ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.04.2021
Просмотров: 314
Скачиваний: 1
ÔÅÄÅ
ÀËÜÍÎÅ
ÀÅÍÒÑÒÂÎ
ÏÎ
ÎÁ
ÀÇÎÂÀÍÈÞ
À.
Ô.
Êëèíñêèõ,
Å.
À.
Ñèðîò
à,
À.
Â.
Ôëåãåëü
Ïðàêòèêóì
ïî
òåîðèè
âåðî
ÿòíîñòåé
è
ìàòåìàòè÷åñê
îé
ñò
àòèñòèê
å
×àñòü
1.
Ò
åîðèÿ
âåðî
ÿòíîñòåé
ÂÎÎÍÅÆ
2011
Óòâåð
æäåíî
Íà
ó÷íî-ìåòî
äè÷åñêèì
ñîâåòîì
àêó
ëü
òåò
à
ê
îìïüþòåðíûõ
íà
óê
15
äåê
àáð
ÿ
2010
ã
.,
ïðîòîê
îë
3
åöåíçåíò
ê
àíäèäàò
èç.-ìàò
.
íà
óê,
äîöåíò
Ë.À.
Ìèíèí
Ó÷åáíîå
ïîñîáèå
ïî
äãîòîâëåíî
íà
ê
àåäðå
öèðîâûõ
òåõíîëîãèé
àêó
ëü
òåò
à
ê
îìïüþòåðíûõ
íà
óê
Âîðîíåæ
ñê
îãî
ãîñó
äàðñòâåííîãî
óíèâåðñèòåò
à
åê
îìåíäó
åòñ
ÿ
äëÿ
ñòó
äåíòîâ
àêó
ëü
òåò
à
ê
îìïüþòåðíûõ
íà
óê
2
êóðñà
äíåâíîãî
îò
äåëåíèÿ
Äëÿ
ñïåöèàëüíîñòåé
230201
Èíîðìàöèîííûå
ñèñòåìû
è
òåõíîëîãèè;
230200
Èíîðìàöèîííûå
ñèñòåìû;
010300
Ìàòåìàòèê
à.
Êîìïüþòåð-
íûå
íà
óêè
2
Ââåäåíèå
Äàííîå
ìåòî
äè÷åñê
îå
ïîñîáèå
ñî
äåð
æèò
áàçîâûå
òåîðåòè÷åñêèå
ïðåä-
ñò
àâëåíèÿ
è
ìåòî
äû
ðåøåíèÿ
òèïîâûõ
çàäà
÷
ïî
êóðñó
¾Ò
åîðèÿ
âåðî
ÿòíî-
ñòåé
è
ìàòåìàòè÷åñê
àÿ
ñò
àòèñòèê
à¿
äëÿ
ñòó
äåíòîâ
àêó
ëü
òåò
à
ê
îìïüþ-
òåðíûõ
íà
óê
Âîðîíåæ
ñê
îãî
ãîñó
äàðñòâåííîãî
óíèâåðñèòåò
à.
Öåëüþ
êóðñà
ÿâëÿåòñ
ÿ
îðìèðîâàíèå
ïðåäñò
àâëåíèé
î
âåðî
ÿòíîñòíûõ
ìî
äåëÿõ
ðåàëü-
íûõ
ÿâëåíèé
è
ïðîöåññîâ,
ìàòåìàòè÷åñê
îì
àïïàðàòå,
ïðèíöèïàõ
ðàçðà-
áîòêè
è
ê
îìïüþòåðíîé
ðåàëèçàöèè
âåðî
ÿòíîñòíûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
ìî-
äåëåé.
Îñíîâíûìè
çàäà
÷àìè
êóðñà
ÿâëÿþòñ
ÿ
îâëàäåíèå
óíäàìåíò
àëü-
íûìè
ïîíÿòèÿìè
è
ìî
äåëÿìè
òåîðèè
âåðî
ÿòíîñòåé,
ïîëó÷åíèå
ïðåäñò
àâ-
ëåíèé
î
ïî
äõ
î
äàõ
ê
ïîñò
àíîâê
å
è
ðåøåíèþ
ê
îíêðåòíûõ
çàäà
÷
ìàòåìàòè-
÷åñê
îé
ñò
àòèñòèêè.
Öåëü
ïîñîáèÿ,
ê
àê,
âïðî÷¼ì,
è
ëþáîãî
ìåòî
äè÷åñê
îãî
èçäàíèÿ,
ñîñòî-
èò
â
òîì,
÷òîáû
ïîìî÷ü
ñòó
äåíò
àì,
èçó÷àþùèì
äàííûé
êóðñ,
ïðèîáðåñòè
íàâûêè
è
óìåíèÿ
â
ïðèìåíåíèè
ìåòî
äîâ
è
ïî
äõ
î
äîâ
òåîðèè
âåðî
ÿòíîñòåé
ê
ðåøåíèþ
ðàçëè÷íûõ
çàäà
÷,
èìåþùèõ
ïðåèìóùåñòâåííî
ïðèêëàäíîå
ñî-
äåð
æ
àíèå.
