Файл: Практическая работа 4 Принятие решений в условиях неопределенности. Игры с природой Цель работы освоить и закрепить практические навыки по принятию и обоснованию управленческих решений в условиях недостатка информации,.pdf

Практическая работа №4 Принятие решений в условиях неопределенности. Игры с природой Цель работы освоить и закрепить практические навыки по принятию и обоснованию управленческих решений в условиях недостатка информации, когда один из игроков не имеет конкретной цели и случайным образом выбирает очередные «ходы».
Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игрок 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели, таки случайным образом выбирающий очередные ходы по игре. Поэтому термин природа характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально. Матрица игры с природой А=||а ij
||, где а ij
– выигрыш (потеря) игрока 1 при реализации его чистой стратегии i и чистой стратегии j игрока 2 (i=1, …,m; j=1,…,n).
Мажорирование стратегий в игре с природой имеет определенную специфику исключать из рассмотрения можно лишь доминируемые стратегии игрока 1: если для всех g=1,…,n a kj
≤ a lj
, k, l=1,…,m, тою стратегию принимающего решения игрока 1 можно не рассматривать и вычеркнуть из матрицы игры. Столбцы, отвечающие стратегиям природы, вычеркивать из матрицы игры (исключать из рассмотрения) недопустимо, поскольку природа не стремится к выигрышу в игре с человеком, она действует неосознанно. Рассмотрим организацию и аналитическое представление игры с природой. Пусть игрок 1 имеет m возможных стратегий А1,А2, …, А, ау природы имеется n возможных состояний (стратегий П, П, П, тогда условия игры с природой задаются матрицей А выигрышей (потерь) игрока 1: Возможен и другой способ задания матрицы игры с природой не в виде матрицы выигрышей (потерь, а в виде так называемой матрицы рисков R=||r Величина риска – это размер платы за отсутствие информации о состоянии среды. Матрица R может быть построена непосредственно из условий задачи или на основе матрицы выигрышей (потерь) А.

Риск – это разность между результатом, который игрок мог бы получить, если бы он знал действительное состоянием среды, и результатом, который игрок получит при й стратегии. Зная состояние природы (стратегию) П, игрок выбирает ту стратегию, при которой его выигрыш максимальный или потеря минимальна, те. r
ij
=

j
–a ij
, где

j
=max a ij
, при заданном j; 1≤i≤m, если а ij
– выигрыш. r
ij
=a ij
–

j
, где

j
=min a ij
, при заданном j; 1≤i≤m, если а ij
– потери (затраты. Неопределенность, связанную с полным отсутствием информации о вероятностях состояний среды (природы, называют безнадежной. В таких случаях для определения наилучших решений используются следующие критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Критерий Вальда С позиций данного критерия природа рассматривается как агрессивно настроенный и сознательно действующий противник. Если в исходной матрице по условию задачи результат a ij представляет выигрыш лица, принимающего решение, то выбирается решение, для которого достигается значение W=max min a ij
, 1≤i≤m, 1≤j≤n – максиминный критерий. Если в исходной матрице по условию задачи результат a ij представляет потери лица, принимающего решение, то выбирается решение, для которого достигается значение W=min max a ij
, 1≤i≤m, 1≤j≤n – минимаксный критерий. В соответствии с критерием Вальда из всех самых неудачных результатов выбирается лучший. Это перестраховочная позиция крайнего пессимизма, рассчитанная на худший случай. Критерий минимаксного риска Сэвиджа Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда стем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей А, а матрицей рисков R:
S=min max r ij
, 1≤i≤m, 1≤j≤n. Применение критерия Сэвиджа позволяет любыми путями избежать большого риска при выборе стратегии, а значит избежать большего проигрыша потерь. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом, характеризующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом. Критерий основан наследующих двух предположениях природа может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (р) ив самом выгодном состоянии с вероятностью р, где р – коэффициент пессимизма.
Согласно этому критерию стратегия в матрице А выбирается в соответствии со значением
H
A
=max{p max a ij
+(1-p) min a ij
}, 1≤i≤m, 1≤j≤n, если a ij
– выигрыш.
H
A
=min{p min a ij
+(1-p) max a ij
}, 1≤i≤m, 1≤j≤n, если a ij
– потери (затраты.

