Файл: В. П. Кандидов и др. Москва физический факультет мгу.pdf

Глава 1. Преобразование Фурье и его свойства
11 образом Фурье
)
( f
U
периодической функции
)
(x
u
. Соответствие между
)
(x
u
и
)
( f
U
будем обозначать следующим образом:
)
(
)
(
f
U
x
u
↔
(1.8)
Образ Фурье периодической функции в виде коэффициентов разложения
k
d можно символически представить бесконечной суммой:

∞
−∞
=






−
δ
=
k
k
d
L
k
f
f
U
)
(
,
(1.9) где
)
(x
δ
– дельта функция Дирака, определяемая условием

=
−
δ
2 1
)
(
)
(
)
(
0 0
x
x
x
g
dx
x
g
x
x
, если
0
x принадлежит области интегрирования
[
]
2 1
, x
x
, и

=
−
δ
2 1
0
)
(
)
(
0
x
x
dx
x
g
x
x
, если
0
x не принадлежит
[
]
2 1
, x
x
Таким образом, спектр периодической функции является дискретным, в котором интервал частот
k
k
f
f
f
−
=
∆
+
1
между соседними гармониками равен величине, обратной ее периоду
L
:
L
f
1
=
∆
(1.10)
В качестве примера на рис.1.2 приведен спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью
0
h
с амплитудой
A
. В этом случае функция
)
(
)
(
nL
x
u
x
u
±
=
на одном периоде
2
/
2
/
L
x
L
≤
≤
−
имеет вид



>
−
<
<
<
−
=
2
/
при и
2
/
при
0
,
2
/
2
/
при
)
(
0 0
0 0
h
x
h
x
h
x
h
A
x
u
(1.11)
Коэффициенты разложения
k
d
функции u(x) равны:
0 0
0
)
sin(
h
f
h
f
L
Ah
d
k
k
k
π
π
⋅
=
, или
)
(
sinc
0 0
h
f
L
Ah
d
k
k
π
⋅
=
(1.12)

Глава 1. Преобразование Фурье и его свойства
12
Коэффициенты
k
d действительны, так как функция (1.11) симметрична.
В спектре периодической последовательности импульсов (рис.1.2) гармоники «идут» по оси частот с шагом
L
f
/
1
=
∆
, где
L
– период следования импульсов. Длительность импульсов
0
h
не влияет на интервал
f
∆
между частотами гармоник, но определяет области частот
L
,
2
,
1 0
0
h
h
f
≈
, в окрестности которых амплитуды гармоник
k
d
малы.
Рис.1.2. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов и ее спектр.
§1.2. Интеграл Фурье
Непериодическую функцию
)
(x
u
можно представить в виде интеграла Фурье, если она однозначна, кусочно-непрерывна, абсолютно интегрируема и имеет конечное число экстремумов:
)
(
)
(
,
)
(
)
(
2 2


∞
∞
−
π
−
∞
∞
−
π
=
=
dx
e
x
u
f
U
df
e
f
U
x
u
fx
i
fx
i
(1.13)
Спектр, или образ Фурье
)
( f
U
непериодической функции является сплошным. Частота
f
меняется непрерывно от
−∞
до
+∞
Соотношения (1.13) устанавливают связь между функцией
)
(x
u
и ее образом Фурье
)
( f
U
:
)
(
)
(
f
U
x
u
↔
(1.14)

Глава 1. Преобразование Фурье и его свойства
13
Если функция
)
(x
u
вещественная, то
)
(
)
(
f
U
f
U
−
=
∗
Для симметричных
)
(x
u
спектр
)
( f
U
– действительная функция.
Например, спектр симметричного относительно начала отсчета
0
=
x
прямоугольного импульса длительностью
0
h
с амплитудой
A
имеет вид (рис.1.3):
)
(
sinc
)
(
0 0
fh
Ah
f
U
π
⋅
=
(1.15)
На частотах
L
,
3
,
2
,
1
,
0
±
=
=
s
h
s
f
s
спектр
0
)
(
=
f
U
Рис.1.3 Прямоугольный импульс длительностью
0
h и его спектр
)
( f
U
В общем случае спектр
)
( f
U
является комплексным:
)
(
)
(
)
(
f
i
e
f
U
f
U
ϕ
⋅
=
, где
)]
(
arg[
)
(
f
U
f
=
ϕ
(1.16)
Здесь
)
( f
U
– амплитудный,
)
( f
ϕ
– фазовый спектр функции, не имеющей периода.
§1.3. Свойства преобразования Фурье
1.
Линейность:
Если
)
(
)
(
1 1
f
U
x
u
↔
и
)
(
)
(
2 2
f
U
x
u
↔
, то
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2
1 1
2 2
1 1
f
U
f
U
x
u
x
u
α
+
α
↔
α
+
α
(1.17)
2. Теорема запаздывания:
Если
)
(
)
(
f
U
x
u
↔
, то
0 2
0
)
(
)
(
fx
i
e
f
U
x
x
u
π
−
↔
−
(1.18)