Â
ðåçó
ëü
ò
àòå
èçó÷åíèÿ
êóðñà
ñòó
äåíò
äîëæ
åí
çíàòü
îñíîâíûå
ïîíÿòèÿ,
áàçîâûå
ìî
äåëè
è
ìàòåìàòè÷åñêèé
îðìàëèçì
òåîðèè
âåðî
ÿòíî-
ñòåé,
ïðè¼ìû
è
ìåòî
äû
àíàëèòè÷åñê
îãî
ðåøåíèÿ
òèïîâûõ
çàäà
÷,
à
ò
àê-
æ
å
óê
àçûâàòü
ãðàíèöû
èõ
ïðèìåíèìîñòè.
Îñîáîå
âíèìàíèå
ïðè
èçó÷å-
íèè
êóðñà
äîëæíî
áûòü
îáðàùåíî
íà
óìåíèå
âûäåëèòü
ê
îíêðåòíûå
âå-
ðî
ÿòíîñòíûå
ñ
õ
åìû
(ìî
äåëè)
â
ïðèêëàäíûõ
çàäà
÷àõ,
ïðîâî
äèòü
ê
îìïüþ-
òåðíóþ
ðåàëèçàöèþ
îñíîâíûõ
âåðî
ÿòíîñòíûõ
ìî
äåëåé
è
ñò
àòèñòè÷åñêèé
àíàëèç
ðåçó
ëü
ò
àòîâ
ìî
äåëèðîâàíèÿ,
à
ò
àêæ
å
èìåòü
ïðåäñò
àâëåíèå
î
ïåð-
ñïåêòèâíûõ
íàïðàâëåíèÿõ
ïðàêòè÷åñê
îãî
èñïîëüçîâàíèÿ
ìåòî
äîâ
òåîðèè
âåðî
ÿòíîñòåé
è
ìàòåìàòè÷åñê
îé
ñò
àòèñòèêè.
Â
ê
àæäîì
ðàçäåëå
ïîñîáèÿ
ïðèâåäåíû
êðàòêèå
òåîðåòè÷åñêèå
ñâåäå-
íèÿ,
äàíû
ðåøåíèÿ
òèïîâûõ
çàäà
÷
è
ïðèìåðîâ,
à
ò
àêæ
å
ïðåäëî
æ
åí
íàáîð
çàäà
÷
è
óïðàæíåíèé
äëÿ
ñàìîñòî
ÿòåëüíîãî
ðåøåíèÿ.
3
1.
Îñíîâíûå
ïîíÿòèÿ
Ïðåäìåò
è
çàäà
֏
òåîðèè
âåðî
ÿòíîñòåé.
Îñíîâíûå
ïî-
íÿòèÿ
Ò
åîðèÿ
âåðî
ÿòíîñòåé
ê
àê
ìàòåìàòè÷åñê
àÿ
íà
óê
à
ñò
àâèò
ñâîåé
çàäà
÷åé
èçó÷åíèå
ñò
àòèñòè÷åñêèõ
çàê
îíîìåðíîñòåé,
ê
îòîðûå
íàáëþ
äàþòñ
ÿ
â
ñ
ëó-
÷àéíûõ
ÿâëåíèÿõ
(ïðîöåññàõ).
Ñëó÷àéíûì
ÿâëåíèå
ì
íàçûâàþò
ÿâëåíèå,
ê
îòîðîå
ïðè
ìíîãîêðàòíîì
ïîâòîðåíèè
îïûò
à
(ýê
ñïåðèìåíò
à)
ïðèâî
äèò
ê
îò
ëè÷íûì
äðóã
îò
äðóã
à
ðåçó
ëü
ò
àò
àì
(èñ
õ
î
äàì).
Çàäà
֏
òåîðèè
âåðî
ÿòíîñòåé
ïîñòðîåíèå,
àíàëèç
è
ïðèìåíåíèå
ìà-
òåìàòè÷åñê
îé
ìî
äåëè
(âåðî
ÿòíîñòíîé
ñ
õ
åìû),
îòâå÷àþùåé
äàííîìó
ñëó-
÷àéíîìó
ÿâëåíèþ
(ïðîöåññó).
Ýëå
ìåíòàðíîå
ñîáûòèå
ω
ýòî
î
äèí
èç
âîçìî
æíûõ
èñ
õ
î
äîâ
îïûò
à
(ýê
ñïåðèìåíò
à).
Ïðîñòð
àíñòâî
ý
ëå
ìåíòàðíûõ
ñîáûòèé
Ω
ýòî
ìíî
æ
å-
ñòâî
ýëåìåíò
àðíûõ
ñîáûòèé,
åñëè
ýëåìåíò
àðíûì
ñîáûòèÿì
ñîîòâåòñòâó-
þò
âçàèìîèñêëþ÷àþùèå
èñ
õ
î
äû.
