ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2021
Просмотров: 748
Скачиваний: 1
Далее исключаем из третьего уравнения
x
2
. Для этого надо умножить
второе уравнение на
−
a
0
32
a
0
22
и сложить с третьим. В результате
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
b
1
,
a
0
22
x
2
+
a
0
23
x
3
=
b
0
2
,
a
00
33
x
3
=
b
00
3
,
где
a
00
ij
=
a
0
ij
−
a
0
i
2
a
0
22
a
0
2
j
,
i, j
= 3
,
b
00
i
=
b
0
i
−
a
0
i
2
a
0
22
b
0
2
,
i
= 3
.
Далее начинается обратный ход метода.
В процессе исключения неизвестных необходимо выполнять опера-
цию деления на коэффициенты
a
11
,
a
0
22
(ведущие элементы). Они должны
быть отличны от нуля. Если это не так, то необходимо соответствующим
образом переставить уравнения системы, что должно быть предусмотре-
но в вычислительном алгоритме.
Модификацией метода Гаусса является схема с выбором ведущего
элемента. В ней требование неравенства нулю диагональных элементов
a
ii
заменяется более жестким: из всех оставшихся в
i
-ом столбце эле-
ментов нужно выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения
так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента
a
ii
. Благодаря это-
му уменьшаются множители, используемые для преобразования уравне-
ний, что уменьшает погрешности вычислений. Модифицированный ме-
тод Гаусса обеспечивает приемлемую точность для систем с
n
.
1000
.
3. Метод прогонки.
Метод прогонки представляет собой модификацию метода Гаусса для
систем уравнений с трехдиагональной матрицей. Запишем такую систе-
му уравнений:
b
1
x
1
+
c
1
x
2
=
d
1
,
a
2
x
1
+
b
2
x
2
+
c
2
x
3
=
d
2
,
a
3
x
2
+
b
3
x
3
+
c
3
x
4
=
d
3
,
...................................................
a
n
−
1
x
n
−
2
+
b
n
−
1
x
n
−
1
+
c
n
−
1
x
n
=
d
n
−
1
,
a
n
x
n
−
1
+
b
n
x
n
=
d
n
.
46
Прямая прогонка состоит в нахождении прогоночных коэффициентов
A
i
и
B
i
, с помощью которых неизвестное
x
i
выражается через
x
i
+1
:
x
i
=
A
i
x
i
+1
+
B
i
,
i
= 1
,
2
, ..., n
−
1
.
(81)
Из первого уравнения системы находим
x
1
=
−
c
1
b
1
x
2
+
d
1
b
1
,
с другой стороны
x
1
=
A
1
x
2
+
B
1
.
Сравнивая, находим
A
1
=
−
c
1
b
1
,
B
1
=
d
1
b
1
.
(82)
Подставим во второе уравнение системы выражение для
x
1
a
2
(
A
1
x
2
+
B
1
) +
b
2
x
2
+
c
2
x
3
=
d
2
.
Отсюда,
x
2
=
−
c
2
x
3
+
d
2
−
a
2
B
1
a
2
A
1
+
b
2
или
x
2
=
A
2
x
3
+
B
2
,
A
2
=
−
c
2
e
2
,
B
2
=
d
2
−
a
2
B
1
e
2
,
e
2
=
a
2
A
1
+
b
2
.
Последние соотношения можно обобщить для произвольного номера
i
:
A
i
=
−
c
i
e
i
,
B
i
=
d
i
−
a
i
B
i
−
1
e
i
,
e
i
=
a
i
A
i
−
1
+
b
i
,
i
= 2
, ..., n
−
1
.
(83)
На этом заканчивается прямая прогонка. При обратной прогонке после-
довательно вычисляются неизвестные
x
i
. Для этого сначала запишем
x
n
−
1
=
A
n
−
1
x
n
+
B
n
−
1
и последнее уравнение системы
a
n
x
n
−
1
+
b
n
x
n
=
d
n
.
Из двух последних уравнений находим
x
n
:
x
n
=
d
n
−
a
n
B
n
−
1
b
n
+
a
n
A
n
−
1
.
Далее по прогоночным формулам находим все остальные неизвестные.
47
5.4.
Итерационные методы
1. Метод простой итерации.
Исходная система уравнений
A
x
=
b
.
Отсюда
0 =
b
−
A
x
,
x
=
b
−
A
x
+
x
,
x
= (
b
−
A
x
)
τ
+
x
x
= (
E
−
τ A
)
x
+
τ
b
,
x
=
B
x
+
τ
b
,
где
B
=
E
−
τ A
(84)
Получившаяся система (84) является основой метода простой итерации.
Выбираем некоторое начальное приближение
x
(0)
, подставляем в правую
часть (84), получаем следующее (1-е) приближение:
x
(1)
=
B
x
(0)
+
τ
b
.
В результате
x
(
k
+1)
=
B
x
(
k
)
+
τ
b
,
k
= 0
,
1
,
2
, ...
(85)
Формула (85) выражает метод простой итерации. От выбора параметра
τ
¿
1
зависит его сходимость и скорость сходимости.
2. Метод Гаусса – Зейделя.
Метод Гаусса – Зейделя является итерационным. Рассмотрим его на
примере системы
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
b
1
,
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
=
b
2
,
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
=
b
3
.
Выразим неизвестные из уравнений
x
1
=
1
a
11
(
b
1
−
a
12
x
2
−
a
13
x
3
)
,
x
2
=
1
a
22
(
b
2
−
a
21
x
1
−
a
23
x
3
)
,
x
3
=
1
a
33
(
b
3
−
a
31
x
1
−
a
32
x
2
)
.
