Добавлен: 26.10.2023
Просмотров: 546
Скачиваний: 9
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:
*Треугольник Серпинского. В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект. Для его построения берется сплошной равносторонний треугольник. На первом шаге из центра удаляется перевернутый равносторонний треугольник. На втором шаге удаляется три перевернутых треугольника из трех оставшихся треугольников и т.д*Кривая Дракона.Изобретена итальянским математиком Джузеппе Пеано. Для его построения возьмем отрезок. Повернем его на 90 градусов вокруг одной из вершин и добавим полученный отрезок к исходному. Получим уголок из двух отрезков. Повторим описанную процедуру. Повернем уголок на 90 градусов вокруг вершины и добавим полученную ломаную к исходной.Повторяя названные действия и уменьшая ломаные, будем получать все более сложные линии, напоминающие фигуру дракона.
*Ковер Серпинского. Берется квадрат, разбивается на девять равных квадратов, средний из которых выбрасывается, а с остальными повторяется та же операция до бесконечности.
С течением времени стремится к бесконечности.
Стремится к 0
Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.
Поведение хаотично, без каких либо тенденций.
Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике - множеству Мандельброта.
Для его построения нам необходимы комплексные числа. Комплексное число - это число, состоящее из двух частей - действительной и мнимой, и обозначается оно a+bi. Действительная часть a это обычное число в нашем представлении, а вот мнимая часть bi интересней. i - называют мнимой единицей. Почему мнимой? А потому, что если мы возведем i в квадрат, то получим -1. Примеры алгебраических фракталов: множество Мандельброта; множество Жюлиа; бассейны Ньютона; биоморфы.*Множество Мандельброта. Множества Мандельброта наиболее распространенный среди алгебраических фракталов. Его можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круговыми областями.*Множество Жюлиа.Множество Жюлиа было изобретено французским математиком Гастоном Жулиа. Не менее известный алгебраический фрактал.*Бассейны Ньютона. Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости (для функции действительной переменной метод Ньютона часто называют методом касательных, который, в данном случае, обобщается для комплексной плоскости).
*Биоморфы.(от греч. bios - жизнь и morphe - форма), феноиды (Negri, 1954) - жизненные формы, определяемые систематическим положением видов, их формами роста и биологическими ритмами. К особым группам биоморф относятся, например, лишайники, мхи, хвощи, плауны, папоротники. Основными биоморфами среди высших растений являются деревья,кустарники, кустарнички, полукустарники и полукустарнички, полутравы и травы.
систем итерируемых функций к изображениям. (Системы итерируемых функций или просто СИФ - представляет собой систему функций из некоторого фиксированного класса функций, отображающих одно многомерное множество на другое.) Данный алгоритм известен тем, что в некоторых случаях позволяет получить очень высокие коэффициенты сжатия (лучшие примеры — до 1000 раз (при приемлемом визуальном качестве) для реальных фотографий природных объектов, что недоступно для других алгоритмов сжатия изображений в принципе. Самые известные изображения, полученные с использованием СИФ – это Папоротник Барнсли (приложение 5) и Треугольник Серпинского(приложение 3). В настоящее время исследования в этой области продолжаются. Цель- как за меньшее время архивации получить качественное архивируемое изображение.Фракталы в медицине. Человеческий организм состоит из множества фракталоподобных органов. Это прежде всего бронхи, легкие, кровеносные сосуды, мышцы.(приложение 5). Так, кровеносные сосуды, многократно делясь и разветвляясь, пронизывая все органы, отражают свою фрактальную природу и имеют общую длину около 100 тыс. км. В первую очередь, фрактальные алгоритмы стали использовать при изучении электрокардиограмм, потому что электрическая активность сердца может быть описана как фрактальный процесс. Легкие имеют пористую структуру, уникальную тем, что их огромная площадь размещена в очень маленьком пространстве: в среднем общая площадь внутренней поверхности альвеол в моменты выдоха и вдоха изменяется от 40 до 120 м2, само же количество альвеол у взрослого человека достигает порядка 700 млн. Точное описание структуры легких возможно с помощью фрактального изображения. В настоящее время также ведутся медицинские исследования фрактальной структуры остеопороза- дегенеративного заболевания костной ткани. Возможно, это позволит прервать развитие болезни на начальном этапе. Исследования ведутся и в области рентгеновских изображений, в электрогастроэнтерографии, в офтальмологии и т.д.Фракталы в музыкепоявились при помощи компьютера. Каждой точке и цвету множества дается определенное музыкальное значения- так создаются мелодии различных множеств.Фракталы в радиоэлектронике, точнее говоря в конструкции антенн. Радиолюбитель Натан Коэн после посещения лекций Б. Мандельброта стал экспериментировать с формами и размерами антенн, чтобы получить антенну с высокой чувствительностью при маленьких размерах. Опытным путем из обычной проволоки он создал антенну в форме кривой Коха, которая смогла покрывать широкий диапазон частот и была существенно меньше классической антенны. Коэн запатентовал изобретение и основал фирму по изготовлению фрактальных антенн. Технологии фрактальных антенн в настоящее время используются в сотовых телефонах.