При p=0 критерий Гурвица совпадает с критерием Вальда. При p=1 приходим к решающему правилу вида max max a ij
, к так называемой стратегии здорового оптимизма, критерий максимакса. Применительно к матрице рисков R критерий пессимизма-оптимизма
Гурвица имеет вид
H
R
=min{p max r ij
+(1-p) min r ij
}, 1≤i≤m, 1≤j≤n. При р выбор стратегии игрока 1 осуществляется по условию наименьшего из всех возможных рисков (min r ij
); при р – по критерию минимаксного риска
Сэвиджа. Значение рот до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности р представляет наиболее разумный вариант. В случае, когда по принятому критерию рекомендуются к использованию несколько стратегий, выбор между ними может делаться по дополнительному критерию. Здесь нет стандартного подхода. Выбор может зависеть от склонности к риску игрока 1. Рассмотрим пример. Транспортное предприятие должно определить уровень своих производственных возможностей так, чтобы удовлетворить спрос клиентов на транспортные услуги на планируемый период. Спрос на транспортные услуги неизвестен, но прогнозируется, что он может принять одно из четырех значений
10, 15, 20 или 25 тыс. т. Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень провозных возможностей транспортного предприятия. Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения провозных возможностей над спросом (из-за простоя подвижного состава, либо из-за неполного удовлетворения спроса на транспортные услуги. Возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных возможностей представлены в таблице. Необходимо выбрать оптимальную стратегию, используя критерии Вальда,
Сэвиджа, Гурвица. Решение. Имеются четыре варианта спроса на транспортные услуги, что равнозначно наличию четырех состояний природы П, П, П, П. Известны также четыре стратегии развития провозных возможностей транспортного предприятия А, А,

А, А. Затраты на развитие провозных возможностей при каждой паре Пи А заданы следующей матрицей Построим матрицу рисков. В данном примере a ij представляет затраты, те. потери, значит для построения матрицы рисков используется принцип r
ij
=aij–

j
, где

j
=min a Для П

j
=6. Для П

j
=7. Для П

j
=9. Для П

j
=15. Матрица рисков имеет следующий вид Критерий Вальда Так как в данном примере a ij представляет затраты, те. потери, то применяется минимаксный критерий. Для А max a ij
=24. Для А max a ij
=28. Для А max a ij
=23. Для А max a ij
=27.
W=min max a ij
=23, следовательно, наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с минимаксным критерием Вальда будет третья стратегия (А. Критерий минимаксного риска Сэвиджа Для А max r ij
=11. Для А max r ij
=13. Для А max r ij
=17. Для А max r ij
=21.
S=min max r ij
=11, следовательно, наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с критерием Сэвиджа будет первая стратегия (А. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица Положим значение коэффициента пессимизма р. Так как в данном примере a ij представляет затраты (потери, то применятся критерий

H
A
=min {p min a ij
+ (1-p) max a ij
}. Оптимальное решение заключается в выборе стратегии А. Рассчитаем оптимальную стратегию применительно к матрице рисков
H
R
=min {p max r ij
+ (1-p) min r ij
}. Оптимальное решение заключается в выборе стратегии А. Вывод в примере предстоит сделать выбор, какое из возможных решений предпочтительнее по критерию Вальда – выбор стратегии А по критерию Сэвиджа – выбор стратегии А по критерию Гурвица – выбор стратегии А. Задания для самостоятельного решения. Вариант задания определяется в соответствии с номером в списке группы. Решите задачу согласно вашему варианту, используя описанные критерии. Вариант 1 Найти наилучшие стратегии по критериям Вальда, Сэвиджа (коэффициент пессимизма равен 0,2), Гурвица применительно к матрице рисков (коэффициент пессимизма равен 0,4) для следующей платежной матрицы игры с природой элементы матрицы – выигрыши


















6 3
1 7
9 9
2 0
10 1
3 1
1 8
4 5
5 7
4 7
8 6
3 5

Вариант 2 Дана матрица игры с природой в условиях полной неопределенности элементы матрицы – выигрыши





