Глава 1. Преобразование Фурье и его свойства
14
Теорема запаздывания позволяет определять образ Фурье функций
)
(
0
x
x
u
−
с запаздывающим аргументом по образу Фурье
)
( f
U
симметричных функций
)
(x
u
, который проще вычислить.
Пусть
)
(x
u
– симметричная функция и ее спектр действительный, т.е.
[
]
0
)
(
Im
=
f
U
или
[ ]
0
Im
=
k
d
и в разложении присутствуют только косинус-компоненты, фаза
0
=
ϕ
k
, или
0
≠
k
a
и
0
=
k
b
. Тогда у функции
)
(
0
x
x
u
−
спектр является комплексным:
[
]
0
)
(
Im
≠
f
U
или
[ ]
0
Im
≠
k
d
и фаза
0 2
0
≠
π
=
ϕ
fx
k
, что соответствует существованию синус- компонент наряду с косинус-компонентами.
В качестве примера на рис.1.4 приведены действительная
[
]
)
(
Re
f
U
и мнимая
)]
(
Im[
f
U
части спектра гауссовой функции








−
=
2 0
2
exp
)
(
a
x
A
x
u
, симметричной относительно начала координат, и гауссовой функции с запаздывающим аргументом








−
−
=
−
2 0
2 0
0
)
(
exp
)
(
a
x
x
A
x
x
u
при различном запаздывании
0
x
На рис. 1.5 представлены амплитудный
)
( f
U
и фазовый
0 2
)]
(
arg[
fx
f
U
π
−
=
спектры запаздывающей гауссовой функции. С увеличением запаздывания
0
x
фаза
0 2 fx
π
−
=
ϕ
меняется с частотой сильнее (рис.1.5) и период осцилляций действительной
[
]
)
(
Re
f
U
и мнимой
[
]
)
(
Im
f
U
частей спектра сокращается (см. рис. 1.4).

Глава 1. Преобразование Фурье и его свойства
15
Рис.1.4. Гауссова функция, действительная
[
]
)
(
Re
f
U
и мнимая
[
]
)
(
Im
f
U
части ее спектра: симметричная относительно начала координат








−
=
2 0
2
exp
)
(
a
x
A
x
u
(верхняя строка) и функции с запаздывающим аргументом








−
−
=
−
2 0
2 0
0
)
(
exp
)
(
a
x
x
A
x
x
u
при
0 0
2a
x
=
(средняя строка) и
0 0
4a
x
=
(нижняя строка).

Глава 1. Преобразование Фурье и его свойства
16
Рис. 1.5. Модуль
)
( f
U
и фаза
0 2 fx
π
−
=
ϕ
спектра гауссовой функции








−
−
=
−
2 0
2 0
0
)
(
exp
)
(
a
x
x
A
x
x
u
3.Теорема смещения:
Если
)
(
)
(
f
U
x
u
↔
, то
)
(
)
(
0 2
0
f
f
U
e
x
u
x
f
i
−
↔
π
(1.19)
Из этой теоремы следует, что спектр радиоимпульса
x
f
i
e
x
u
0 2
)
(
π
на несущей частоте
0
f и огибающей
)
(x
u
совпадает со спектром функции
)
(x
u
, сдвинутым по оси частот на
0
f .
В качестве примера на рис.1.6 приведен спектр гауссовой функции








−
=
2 0
2
exp
)
(
a
x
A
x
u
и радиоимпульса
)
2
exp(
exp
)
(
0 2
0 2
x
f
i
a
x
A
x
u
π
⋅








−
=
, несущая частота которого
0
f
, а огибающая
)
(x
u
4. Формулы свертки:
Если
)
(
)
(
1 1
f
U
x
u
↔
и
)
(
)
(
2 2
f
U
x
u
↔
, то
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1
2 1
f
U
f
U
x
u
x
u
⊗
↔
⋅
,
(1.20) где

