Файл: Учебное пособие ульяновск 2018 msc2010 05 Combinatorics ббк 22. 176 Удк 519. 1 В313 Рецензенты.pdf

114
таковых же операторов на L (V ) и U (L (V )). При этом опе- ратор U (L (Φ)) будет сохранять стандартную фильтрацию универсальной об¨
ертывающей алгебры и, следовательно, Φ
определяет сохраняющий X(H)–градуировку оператор на ал- гебре gr (U (L (V ))) ∼
= S (L (V )). Поскольку весовое разложе- ние, по существу, использует лишь k–линейную структуру объектов, оно не замечает функтора gr на U (L (V )):
Ω
T (V )
∼
= Ω
U (L (V ))
' Ω
gr (U (L (V )))
∼
= Ω
S (L (V ))
Более того, для целых n ≥ 0 есть изоморфизмы:
T (Φ) · Ω
n
T (V )
∼
= U (L (Φ)) · Ω
n
U (L (V ))
' S (L (Φ)) · Ω
n
S (L (V ))
Теперь можно связать операторы на T (V ), L (V ) и V :
tr (T (Φ) · Ω
n
T (V )
) = tr (T (Φ · Ω
n
V
)) = 1 − tr (Φ · Ω
n
V
)

−1
=
= tr (U (L (Φ)) · Ω
n
U (L (V ))
) = tr (S (L (Φ)) · Ω
n
S (L (V ))
) =
= tr (S (L (Φ) · Ω
n
L (V )
)) = det ( id
L(V )
− L (Φ)· Ω
n
L (V )
)

−1
Свед¨
ем формулы, связывающие комбинаторные свойства пространств V , T (V ) и L (V ):
8.16. Лемма. В предыдущих условиях и нулевой характе- ристике поля k имеем равенства:
1)
tr (Φ · Ω
n
V
) = 1 − tr (T (Φ) · Ω
n
T (V )
)

−1
;
2)
tr (T (Φ) · Ω
n
T (V )
) = 1 − tr (Φ · Ω
n
V
)

−1
;
3)
tr (T (Φ) · Ω
n
T (V )
) = det ( id
L (V )
− L (Φ) · Ω
n
L (V )
)

−1
=

115
= exp

− ln det ( id
L (V )
− L (Φ) · Ω
n
L (V )
)


=
= exp
X
j > 0
tr (L (Φ)
j
· Ω
nj
L (V )
)
j

;
4) tr (L (Φ) · Ω
n
L (V )
) =
X
j > 0
µ(j) · ln tr (T (Φ)
j
· Ω
nj
T (V )
)
j ;
5)
tr (Φ · Ω
n
V
) = 1 − det ( id
L (V )
− L (Φ) · Ω
n
L (V )
) ;
6) tr (L (Φ)·Ω
n
L (V )
) = −
X
j > 0
µ(j)·ln 1−tr (Φ
j
·Ω
nj
V
)
j =
=
X
j > 0
µ(j) ·
X
i > 0
tr (Φ
j
· Ω
nj
V
)

i
ij .
Доказательство. Первые два равенства доказаны в части об инвариантах свободных ассоциативных алгебр; третье – перед текущим предложением; четв¨
ертое получается из третьего по формуле обращения М¨ебиуса; пятое и шестое – аналогично предыдущим.
8.17. Следствие. Пусть G действует на V сохраняя абелеву
X(H)–градуировку, тогда G действует на L (V ) и ряд Гиль- берта алгебры Ли L (V )
G
зада¨ется выражениями:
H
L (V )
G
= |G|
−1
·
X
g ∈ G
H
L (V )
L (g)
=
= |G|
−1
·
X
g ∈ G
X
j > 0
µ(j) · ln tr (T (g)
j
· Ω
j
T (V )
)
j =
= −|G|
−1
·
X
g ∈ G
X
j > 0
µ(j) · ln 1 − tr (g j
· Ω
j
V
)
j =
= |G|
−1
·
X
g ∈ G
X
i, j > 0
µ(j) · tr (g j
· Ω
j
V
)

i
ij =

116
= ln
Y
g ∈ G
Y
j > 0 1 − tr (g j
· Ω
j
V
)

−µ(j)/|G|j

В частности, для G = {e} получаем:
exp H
L ( V )
=
Y
j > 0 1 − tr(Ω
j
V
)