2 2
4 6
5 1
6 12 4
0 6
10 8
3 1
0 7
4 Требуется проанализировать оптимальные стратегии игрока, используя критерии пессимизма-оптимизма Гурвица применительно к платежной матрице Аи матрице рисков R при коэффициенте пессимизма р 0,5; 1. При этом выделить критерии максимакса Вальда и Сэвиджа. Вариант 3 Дана следующая матрица выигрышей 0
3 12 20 8
4 5
2 21 15 6
0 3
3 1
7 9
15 2
2 20 18 3
1 12 15 1
6 5
4 3
2 1
А
А
А
А
П
П
П
П
П
П
А
Определите оптимальную стратегию, используя критерии Вальда, Сэвиджа и
Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,4). Вариант 4 Один из пяти станков должен быть выбран для изготовления партии изделий, размер которой Q может принимать три значения 150, 200, 350. Производственные затраты С для I станка задаются следующей формулой
C
i
= P
i
+ c i
* Q. Данные P
i и c i
приведены в таблице Решите задачу для каждого из следующих критериев Вальда, Сэвиджа,
Гурвица (критерий пессимизма равен 0,6). Полученные решения сравните. Вариант 5 При выборе стратегии A
j по каждому возможному состоянию природы S
i соответствует один результат V
ij
. Элементы V
ij
, являющиеся мерой потерь при принятии решения, приведены в таблице

Выберите оптимальное решение в соответствии с критериями Вальда,
Сэвиджа, Гурвица (при коэффициенте пессимизма, равном 0,5). Вариант 6 Намечается крупномасштабное производство легковых автомобилей. Имеются четыре варианта проекта автомобиля R
j
. Определена экономическая эффективность V
ji каждого проекта в зависимости от рентабельности производства. По истечении трех сроков S
i рассматриваются как некоторые состояния среды (природы. Значения экономической эффективности для различных проектов и состояний природы приведены в следующей таблице Требуется выбрать лучший проект легкового автомобиля для производства, используя критерий Вальда, Сэвиджа, Гурвица при коэффициенте пессимизма 0,1. Сравнить решения и сделать выводы. Вариант 7 Определите тип электростанции, которую необходимо построить для удовлетворения энергетических потребностей комплекса крупных промышленных предприятий. Множество возможных стратегий в задаче включает следующие параметры
R1 – сооружается гидростанция
R2 – сооружается теплостанция;
R3 – сооружается атомная станция. Экономическая эффективность сооружения электростанции зависит от влияния случайных факторов, образующих множество состояний природы Si. Результаты расчета экономической эффективности приведены в следующей таблице

Вариант 8 Фирма рассматривает вопрос о строительстве станции технического обслуживания (СТО) автомобилей. Составлена смета расходов на строительство станции с различным количеством обслуживаемых автомобилей, а также рассчитан ожидаемый доход в зависимости от удовлетворения прогнозируемого спроса на предлагаемые услуги СТО (прогнозируемое количество обслуженных автомобилей в действительности. В зависимости от принятого решения – проектного количества обслуживаемых автомобилей в сутки (проект СТО) R
j и величины прогнозируемого спроса на услуги СТО – построена таблица ежегодных финансовых результатов (доход де Определите наилучший проект СТО с использованием критериев Вальда,
Сэвиджа, Гурвица при коэффициенте пессимизма 0,5. Вариант 9 Магазин может завести один из трех типов товара А их реализация и прибыль магазина зависят от типа товара и состояния спроса. Предполагается, что спрос может иметь три состояния В. Гарантированная прибыль представлена в матрице прибыли Определить, какой товар закупать магазину.

