отсутствие источников

---

.

Численно дивергенцию в данной точке определяют как предел, к которому стремится отношение потока вектора через замкнутую поверхность к объему, ограниченному этой поверхностью, при стремлении этого объема к нулю

. (14.14)

Если div > 0, то имеются источники поля и линии вектора расходятся из данной точки. Точка наблюдения служит началом (истоком) линий вектора .

Если div < 0, то в точке наблюдения линии вектора сходятся, т.е. она служит стоком линий вектора .

Если div = 0, то в рассматриваемой точке отсутствует источник линий вектора .

Картина электрического поля при наличии и отсутствии зарядов показана на рис. 14.4. Например, если имеется объемный положительный заряд +, то он является истоком вектора электрического смещения .





Рис. 14.4. Электрическое поле при наличии и отсутствии электрических зарядов

Дивергенция вектора магнитной индукции всегда равна нулю, так как линии вектора замкнуты (не имеют начала и конца).

В декартовой системе координат

(14.15)

Ротор (вихрь) вектора поля rot 

---

– это вектор, характеризующий интенсивность вихревых полей в каждой точке. Ротор проявляет себя как вихрь, поэтому он имеет ось. Направление оси определяет направление вектора, изображающего ротор.

Численно составляющую ротора в направлении нормали к плоской площадке s определяют как предел, к которому стремится отношение циркуляции вектора к площадке s, ограниченной контуром интегрирования, при стремлении ее к нулю (рис. 14.5)

. (14.16)

Если вихревое поле в некоторой области не имеет внутри источников векторных линий, то rot  0 (div = 0).

Запишем ротор вектора в декартовой системе координат

(14.17)



Рис. 14.5. К пояснению определения ротора вектора

где: . (14.18)

(14.19)
14.1.4. Запись основных векторных операций с помощью оператора 
Пространственные производные grad, div и rot можно записать с помощью оператора . При этом умножение оператора  на скалярную функцию равносильно взятию градиента этой функции  = grad . Скалярное умножение оператора  и вектора дает дивергенцию этого вектора , а векторное их умножение образует ротор вектора . Применение оператора  облегчает выполнение сложных векторных операций. В табл.14.1 приведены примеры символической записи наиболее часто встречающихся векторных операций.

---

Смотрите также файлы

• Федеральная антимонопольная служба Россия направления и методы функционирования.docx

• Регламентирует деятельность медработников 323 Федерльный закон об.docx

• История горного дела.docx

• .docx

• Контрольная работа 1 по дисциплине Технические средства (на железнодорожном транспорте).doc