−µ(j)/j
Если V = ⊕
m ≥ 1
V
m
, то следует равенство:
H
L (V )
(t) = ln
Y
j > 0 1 − H
V
(t j
)

−µ(j)/j

=
X
i, j > 0
µ(j)
ij
·H
i
V
(t j
) .
8.18. Замечание. В свободном ассоциативном и лиевом слу- чаях возможно перечисление базисных инвариантов, посколь- ку инвариантные подалгебры являются свободными по тео- ремам В.К. Харченко (1978) и А.И. Ширшова (1953):
H
BT
= 1 −

|G|
−1
·
X
g ∈ G
1 − tr (g · Ω
V
)

−1

−1
;
H
BL
= 1 −
Y
g ∈ G
Y
m > 0
Y
j \ m
1 − tr (g j
· Ω
m
V
)

µ(j)/|G|m
И при этом базисные инварианты свободных (анти)комму- тативных алгебр представляются более загадочными, хотя в каждом конкретном случае перечисляются без труда.
В заключительной части главы мы изучим циклическое строение линейных операторов. Ранее на стр. 109 и 110 (см.
Определение 8.9 и Замечание 8.11) был рассмотрен цикло- вой тип перестановки конечного множества и его линейное проявление, которое мы применим для определения циклово- го типа линейного оператора.

117
Итак, если линейный оператор ϕ действует перестановкой на базисе конечномерного пространства V , тогда для его цик- лового типа (j u
(ϕ) , u ≥ 1) выполняется формула:
det ( id
V
− ϕ · t ) =
Y
u ≥ 1
(1 − t u
)
j u
(ϕ)
( )
8.19. Определение. Зададим цикловой тип любого линей- ного оператора ϕ, действующего на конечномерном простран- стве V , вышезаписанным выражением ( ). В отличие от “пе- рестановочного” случая, цикловой тип (j u
(ϕ) , u ≥ 1) уже не обязан быть финитным – произведение справа может ока- заться существенно бесконечным. При этом у нильпотентного оператора все цикловые показатели j u
(ϕ) нулевые.
Слева в формуле ( ) записана регулярная замена харак- теристического многочлена оператора ϕ , игнорирующая его нулевые собственные значения. Это – полином от t степе- ни не выше dim V с единичным свободным коэффициентом,
представимый поэтому эйлеровым произведением E
−
(t).
8.20. Лемма. Цикловые показатели j u
(ϕ) оператора ϕ ариф- метически связаны со следами его степеней:
tr (ϕ
m
) =
X
u \ m u · j u
(ϕ) , j u
(ϕ) =
1
u
·
X
m \ u
µ

u m

· tr (ϕ
m
) .
Доказательство. Искомые равенства следуют из логариф- мирования определяющего равенства ( ):
det ( id
V
− ϕ · t ) =
Y
u ≥ 1
(1 − t u
)
j u
(ϕ)
ln det ( id
V
− ϕ · t )
= −
X
m ≥ 1
tr (ϕ
m
) · t m
/m ;

118
ln
Y
u ≥ 1
(1 − t u
)
j u
(ϕ)

=
X
u ≥ 1
j u
(ϕ) · ln (1 − t u
) =
= −
X
u ≥ 1
j u
(ϕ) ·
X
v ≥ 1
t uv
/v = −
X
m ≥ 1
t m
m
·
X
u \ m u · j u
(ϕ) .
8.21. Примеры. Пусть сначала V ∼
= R
1
, ϕ = −id
V
. Тогда det ( id
V
− ϕ · t ) = 1 + t = (1 − t)
−1
· (1 − t
2
)
1
Поэтому j
1
(ϕ) = −1, j
2
(ϕ) = 1, j
>2
(ϕ) = 0. В некото- ром смысле оператор ϕ разлагается на один цикл длины 2 и
“минус один” цикл длины 1. Это можно понять следующим образом. Рассмотрим двумерное пространство e
V , порожд¨ен- ное векторами x и y. Пусть линейный оператор e
ϕ действу- ет на н¨
ем перестановкой x и y. Таким образом,
e
ϕ – линеа- ризация цикла длины 2. Но e
V , относительно e
ϕ , распадает- ся на два одномерных инвариантных подпространства V
+
и
V
−
, порожд¨енных векторами x + y и x − y , соответственно.
На первом e
ϕ действует тривиально, т.е., является линеари- зацией цикла единичной длины. На втором e
ϕ = −id, т.е.,
изоморфен ϕ на V ∼
= e
V /V
+
. Заметим также, что формула
( ) мультипликативна относительно расширений. Поэтому равенство “баланса циклов”: 1 · 2 − 1 · 1 = 1 означает точность последовательности пространств с операторами:
0 −→ (V
+
,
e
ϕ ) −→ ( e
V ,
e
ϕ ) −→ (V , ϕ ) −→ 0 .
Теперь зададим оператор ϕ : C
2
→ C
2
матрицей:
ϕ =
0 −1 1
0