Вариант 10 Дана следующая матрица выигрышей Определите оптимальную стратегию, используя критерии Вальда, Сэвиджа и
Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,6). Вариант 11 При выборе стратегии Aj по каждому возможному состоянию природы Si соответствует один результат Vij. Элементы Vij, являющиеся мерой потерь при принятии решения, приведены в таблице Выберите оптимальное решение в соответствии с критериями Вальда,
Сэвиджа, Гурвица (при коэффициенте пессимизма, равном Вариант 12 Компания выбирает, какой вид продукции целесообразно производить. Имеются четыре вида продукции А. Определена прибыль от производства каждого вида продукции в зависимости от состояний экономической среды В. Значения прибыли для различных видов продукции и состояний природы приведены в следующей таблице

Требуется выбрать лучший проект легкового автомобиля для производства, используя критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица при коэффициенте пессимизма 0,4. Сравнить решения и сделать выводы. Вариант 13 Найти наилучшие стратегии по критериям Вальда, Сэвиджа (коэффициент пессимизма равен 0,3), Гурвица применительно к матрице рисков (коэффициент пессимизма равен 0,2) для следующей платежной матрицы игры с природой элементы матрицы – выигрыши


















6 3
1 7
13 9
0 4
9 1
2 1
12 9
8 4
11 8
10 8
7 5
3 Вариант 14 Дана матрица игры с природой в условиях полной неопределенности элементы матрицы – выигрыши





















2 10 2
5 3
4 8
7 12 1
7 9
1 2
5 6
8 7
3 Требуется проанализировать оптимальные стратегии игрока, используя критерии пессимизма-оптимизма Гурвица применительно к платежной матрице Аи матрице рисков R при коэффициенте пессимизма р = 0; 0,5; 1. При этом выделить критерии максимакса Вальда и Сэвиджа. Вариант 15 Дана следующая матрица выигрышей 0
3 12 16 9
4 15 2
23 16 0
8 3
4 2
6 8
13 3
2 17 20 3
1 14 9
1 6
5 4
3 2
1
А
А
А
А
П
П
П
П
П
П
А
Определите оптимальную стратегию, используя критерии Вальда, Сэвиджа и
Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,5).

Вариант 16 Один из пяти станков должен быть выбран для изготовления партии изделий, размер которой Q может принимать три значения 140, 210, 280. Производственные затраты С для I станка задаются следующей формулой
C
i
= P
i
+ c i
* Q. Данные P
i и c i
приведены в таблице Показатели Модель станка
1 2
3 4
5 Р
20 75 45 155 95 c
i
15 7
11 6
5 Решите задачу для каждого из следующих критериев Вальда, Сэвиджа,
Гурвица (критерий пессимизма равен 0,4). Полученные решения сравните. Вариант 17 Найти наилучшие стратегии по критериям Вальда, Сэвиджа (коэффициент пессимизма равен 0,5), Гурвица применительно к матрице рисков (коэффициент пессимизма равен 0,4) для следующей платежной матрицы игры с природой элементы матрицы – выигрыши
































5 0
11 14 8
5 9
11 9
8 10 5
0 3
3 25 18 15 0
10 14 0
10 5
11 14 9
8 9
8 0
1 3
22 5
5 21 19 12 17 8
13 12 2
4 0
1 3
7 20 15 9
5 2
4 Вариант 18 При выборе стратегии Aj по каждому возможному состоянию природы Si соответствует один результат Vij. Элементы Vij, являющиеся мерой потерь при принятии решения, приведены в таблице Стратегии Состояние природы
S1
S2
S3
S4 А 21 18 14 16 А 12 11 23 22 А 25 19 17 29

Выберите оптимальное решение в соответствии с критериями Вальда,
Сэвиджа, Гурвица (при коэффициенте пессимизма, равном 0,4). Вариант 19 Один из пяти станков должен быть выбран для изготовления партии изделий, размер которой Q может принимать три значения 125, 226, 274. Производственные затраты С для I станка задаются следующей формулой
C
i
= P
i
+ c i
* Q. Данные P
i и c i
приведены в таблице Показатели Модель станка
1 2
3 4
5 Р
19 69 40 148 90 c
i
11 18 17 5
2 Решите задачу для каждого из следующих критериев Вальда, Сэвиджа,
Гурвица (критерий пессимизма равен 0,5). Полученные решения сравните. Вариант 20 Найти наилучшие стратегии по критериям Вальда, Сэвиджа (коэффициент пессимизма равен 0,4), Гурвица применительно к матрице рисков (коэффициент пессимизма равен 0,3) для следующей платежной матрицы игры с природой элементы матрицы – выигрыши






