-
геометрические фракталы; -
алгебраические фракталы; -
системы итерируемых функций; -
стохастические фракталы.
-
Геометрические фракталы
*Треугольник Серпинского. В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект. Для его построения берется сплошной равносторонний треугольник. На первом шаге из центра удаляется перевернутый равносторонний треугольник. На втором шаге удаляется три перевернутых треугольника из трех оставшихся треугольников и т.д*Кривая Дракона.Изобретена итальянским математиком Джузеппе Пеано. Для его построения возьмем отрезок. Повернем его на 90 градусов вокруг одной из вершин и добавим полученный отрезок к исходному. Получим уголок из двух отрезков. Повторим описанную процедуру. Повернем уголок на 90 градусов вокруг вершины и добавим полученную ломаную к исходной.Повторяя названные действия и уменьшая ломаные, будем получать все более сложные линии, напоминающие фигуру дракона.
*Ковер Серпинского. Берется квадрат, разбивается на девять равных квадратов, средний из которых выбрасывается, а с остальными повторяется та же операция до бесконечности.-
Алгебраические фракталы
С течением времени стремится к бесконечности.
Стремится к 0
Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.
Поведение хаотично, без каких либо тенденций.
Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике - множеству Мандельброта.
Для его построения нам необходимы комплексные числа. Комплексное число - это число, состоящее из двух частей - действительной и мнимой, и обозначается оно a+bi. Действительная часть a это обычное число в нашем представлении, а вот мнимая часть bi интересней. i - называют мнимой единицей. Почему мнимой? А потому, что если мы возведем i в квадрат, то получим -1. Примеры алгебраических фракталов: множество Мандельброта; множество Жюлиа; бассейны Ньютона; биоморфы.*Множество Мандельброта. Множества Мандельброта наиболее распространенный среди алгебраических фракталов. Его можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круговыми областями.*Множество Жюлиа.Множество Жюлиа было изобретено французским математиком Гастоном Жулиа. Не менее известный алгебраический фрактал.*Бассейны Ньютона. Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости (для функции действительной переменной метод Ньютона часто называют методом касательных, который, в данном случае, обобщается для комплексной плоскости).
*Биоморфы.(от греч. bios - жизнь и morphe - форма), феноиды (Negri, 1954) - жизненные формы, определяемые систематическим положением видов, их формами роста и биологическими ритмами. К особым группам биоморф относятся, например, лишайники, мхи, хвощи, плауны, папоротники. Основными биоморфами среди высших растений являются деревья,кустарники, кустарнички, полукустарники и полукустарнички, полутравы и травы.
-
Стохастические фракталы
систем итерируемых функций к изображениям. (Системы итерируемых функций или просто СИФ - представляет собой систему функций из некоторого фиксированного класса функций, отображающих одно многомерное множество на другое.) Данный алгоритм известен тем, что в некоторых случаях позволяет получить очень высокие коэффициенты сжатия (лучшие примеры — до 1000 раз (при приемлемом визуальном качестве) для реальных фотографий природных объектов, что недоступно для других алгоритмов сжатия изображений в принципе. Самые известные изображения, полученные с использованием СИФ – это Папоротник Барнсли (приложение 5) и Треугольник Серпинского(приложение 3). В настоящее время исследования в этой области продолжаются. Цель- как за меньшее время архивации получить качественное архивируемое изображение.Фракталы в медицине. Человеческий организм состоит из множества фракталоподобных органов. Это прежде всего бронхи, легкие, кровеносные сосуды, мышцы.(приложение 5). Так, кровеносные сосуды, многократно делясь и разветвляясь, пронизывая все органы, отражают свою фрактальную природу и имеют общую длину около 100 тыс. км. В первую очередь, фрактальные алгоритмы стали использовать при изучении электрокардиограмм, потому что электрическая активность сердца может быть описана как фрактальный процесс. Легкие имеют пористую структуру, уникальную тем, что их огромная площадь размещена в очень маленьком пространстве: в среднем общая площадь внутренней поверхности альвеол в моменты выдоха и вдоха изменяется от 40 до 120 м2, само же количество альвеол у взрослого человека достигает порядка 700 млн. Точное описание структуры легких возможно с помощью фрактального изображения. В настоящее время также ведутся медицинские исследования фрактальной структуры остеопороза- дегенеративного заболевания костной ткани. Возможно, это позволит прервать развитие болезни на начальном этапе. Исследования ведутся и в области рентгеновских изображений, в электрогастроэнтерографии, в офтальмологии и т.д.Фракталы в музыкепоявились при помощи компьютера. Каждой точке и цвету множества дается определенное музыкальное значения- так создаются мелодии различных множеств.Фракталы в радиоэлектронике, точнее говоря в конструкции антенн. Радиолюбитель Натан Коэн после посещения лекций Б. Мандельброта стал экспериментировать с формами и размерами антенн, чтобы получить антенну с высокой чувствительностью при маленьких размерах. Опытным путем из обычной проволоки он создал антенну в форме кривой Коха, которая смогла покрывать широкий диапазон частот и была существенно меньше классической антенны. Коэн запатентовал изобретение и основал фирму по изготовлению фрактальных антенн. Технологии фрактальных антенн в настоящее время используются в сотовых телефонах.