Ñëó÷àéíîå
ñîáûòèå
(èëè
ïðîñòî
ñîáû-
òèå)
åñòü
ëþáîå
ïî
äìíî
æ
åñòâî
ìíî
æ
åñòâà
Ω
.
Îïåðàöèè
íàä
ñîáûòèÿìè
Îïåðàöèè
íàä
ñîáûòèÿìè
ñîâïàäàþò
ñ
îïåðàöèÿìè
íàä
ìíî
æ
åñòâàìè.
Ñóììà
ñîáûòèé
A
è
B
åñòü
ñîáûòèå
C
=
A
+
B,
ñîñòî
ÿùåå
èç
ýëåìåíò
àðíûõ
ñîáûòèé,
ïðèíàäëåæ
àùèõ
èëè
A
,
èëè
B
,
ò
.å.
ïî
êðàéíåé
ìåðå
î
äíîìó
èç
ñîáûòèé.
Îòìåòèì
ñëåäóþùèå
ðàâåíñòâà:
A
+
A
=
A,
A
+ Ω = Ω
.
àçíîñòü
ñîáûòèé
A
è
B
åñòü
ñîáûòèå
C
=
A
\
B,
ñîñòî
ÿùåå
èç
ýëåìåíò
àðíûõ
ñîáûòèé,
ïðèíàäëåæ
àùèõ
A
è
íå
ïðèíàäëå-
æ
àùèõ
B
.
àçíîñòü
Ω
\
Ω =
∅
åñòü
ïó
ñòîå
ìíî
æ
åñòâî,
ò
.å.
íåâîçìîæíîå
ñîáûòèå.
Ñîáûòèå
A
,
ïðîòèâîïî
ëîæíîå
ñîáûòèþ
A
,
îïðåäåëÿåòñ
ÿ
ê
àê
ðàç-
íîñòü:
A
= Ω
\
A.
4
Ïðîèçâåäåíèå
ñîáûòèé
A
è
B
åñòü
ñîáûòèå
C
=
A
·
B,
ñîñòî
ÿùåå
èç
ýëåìåíò
àðíûõ
ñîáûòèé,
ïðèíàäëåæ
àùèõ
è
A
,
è
B
,
ò
.å.
ê
àæ-
äîìó
èç
ýòèõ
ñîáûòèé.
Ñîáûòèÿ
A
è
B
íàçûâàþòñ
ÿ
íåñîâìåñòíûìè,
åñëè
èõ
ïðîèçâåäåíèå
åñòü
íåâîçìî
æíîå
ñîáûòèå:
A
·
B
=
∅
.
Ïî
ä
àëãåáðîé
ñîáûòèé
U
ïîíèìàþò
ò
àê
îé
íàáîð
(êëàññ)
ïî
äìíî
æ
åñòâ
èç
Ω
∈
U
,
äëÿ
ê
îòîðûõ
èç
ó
ñëîâèé
A
∈
U
è
B
∈
U
ñëåäó
åò
,
÷òî
A
·
B
∈
U
,
A
+
B
∈
U
è
A
\
B
∈
U
.
Âåðî
ÿòíîñòü
Âåðîÿòíîñòü
ñîáûòèÿ
õ
àðàêòåðèçó
åò
ìåðó
îáúåêòèâíîé
âîçìî
æíî-
ñòè
ýòîãî
ñîáûòèÿ.
×èñëîâàÿ
óíêöèÿ
P
,
îïðåäåë¼ííàÿ
íà
êëàññå
ñîáû-
òèé
U
,
íàçûâàåòñ
ÿ
âåðî
ÿòíîñòüþ,
åñëè
âûïîëíÿþòñ
ÿ
ñëåäóþùèå
ó
ñëî-
âèÿ(àê
ñèîìû).
1.
U
åñòü
àëãåáðà
ñîáûòèé.
2.
Ó
ñëîâèå
íåîòðèöàòåëüíîñòè
âåðî
ÿòíîñòè:
P
(
A
)
≥
0
∀
A
∈
U.
3.
Ó
ñëîâèå
íîðìèðîâêè:
P
(Ω) = 1
.
4.
Ó
ñëîâèå
àääèòèâíîñòè.
Åñëè
A
·
B
=
∅
,
ò
.å.
ñîáûòèÿ
A
è
B
íåñîâ-
ìåñòíû,
òî
P
(
A
+
B
) =
P
(
A
) +
P
(
B
)
.
5.
Ó
ñëîâèå
íåïðåðûâíîñòè.
Äëÿ
ëþáîé
óáûâàþùåé
ïîñëåäîâàòåëüíî-
ñòè
ñîáûòèé
A
1
⊃
A
2
⊃
...
⊃
A
n
⊃
...
èç
àëãåáðû
ñîáûòèé
U
ò
àê
îé,
÷òî
∞
\
n
=1
A
n
=
∅
,
ñïðàâåäëèâî
ðàâåíñòâî
lim
n
→∞
P
(
A
n
) = 0
.
5