13 7
3 15 20 7
5 0
1 4
6 17 1
19 14 5
0 12 9
10 11 4
3 16 15 13 1
9 7
6 0
16 12 6
4 Вариант 21 Магазин может завести один из трех типов товара А их реализация и прибыль магазина зависят от типа товара и состояния спроса. Предполагается, что спрос может иметь четыре состояния В. Гарантированная прибыль представлена в матрице прибыли Тип товара Спрос В В В В А 22 16 11 13 А 15 8
12 14 А 10 19 18 11

Определить, какой товар закупать магазину. Вариант 22 Дана следующая матрица выигрышей 0
4 13 17 10 4
16 3
24 17 1
9 3
5 3
7 9
14 4
2 18 21 4
2 15 10 1
6 5
4 3
2 1
А
А
А
А
П
П
П
П
П
П
А
Определите оптимальную стратегию, используя критерии Вальда, Сэвиджа и
Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,3). Вариант 23 Компания выбирает, какой вид продукции целесообразно производить. Имеются четыре вида продукции А. Определена прибыль от производства каждого вида продукции в зависимости от состояний экономической среды В. Значения прибыли для различных видов продукции и состояний природы приведены в следующей таблице Вид продукции Состояние экономической среды В В В В А 41 50 48 30 А 58 46 80 70 А 45 33 76 29 А 37 67 71 54 Требуется выбрать лучший проект легкового автомобиля для производства, используя критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица при коэффициенте пессимизма 0,3. Сравнить решения и сделать выводы. Вариант 24 Найти наилучшие стратегии по критериям Вальда, Сэвиджа (коэффициент пессимизма равен 0,4), Гурвица применительно к матрице рисков (коэффициент пессимизма равен 0,5) для следующей платежной матрицы игры с природой элементы матрицы – выигрыши



































2 1
11 14 8
5 10 11 9
8 10 4
0 3
3 25 18 15 0
10 14 0
10 5
11 15 9
8 9
8 0
1 3
22 5
5 21 19 12 17 8
13 12 2
4 0
1 2
11 22 15 9
5 2
4 Вариант 25 Один из пяти станков должен быть выбран для изготовления партии изделий, размер которой Q может принимать три значения 121, 199, 220. Производственные затраты С для I станка задаются следующей формулой
C
i
= P
i
+ c i
* Q. Данные P
i и c i
приведены в таблице Показатели Модель станка
1 2
3 4
5 Р
18 71 42 99 101 c
i
12 9
10 6
4 Решите задачу для каждого из следующих критериев Вальда, Сэвиджа,
Гурвица (критерий пессимизма равен 0,4). Полученные решения сравните. Вариант 26 Определите тип электростанции, которую необходимо построить для удовлетворения энергетических потребностей комплекса крупных промышленных предприятий. Множество возможных стратегий в задаче включает следующие параметры
R1 – сооружается гидростанция
R2 – сооружается теплостанция;
R3 – сооружается атомная станция. Экономическая эффективность сооружения электростанции зависит от влияния случайных факторов, образующих множество состояний природы Si. Результаты расчета экономической эффективности приведены в следующей таблице Тип станции Состояние природы
S1
S2
S3
S4
S5
R1 42 73 33 24 44
R2 59 48 29 34 55
R3 52 36 41 38 61

Вариант 27 Дана матрица игры с природой в условиях полной неопределенности элементы матрицы – выигрыши





















2 14 3
6 1
3 13 4
2 0
8 12 9
3 7
1 10 8
4 Требуется проанализировать оптимальные стратегии игрока, используя критерии пессимизма-оптимизма Гурвица применительно к платежной матрице Аи матрице рисков R при коэффициенте пессимизма р = 0; 0,5; 1. При этом выделить критерии максимакса Вальда и Сэвиджа. Вариант 28 Дана следующая матрица выигрышей 1
3 14 13 11 4
19 2
21 16 0
8 3
7 4
8 10 15 6
2 17 19 5
3 14 12 1
6 5
4 3
2 1
А
А
А
А
П
П
П
П
П
П
А
Определите оптимальную стратегию, используя критерии Вальда, Сэвиджа и
Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,4).