∼
i 0 0 −i

;
det ( id
V
− ϕ · t ) = 1 + t
2
= (1 − t
2
)
−1
· (1 − t
4
)
1

119
Баланс циклов: 1 · 4 − 1 · 2 = 2 в этой ситуации также выполняется и означает точность последовательности, ана- логичной предыдущему примеру:
0 −→ (V
0
,
e
ϕ ) −→ ( e
V ,
e
ϕ ) −→ (V , ϕ ) −→ 0 .
Здесь e
V ∼
= C
4
, а оператор e
ϕ действует на e
V циклической перестановкой базисных векторов: x → y → z → w → x .
V
0
– инвариантное подпространство e
V , порожд¨енное x + z и y + w :
e
ϕ действует на них перестановкой. Тогда e
ϕ действует на факторе e
V /V
0
как ϕ на V . Действительно, этот фактор порожд¨
ен x + V
0
и y + V
0
, а действие e
ϕ таково:
e
ϕ (x + V
0
) = y + V
0
;
e
ϕ (y + V
0
) = z + V
0
= −x + V
0
Заметим, что баланс циклов для линеаризации переста- новки конечного множества имеет вид:
X
u ≥ 1
u · j u
(ϕ) = dim V
($)
Примеры 8.21 показали, что такой баланс наблюдается и в более общей ситуации. Однако, он заведомо нарушается для нулевого или нильпотентного оператора.
8.22. Лемма. Пусть невырожденный оператор ϕ действу- ет на конечномерном пространстве V , обладает финитны- ми цикловыми показателями (j u
(ϕ) , u ≥ 1) и в некотором базисе V имеет рациональную матрицу. Тогда справедливо равенство баланса циклов ($).
Доказательство. Формула баланса циклов обобщается для вырожденного оператора ϕ . Тогда сумма равна srk (ϕ) – ста- бильному рангу ϕ , т.е., – количеству его ненулевых собствен- ных значений, с уч¨
етом их кратности.

120
Сначала провед¨ем доказательство для целочисленной ма- трицы оператора. Пусть λ
1
, . . . , λ
d
– все ненулевые собствен- ные значения ϕ . Тогда формула ( ) приобретает вид:
det ( id
V
− ϕ · t ) =
d
Y
a = 1
(1 − λ
a
· t) =
Y
u ≥ 1
(1 − t u
)
j u
(ϕ)
Поэтому слева стоит целочисленный полином степени d с единичным свободным коэффициентом. В главе 4 о почти тождественных функциях (стр. 39) была отмечена целочис- ленность всех цикловых показателей j u
(ϕ) в этой ситуации.
Следовательно, записанная формула – есть равенство конеч- ных произведений и частных полиномов, приводящее к сов- падению степеней полиномов в левой и правой части:
srk (ϕ) = d =
X
u ≥ 1
u · j u
(ϕ) .
Пусть теперь матрица оператора ϕ в некотором базисе V
рациональна. Тогда все цикловые показатели j u
(ϕ) также ра- циональны. Если они обнуляются при u > n , то формула ( )
уточняется следующим образом:
det ( id
V
− ϕ · t ) =
d
Y
a = 1
(1 − λ
a
· t) =
n
Y
u = 1
(1 − t u
)
j u
(ϕ)
Если M – общий знаменатель первых n цикловых показа- телей j u
(ϕ), то существует равенство полиномов, из которого пройденным способом выводимо искомое тождество:
det ( id
V
− ϕ · t )

M
=
d
Y
a = 1
(1 − λ
a
· t)
M
=
n
Y
u = 1
(1 − t u
)
M ·j u
(ϕ)