Далее зададим некоторое нулевой приближение для неизвестных
(
x
(0)
1
, x
(0)
2
, x
(0)
3
)
. Подставляя в формулу для
x
1
находим
x
(1)
1
(первое при-
ближение для
x
1
). При вычислении
x
(1)
2
вместо
x
(0)
1
будем использовать
48
x
(1)
1
. В результате найдем
x
(1)
2
. Далее находим
x
(1)
3
. И далее повторяем
вычисления. В общем случае
k
-ое приближение будет выражаться через
k
−
1
приближение следующим образом
x
(
k
)
1
=
1
a
11
(
b
1
−
a
12
x
(
k
−
1)
2
−
a
13
x
(
k
−
1)
3
)
,
(86)
x
(
k
)
2
=
1
a
22
(
b
2
−
a
21
x
(
k
)
1
−
a
23
x
(
k
−
1)
3
)
,
(87)
x
(
k
)
3
=
1
a
33
(
b
3
−
a
31
x
(
k
)
1
−
a
32
x
(
k
)
2
)
.
(88)
Итерационный процесс необходимо продолжать до тех пор, пока зна-
чения неизвестных в двух последовательных приближениях не станут
близкими с заданной погрешностью.
5.5.
Задачи на собственные значения
Рассмотрим квадратную матрицу
n
-го порядка:
A
=
a
11
a
12
... a
1
n
a
21
a
22
... a
2
n
. . . . . . . . . . . . . . . .
a
n
1
a
n
2
... a
nn
.
(89)
Вектор
x
=
{
x
1
, x
2
, ..., x
n
}
называется собственным вектором матрицы
A
, соответствующим соб-
ственному значению
λ
, если он удовлетворяет системе уравнений:
A
x
=
λ
x
.
(90)
Характеристической матрицей С данной матрицы
A
называется матрица
С
=
A
−
λE
=
a
11
−
λ
a
12
...
a
1
n
a
21
a
22
−
λ ...
a
2
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n
1
a
n
2
... a
nn
−
λ
,
(91)
где
E
– единичная матрица. В результате мы получаем, что систему (90)
можно записать в виде
(
A
−
λE
)
x
= 0
или
C
x
= 0
.
(92)
49
Полученная система является однородной системой
n
линейных уравне-
ний с
n
неизвестными. Ненулевые решения наша система имеет только
в случае
det
C
= 0
.
Определитель
det
C
является многочленом
n
-й степени относительно
λ
:
det
C
=
c
0
λ
n
+
c
1
λ
n
−
1
+
...
+
c
n
−
1
λ
+
c
n
.
Этот многочлен называется характеристическим многочленом и его кор-
ни являются собственными значениями матрицы
A
.
5.6.
Задания для самостоятельной работы
Решить системы линейных уравнений
а) методом Гаусса;
б) методом простой итерации;
в) методом Гаусса – Зейделя.
1.
9
,
31
x
1
+ 1
,
21
x
2
+ 2
,
32
x
3
+ 1
,
22
x
4
+ 3
,
01
x
5
= 17
,
07
2
,
01
x
1
+ 11
,
02
x
2
+ 3
,
21
x
3
+ 1
,
25
x
4
+ 2
,
26
x
5
= 19
,
75
3
,
26
x
1
+ 2
,
02
x
2
+ 10
,
98
x
3
+ 2
,
22
x
4
+ 3
,
02
x
5
= 21
,
50
1
,
98
x
1
+ 2
,
11
x
2
+ 3
,
22
x
3
+ 12
,
44
x
4
+ 1
,
75
x
5
= 21
,
50
4
,
02
x
1
+ 1
,
01
x
2
+ 1
,
02
x
3
+ 2
,
55
x
4
+ 9
,
90
x
5
= 18
,
50
2.
23
,
75
x
1
+ 5
,
27
x
2
+ 1
,
23
x
3
+ 1
,
22
x
4
+ 3
,
33
x
5
= 34
,
80
1
,
28
x
1
+ 31
,
41
x
2
+ 5
,
02
x
3
+ 3
,
75
x
4
+ 1
,
24
x
5
= 42
,
70
2
,
73
x
1
+ 3
,
34
x
2
+ 15
,
23
x
3
+ 1
,
23
x
4
+ 2
,
47
x
5
= 25
,
00
5
,
24
x
1
+ 1
,
78
x
2
+ 2
,
03
x
3
+ 21
,
62
x
4
+ 3
,
28
x
5
= 33
,
95
3
,
45
x
1
+ 2
,
22
x
2
+ 1
,
23
x
3
+ 4
,
54
x
4
+ 22
,
16
x
5
= 36
,
60
3.
9
,
99
x
1
+ 1
,
05
x
2
+ 2
,
07
x
3
+ 3
,
28
x
4
+ 2
,
60
x
5
= 28
,
98
2
,
61
x
1
+ 10
,
03
x
2
+ 1
,
28
x
3
+ 1
,
32
x
4
+ 4
,
57
x
5
= 22
,
42
5
,
35
x
1
+ 3
,
37
x
2
+ 15
,
17
x
3
+ 2
,
08
x
4
+ 1
,
47
x
5
= 32
,
79
1
,
53
x
1
+ 5
,
02
x
2
+ 2
,
54
x
3
+ 17
,
05
x
4
+ 3
,
21
x
5
= 30
,
88
3
,
77
x
1
+ 1
,
25
x
2
+ 2
,
74
x
3
+ 4
,
01
x
4
+ 15
,
16
x
5
= 30
,
70
50