Файл: Методические указания приближенные методы вычисления определенных интегралов Пусть требуется вычислить определенный интеграл b a dx x f i от непрерывнойфункции x f.pdf

1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Приближенные методы вычисления
определенных интегралов
Пусть требуется вычислить определенный интеграл
b
a
dx
x
f
I
от непрерывнойфункции
x
f
. Если может быть найдена первообразная
x
F
подынтегральной функции, то по формуле Ньютона—Лейбница и
b
a
a
F
b
F
dx
x
f
. Если же первообразная не может быть найдена или если функция
x
f
y
задана графически или таблично, то для вычисления интеграла прибегают к приближенным формулам, точность которых может быть сделана сколь угодно боль- шой.
Приближенные методы вычисления определенного интеграла в большинстве случаев основаны на том, что определенный интеграл
b
a
dx
x
f
численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой
x
f
y
, сегментом
b
a,
оси
Ox
и вертикальными прямыми, проведенными через точки
a
x
и
b
x
Благодаря этому задача о приближенном вычислении интеграла равносильна задаче о приближенном вычислении площади криволинейной трапеции.
Идея приближенного вычисления интеграла заключается в том, что кривая
x
f
y
заменяется новой, достаточно «близкой» к ней кривой.
Тогда искомая площадь приближенно равна площади криволи- нейной трапеции, ограниченной кривой.
В качестве этой новой ограничивающей кривой выбирают такую, для которой площадь криволинейной трапеции подсчитывается просто.
В зависимости от выбора новой кривой мы получим ту или иную приближенную формулу интегрирования.

2
1. Метод прямоугольников. Пусть на отрезке
b
a,
задана непрерывная функция
x
f
y
. Требуется вычислить определенный интеграл
b
a
dx
x
f
Разделим отрезок
b
a,
точками
b
x
x
x
x
a
n
,
,
,
,
2 1
0

на
n
равных частей длины
:
x
n
a
b
x
Обозначим далее через
n
n
y
y
y
y
y
,
,
,
,
,
1 2
1 0

значения функции
x
f
в точках
,
,
,
,
,
2 1
0
n
x
x
x
x

т. е.
,
0 0
x
f
y
,
,
1 1
n
n
x
f
y
x
f
y

Составим суммы:
,
1 1
0
x
y
x
y
x
y
n

2 1
x
n
y
x
y
x
y

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для
x
f
на отрезке
b
a,
и поэтому приближенно выражает интеграл
,
1 2
1 0
b
a
n
y
y
y
y
n
a
b
dx
x
f

1
b
a
n
y
y
y
n
a
b
dx
x
f
2 1

'
1
Это и есть формулы прямоугольников. Из рис.1 ясно, что если
x
f
— положительная и возрастающая функция, то формула
1
выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула '
1
— площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников.

3
Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число п (т. е. чем меньше деления
n
a
b
x
Рис.1
Пример. Вычислить приближенно
,
2
ln
2 1
x
dx
Решение. Разделим отрезок
2
,
1
на 10 равных частей
2
рис
Рис.2

4
Полагая
,
1
,
0 10 1
2
x
составим таблицу значений подынтегральной функции:
x
x
y
/
1
x
x
y
/
1 0
,
1 0
x
00000
,
1 0
y
6
,
1 6
x
62500
,
0 6
y
1
,
1 1
x
90909
,
0 1
y
7
,
1 7
x
58824
,
0 7
y
2
,
1 2
x
83333
,
0 2
y
8
,
1 8
x
55556
,
0 8
y
3
,
1 3
x
76923
,
0 3
y
9
,
1 9
x
52632
,
0 9
y
4
,
1 4
x
71429
,
0 4
y
0
,
2 10
x
50000
,
0 10
y
5
,
1 5
x
66667
,
0 5
y
I. По первой формуле прямоугольников
1
получим
2 1
9 1
0 71877
,
0 18773
,
7 1
,
0 1
,
0
y
y
y
x
dx

По второй формуле прямоугольников '
1
получим
2 1
10 2
1 66877
,
6 1
,
0 1
,
0
y
y
y
x
dx