121
Дополнительно, из этого равенства следует, что ненулевые собственные значения ϕ являются корнями из 1 степени n! ,
что проясняет смысл баланса циклов в этой ситуации:
X
u ≥ 1
u · j u
(ϕ) =
n
X
u = 1
u · j u
(ϕ) =
X
u \ n!
u · j u
(ϕ) = tr (ϕ
n!
) .
Тем самым, лемма 8.22 доказана.
Предыдущие примеры давали повод считать, что цикли- ческая финитность оператора ϕ при каких-то условиях свя- зана с конечностью его порядка. Следующий пример предос- терегает от наивных выводов по этому поводу.
8.23. Пример. Сначала для удобства обозначим:
φ = (
√
5 − 1)/ 2 ≈ 0.618 .
Определим оператор ϕ : R
2
→ R
2
и вычислим его степени:
ϕ =
0 −1 1
φ

, ϕ
2
=
−1 −φ
φ
−φ

, ϕ
3
=
−φ φ
−φ −1

,
ϕ
4
=

φ
1
−1 0

, ϕ
5
=
1 0 0 1

, ϕ
6
= ϕ , . . .
Итак, оператор ϕ – пятого порядка, что также подтверж- дается равенствами:
det ( id − ϕ · t ) = 1 − φ · t + t
2
\ 1 − t
5
,
1 − t
5
= (1 − t) · (1 − φ · t + t
2
) · (1 − φ
−1
· t + t
2
) .
Операторы конечного порядка вызывают особенный инте- рес в контексте действий конечных групп. У простейших из них циклические показатели финитны, но не в этом случае:
tr (ϕ
5s
) = 2 , tr (ϕ
5s ± 1
) = φ , tr (ϕ
5s ± 2
) = −φ
−1
;

122
j
2
v
(ϕ) = 2
−v
·
X
m \ 2
v
µ
2
v m

· tr (ϕ
m
) =
= 2
−v
·

tr ϕ
2
v
− tr ϕ
2
v−1


=
= 2
−v
·

tr ϕ
2
v
(mod 5)
− tr ϕ
2
v−1
(mod 5)


=
= 2
−v
·

tr ϕ
2
v (mod 4)
− tr ϕ
2
v−1 (mod 4)


=
= 2
−v
· (−1)
v
·
√
5 6= 0 .
Последнее равенство получено перебором 4-х возможных ситуаций, здесь предполагается v ≥ 1.
Этот пример показывает, что из конечности порядка опе- ратора не следует финитность его циклических показателей.
Очевидно, верно и обратное: жорданова клетка с единичным собственным значением показывает, что из финитности цик- лических показателей оператора, даже при условии его невы- рожденности, не следует конечность его порядка. Критерии цилической финитности операторов пока что неясны. Но в скалярном случае ответ прост.
8.24. Лемма. Пусть V – конечномерно, а ϕ = λ · id
V
. Тогда
ϕ циклически финитен только при λ = ±1 или 0.
Доказательство. Можно считать, что dim V = 1. В этом случае обозначим j u
(ϕ) = j u
(λ), u ≥ 1. Ясно, что следую- щие последовательности показателей финитны:
j u
(0) ≡ 0 ; j u
(1) = [ u = 1 ] ; j u
(−1) = [ u = 2 ] − [ u = 1 ] .
Пусть λ 6= ±1 или 0, тогда запишем:
j u
(λ) = u
−1
·
X
a \ u
µ

u a

· λ
a

123
Предположим, j u
(λ)
– финитна. Тогда для всех доста- точно больших n и m должно выполняться:
j
2
n
(λ) = 2
−n
·
X
a \ 2
n
µ
2
n a

· λ
a
= 2
−n
· λ
2
n
− λ
2
n−1
=
= 2
−n
· λ
2
n−1
· λ
2
n−1
− 1
= 0 ;
j
3
m
(λ) = 3
−m
·
X
a \ 3
m
µ
3
m a

· λ
a
= 3
−m
· λ
3
m
−λ
3
m−1
=
= 3
−m
· λ
3
m−1
· λ
2 · 3
m−1
− 1
= 0 ;
Обозначим ρ = λ
2
, согласно выбору, имеем ρ 6= 1 или 0. Но для всех достаточно больших n и m выполняется:
ρ
2
n−2
= 1 , ρ
3
m−1
= 1 .
Показатели, участвующие в этих равенствах, взаимно прос- ты. Поэтому найдутся целые a и b такие, что:
2
n−2
· a + 3
m−1
· b = 1 .
Из этого следуют равенства:
ρ = ρ
1
= ρ
2
n−2
· a + 3
m−1
· b
=