+∞
∞
−
ξ
ξ
ξ
−
=
⊗
d
U
f
U
f
U
f
U
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1
2 1
– свертка спектров.
Эта формулы свертки означает, что образом Фурье произведения двух функций
)
(
)
(
2 1
x
u
x
u
⋅
является свертка образов Фурье сомножителей
)
(
1
f
U
и
)
(
2
f
U

Глава 1. Преобразование Фурье и его свойства
17
Если
)
(
)
(
1 1
f
U
x
u
↔
и
)
(
)
(
2 2
f
U
x
u
↔
, то
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1
2 1
f
U
f
U
x
u
x
u
⋅
↔
⊗
,
(1.21)
Следовательно, образом Фурье для свертки двух функций
)
(
)
(
2 1
x
u
x
u
⊗
является произведение образов Фурье этих функций
)
(
1
f
U
и
)
(
2
f
U
Рис.1.6. Спектр функции








−
=
2 0
2
exp
)
(
a
x
A
x
u
и радиоимпульса
)
2
exp(
exp
)
(
0 2
0 2
x
f
i
a
x
A
x
u
π
⋅








−
=
5. Образ Фурье
)
(x
δ
-функции Дирака:
1
)
(
↔
δ
x
(1.22)
Спектр
)
(x
δ
-функции является действительным и равномерным на всей оси частот
1
)
(
=
f
U
. Схематически
)
(x
δ
-функцию Дирака можно представить в виде единственного отличного от нуля значения в точке

Глава 1. Преобразование Фурье и его свойства
18 0
=
x
, взятого с весом 1 (рис.1.7). На этом же рисунке приведен спектр
)
( f
U
δ
для
)
(x
δ
-функции.
Рис.1.7. Схематическое изображение
)
(x
δ
-функции Дирака и ее спектра
1
)
(
=
δ
f
U
6. Образ Фурье функции
)
(
0
x
x
−
δ
В соответствии с теоремой запаздывания спектр функции
)
(
0
x
x
−
δ
является комплексным:
{
}
0 0
2
exp
)
(
fx
i
x
x
π
−
↔
−
δ
(1.23)
Запаздывающая функция Дирака
)
(
0
x
x
−
δ
, модуль
)
( f
U
δ
и аргумент
0 2 fx
π
−
=
ϕ
δ
ее спектра приведены на рис. 1.8.
Рис.1.8. Схематическое изображение запаздывающей функции Дирака
)
(
0
x
x
−
δ
, модуля
)
( f
U
δ
и фазы
0 2
)
(
fx
f
π
−
=
ϕ
δ
ее спектра.
7. Образ Фурье гребневой функции Дирака
)
(
Ш x .
Гребневая функция определяется как бесконечная сумма эквидистантно смещенных
)
(
x
j
x
∆
−
δ
-функций:

Глава 1. Преобразование Фурье и его свойства
19

∞
−∞
=
∆
−
δ
=
j
x
j
x
x
)
(
)
Ш(
(1.24)
Функция
)
Ш(x периодическая и ее Фурье-образом
)
(
Ш
f
U
является ряд
Фурье, в котором гармоники
x
k
f
k
∆
=
/
«идут» по оси частот с шагом
x
f
∆
=
∆
/
1
, где
x
∆
– период
δ
-функций в
)
Ш(x . Используя выражение для коэффициентов Фурье
k
d (1.5) и свойства функции
)
(
0
x
x
−
δ
, нетрудно получить, что все коэффициенты разложения функции
)
Ш(x в ряд являются действительными и равны
x
d
k
∆
=
/
1
, фаза
0
=
ϕ
k
. В символической записи (1.9) образ Фурье гребневой функции Дирака
)
Ш(x имеет вид:

∞
−∞
=
∆
−
δ
∆
↔
k
x
k
f
x
x
)
/
(
1
)
Ш(
или


∞
−∞
=
∞
−∞
=
∆
−
δ
∆
↔
∆
−
δ
k
j
x
k
f
x
x
j
x
)
/
(
1
)
(
, или
(1.25)
)
(
1
)
Ш(
f
U
x
x
Ш
∆
↔
, где

∞
−∞
=
∆
−
δ
=
k
Ш
x
k
f
f
U
)
/
(
)
(
Схематическое изображение гребневой функции Дирака
)
(
Ш x и ее спектра
)
( f
U
Ш
приведено на рис.1.9.
Рис.1.9. Схематическое изображение гребневой функции Дирака
)
(
Ш x и ее спектра
)
(
Ш
f
U

Глава 2. Функция дискретного аргумента
20