Непосредственно из рис.2 следует, что в данном случае первая фор- мула дает значение интеграла с избытком, вторая — с недостатком
2. Метод трапеций (Метод хорд). Пусть требуется вычислить определенный интеграл
b
a
dx
x
f
I
.
Разобьем сегмент интегрирования
b
a,
на n равных малых сегментов точками деления:
1 1
2 1
,
,
,
,
,
,
n
i
i
x
x
x
x
x


. Кроме того, положим
b
x
a
x
n
,
0
.
Длина каждого малого сегмента равна
n
a
b
h
/
. Через точки деления проведем прямые, параллельные оси
Oy
. Пусть они пересекают кривую в точках
n
n
i
i
A
A
A
A
A
A
A
,
,
,
,
,
,
,
,
1 1
2 1
0


,

5
. Заменим данную кривую
x
f
y
вписанной в нее ломаной
2 1
2 1
0
A
A
A
A
A
n

3
рис
, соединив концы смежных ординат прямыми линиями.
Р
ИС
.3
Для наглядности предположим, что на сегменте
b
a,
функция
0
x
f
. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху построенной ломаной, даст приближенное значение интеграла
b
a
dx
x
f
.
Эта площадь равна сумме площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху звеньями ломаной. Площадь каждой такой трапеции легко подсчитать. В самом деле, основаниями ее служат ординаты смежных точек деления
1
i
x
и
i
x
, а высотой — малый сегмент
],
,
[
1
i
i
x
x
длина которого
n
a
b
h
/
3
. рис
см
Поэтому площадь такой трапеции равна
2
/
1
i
i
y
y
h
, где
1 1
i
i
x
f
y
, a
i
i
x
f
y
Следовательно, площадь фигуры, ограниченной сверху ломаной
,
1 0
n
A
A
A

есть
2 2
2 2
1 1
2 1
1 0
h
y
y
h
y
y
h
y
y
h
y
y
S
n
n
i
i
n


После очевидных преобразований получим

6
,
2 1
2 1
0
n
n
n
y
y
y
y
y
h
S

где
n
a
b
h
Таким образом, имеем приближенную формулу
,
2 1
2 1
0
b
a
n
n
y
y
y
y
y
h
dx
x
f

2
которая называется формулой трапеций.
Формула трапеций, выведенная в предположении, что
,
0
x
f
остается справедливой для любой функции
x
f
непрерывной на сегменте
b
a,
Ясно, что с возрастанием числа n точек деления точность, даваемая формулой трапеций, возрастает.
При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций обычно поступают следующим образом:
1) вычисляют значения интеграла
n
I
и
n
I
2
при числе точек деле- ния n и 2n;
2) сравнивают результаты вычислений и оставляют все первые совпадающие знаки.
Пример. Вычислить интеграл
6
,
1 0
2
sin
dx
x
с помощью формулы трапеций, полагая
8
n
и
16
n
Решение. Составляем таблицу значений подынтегральной функции при
8
n
и
2
,
0 8
/
0 6
,
1
/ n
a
b
h
i
i
x
2
i
x
2
sin
i
i
x
y
i
i
x
2
i
x
2
sin
i
i
x
y
0 0
0,00 0,0000 5
1,0 1,00 0,8415 1
0,2 0,04 0,0400 6
1,2 1,44 0,9915 2
0,4 0,16 0,1543 7
1,4 1.96 0,9249 3
0,6 0,36 0,3523 8
1,6 2,56 0,5487 4
0,8 0,64 0,5972

7
По формуле
2
при
8
n
получим
8362
,
0 1807
,
4 2
,
0 9249
,
0 9915
,
0 8415
,
0 5972
,
0 3523
,
0 1593
,
0 0400
,
0 2
5487
,
0 0
2
,
0 2
sin
6
,
1 0
7 6
5 4
3 2
1 8
0 2
y
y
y
y
y
y
y
y
y
h
dx
x
Теперь составим таблицу значении подынтегральной функции при
16
n
и
1
,
0 16
/
0 6
,
1
/ n
a
b
h
i
i
x
2
i
x
2
sin
i
i
x
y
i
i
x
2
i
x
2
sin
i
i
x
y
0 0
0,00 0,0000 9
0,9 0,81 0,7243 1
0,1 0,01 0,0100 10 1,0 1,00 0,8415 2
0,2 0,04 0,0400 11 1,1 1,21 0,9356 3
0,3 0,09 0,0899 12 1,2 1,44 0,9915 4
0,4 0,16 0,1593 13 1,3 1,69 0,9928 5
0,5 0,25 0,2474 14 1,4 1,96 0,9249 6
0,6 0,36 0,3523 15 1,5 2.25 0,7776 7
0,7 0,49 0,4706 16 1,6 2,56 0,5487 8
0,8 0,64 0,5972
Применяя формулу
2
для случая
16
n
получим,