ρ
2
n−2

a
·

ρ
3
m−1

b
= 1 .
Полученное противоречие доказывает лемму 8.24.
8.25. Замечание. Исследование скаляров полезно для под- сч¨
ета баланса циклов (стр. 119). Если λ
1
, . . . , λ
n
– собствен- ные значения оператора ϕ , тогда при некоторых условиях сходимости имеются равенства:
X
u ≥ 1
u · j u
(ϕ) =
X
u ≥ 1
X
m \ u
µ (u/m) · tr (ϕ
m
) =

124
=
X
u ≥ 1
X
m \ u
µ (u/m) ·
X
n i = 1
λ
m i
=
=
X
u ≥ 1
X
n i = 1
X
m \ u
µ (u/m) · λ
m i
=
=
X
u ≥ 1
X
n i = 1
u · j u
(λ
i
) =
X
n i = 1
X
u ≥ 1
u · j u
(λ
i
) .
При этом было показано, что λ = 0 не пополняет баланс циклов, а λ = ±1 вносят в него по 1. Если λ 6= 0, ±1,
то соответствующий ряд, рассматриваемый как предел час- тичных сумм, расходится, поскольку слагаемые u · j u
(λ) не стремятся к нулю. Но есть процедуры, приписывающие ря- дам некоторые числовые значения (см. [9, гл. 15]). Один спо- соб можно назвать суммированием по Ламберту. Рассмотрим выражение следующего вида:
X
u ≥ 1
u · j u
(λ) ·
t u−1 1 + t u
=
X
u ≥ 1
j u
(λ) · ln (1 + t u
)

0
=
=
X
u ≥ 1
j u
(λ) · ln (1 − t
2u
) − ln (1 − t u
)

0
=
=

ln
Y
u ≥ 1
(1 − t
2u
)
j u
(λ)
− ln
Y
u ≥ 1
(1 − t u
)
j u
(λ)


0
=
= ln (1 − λ · t
2
) − ln (1 − λ · t)

0
=
λ
1 − λ · t
−
2λ · t
1 − λ · t
2
Очевидно, что для λ 6= 1 результат суммирования непре- рывен при t = 1. В левой же части ламбертовский множи- тель в единице принимает значение 1/2. Поэтому мы зададим значение в общем-то расходящейся суммы правилом:
X
u ≥ 1
u · j u
(λ) 2 ·

λ
1 − λ · t
−
2λ · t
1 − λ · t
2
t = 1
=
2λ
λ − 1

125
Иначе применим суммирование по Дирихле. Преобразуем полилогарифмическую функцию (A. Jonqui`ere, 1888), исполь- зуя формулу леммы 8.20 для λ ∈ C (стр. 117):
Li s
(λ) =
X
n ≥ 1
λ
n n
s
=
X
n ≥ 1 1
n s
·
X
u \ n u · j u
(λ) =
=
X
u ≥ 1
u · j u
(λ) ·
X
m ≥ 1 1
(u · m)
s
=
=
X
u ≥ 1
u · j u
(λ)
u s
·
X
m ≥ 1 1
m s
= D
j (λ)
(s − 1) · ζ(s) ;
D
j (λ)
(s) =
X
u ≥ 1
j u
(λ)
u s
= Li s+1
(λ)/ζ(s + 1) .
Дзета–функция Римана ζ(s) аналитически продолжается в область s 6= 1, при этом ζ(0) = −1/2. Полилогарифм Жонкье
Li s
(λ) также продолжается за свою очевидную область опре- деления {|λ| < 1 , s ∈ C}, принимая при s = 0 рациональное значение λ
(1 − λ). Поэтому аналитически продолжается ряд
Дирихле D
j (λ)
(s), и можно задать значение искомой сумме:
X
u ≥ 1
u · j u
(λ) D
j (λ)
(−1) = Li
0
(λ)/ζ(0) =
2λ
λ − 1
Когеренция разных суммирующих процедур вдохновляет на основательное исследование цикловых разложений.
8.26. Лемма. Пусть ϕ – оператор конечного порядка на ве- щественном конечномерном пространстве V . Тогда для ϕ вы- полнено равенство баланса циклов:
X
u ≥ 1
u · j u
(ϕ) dim V .