8 1593
,
0 0899
,
0 0400
,
0 0100
,
0 2
5487
,
0 0
16 6
,
1
sin
6
,
1 0
2
dx
x
8429
,
0 7776
,
0 9249
,
0 9928
,
0 9915
,
0 9356
,
0 8415
,
0 7243
,
0 5972
,
0 4706
,
0 3523
,
0 2474
,
0
Сравнивая результаты обоих вычислений, видим, что после округлений совпадают первые два знака. Следовательно, за приближенное значение интеграла можно принять
6
,
1 0
2 84
,
0
sin
dx
x
Табличное значение данного интеграла с точностью до 0,00001 равно
0,84528.
3. Метод параболических трапеции (метод Симпсона)*. Этот метод приближенного вычисления определенного интеграла основан на замене графика подынтегральной функции не хордами, как в методе трапеций, а дугами парабол, оси которых параллельны оси
Oy
Прежде чем излагать этот метод, рассмотрим тот частный случай, когда кривая, ограничивающая данную криволинейную трапецию, является графиком квадратного трехчлена
2
C
Bx
Ax
x
f
y
Имеет место следующая формула:
,
4 6
2
b
a
п
c
л
y
y
y
a
b
dx
C
Bx
Ax
3
где
Л
y
ордината кривой в точке
a
x
(левая ордината);
П
y
ордината кривой в точке
b
x
(правая ордината);
C
y
- ордината кривой в средней точке сегмента
,
, b
a
т.е. в точке
2
/
b
a
x
4
рис
_______
* Т. Симпсон (1710—1761)—английский математик._

Рис. 4
Рис.5
Вывод этого соотношения сводится к его непосредственной про- верке. Подсчитаем выражение, стоящее в левой части формулы:
6 3
2 6
2 3
2 2
2 2
3 3
2
C
a
b
B
a
ab
b
A
a
b
a
b
C
a
b
B
a
b
A
dx
C
Bx
Ax
b
a
Для подсчета выражения, стоящего в правой части формулы
3
, найдем предварительно
П
Л
y
y
,
и
:
C
y
;
2
C
Ba
Aa
a
f
y
Л
;
2
C
Bb
Ab
b
f
y
П

10 2
4 2
2
C
b
a
B
b
a
A
b
a
f
y
C
Подставляем найденные значения в правую часть формулы
3
:
ab
b
a
A
C
Ba
Aa
a
b
y
y
y
a
b
П
C
Л
2 6
4 6
2 2
2
C
Bb
Ab
C
b
a
B
2 4
2 6
3 2
6 2
2
C
a
b
B
ab
b
a
A
a
b
Мы видим, что правая и левая части соотношения (73) равны между собой, что и доказывает его справедливость.
Рассмотрим теперь криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой
x
f
y
3
рис
. Через точки
,
;
1
Л
Л
y
x
M
П
П
C
C
y
x
M
y
x
M
;
,
;
3 2
этой кривой,
,
,
2
/
,
b
x
b
a
x
a
x
П
C
Л
проведем вспомогательную параболу
2
C
Bx
Ax
y
Через три точки всегда можно провести такую параболу и при этом только одну.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной вспомогательной параболой, приближенно равна площади заданной криволинейной трапеции:
b
a
b
a
dx
C
Bx
Ax
dx
x
f
2
Так как согласно формуле
3
b
a
П
C
Л
y
y
y
a
b
dx
C
Bx
Ax
,
4 6
2

11 то для произвольной функции
x
f
y
имеет место следующее приближенное равенство:
b
a
П
C
Л
y
y
y
a
b
dx
x
f
4 6
'
3
Однако, если сегмент
b
a,
достаточно большой, то приближение, даваемое формулой '
73
, будет слишком грубым. Поэтому, для того чтобы получить более точное приближение интеграла
b
a
dx
x
f
,
поступим следующим образом: сегмент
b
a,
разобьем на четное число 2
n
равных малых сегментов длины
2
/ a
a
b
h
Пусть
1 2
3 2
1
,
,
,
,
n
x
x
x
x

— точки деления. Рассмотрим малые сегменты длины
2 0
,
:
/
x
x
n
a
b
,
4 2
, x
x
,
n
n
x
x
2 2
2
,
,

;
,
2
b
x
a
x
n
серединами этих сегментов являются соответственно точки
,
,
,
,
1 2
3 2
1
n
x
x
x
x

Разобьем интеграл
b
a
dx
x
f
на сумму нескольких интегралов:
b
a
x
x
x
x
x
x
n
n
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
2 0
4 2
2 1
2

4
Применим к каждому из интегралов правой части равенства
4
формулу '
3
:

12
n
n
a
x
x
n
n
n
x
x
x
x
y
y
y
n
a
b
dx
x
f
y
y
y
n
a
b
dx
x
f
y
y
y
n
a
b
dx
x
f
2 2
2 4
2 0
,
4 6
;
4 6
;
4 6
2 1
2 2
2 4
3 2
2 1
0 5
где
,
i
i
x
f
y
2
,
,
2
,
1
,
0
n
i

Складывая правые и левые части соотношений
5
, получим
b
a
n
n
y
y
y
y
y
n
a
b
dx
x
f
2 2
4 2
2 0
2 6

4 1
2 3
1
n
y
y
y

6
Эта формула носит название формулы параболических трапеций,
или формулы Симпсона *.
При вычислении интеграла методом Симпсона поступают так же, как и в методе трапеций:
1) вычисляют значения интеграла
n
I
2
и
n
I
4
при числе точек деления
n
2
и
n
4
;
2) сравнивают результаты вычислений и оставляют все первые совпадающие знаки.
Пример.
Вычислить с помощью формулы
Симпсона
6
,
1 0
2
sin
dx
x
при
4 2n
и
8 2n
Решение. Составим таблицу для
4 2n
и
4
,
0 4
/
0 6
,
1 2
/ n
a
b
h

13
i
i
x
2
i
x
2
sin
i
i
x
y
0 о
0,00 0,0000 1
0,4 0,16 0,1593 2
0,8 0,64 0,5972 3
1,2 1.44 0,9915 4
1,6 2.56 0,5487
По формуле
6
получим
6
,
1 0
2 3
1 4
0 2
2 6
sin
y
y
y
y
y
n
a
b
dx
x
8462
,
0 5972
,
0 2
9915
,
0 1593
,
0 4
5478
,
0 0
12 0
6
,
1
При
8 2n
и
2
,
0 8
/
0 6
,
1 2
/ n
a
b
h
, пользуясь таблицей , находим
6 4
2 7
5 3
1 8
0 2
2 4
6
sin
y
y
y
y
y
y
y
y
y
n
a
b
dx
x
9249
,
0 8415
,
0 3523
,
0 0400
,
0 4
5487
,
0 0
24 0
6
,
1 8455
,
0 9915
,
0 5972
,
0 1593
,
0 2
Сравнивая результаты обоих вычислений, замечаем, что после округления совпадают первые три знака. Поэтому за приближенное значение интеграла принимаем
6
,
1 0
2 846
,
0
sin
dx
x
. Напомним, что табличное значение данного интеграла с точностью до 0,00001 равно
0,84528.

14
Замечание. При одном и том же числе точек деления сегмента интегрирования метод Симпсона дает обычно более точный результат, чем метод трапеций. Можно показать, что погрешность в методе трапеций обратно пропорциональна квадрату числа точек деления, а в методе Симпсона — обратно пропорциональна четвертой степени числа точек деления.
2.Лабораторная работа
Вычислить указанные определенные интегралы одним из следующих методов: а) методом прямоугольников, б) методом трапеции, в) методом Симпсона.
Вариант 1 4
5 5
,
3 2
2
x
x
dx
Вариант 5 1
4 1
2
x
x
Вариант 2 1
1 0
8 3
x
dx
x
Вариант 6 2
0 3
1
dx
x
Вариант 3 2
3 1
0 2
x
x
xdx
Вариант 7 2
0 5
1
dx
x
Вариант 4 4
2 0
2
x
dx
Вариант 8 1
5
,
0 0
4
x
dx