Файл: Diplomnaya_rabota_Davydova_E_Yu.docx

Введение

В работе исседовано уравнение

, (1)

где ,

-постоянные комплексные коэффициенты;

- параметр;

-весовая функция , удовлетворяющая условиям:

при ;

Работа состоит из трех папаграфов.

В первом параграфе приводятся основные понятия и опрделения, исседуемые в дальнейшем.

Во втором параграфе изучены пространства основных и обобщенных функций, весовое преобразование Фурье, весовые мультипликаторы.

В третьем параграфе рассматривается уравнение (1). Наряду с пространствами Соболева используются пространства Соболева-Слободецского.

Доказаны теоремы существования единственного решения при выполнении некоторого дополнительного условия.

Теорема 1. Пусть выполнено условие 1 и Тогда при любом существует единственное решение , для которых справедлива оценка:

.

Теорема 2 оценки производных решения.

Пусть .

Тогда при выполняются следующие оценки:

11Equation Section (Next)

1. Мультипликаторы Фурье

   1. . Преобразование Фурье

1. .1. Определение преобразования Фурье

Пусть на всех задана функция . принимающая комплексные значения , где и - функции с вещественными значениями. Для любого отрезка интеграл от определяется по формуле:

212\* MERGEFORMAT (.)

Таким образом, интегрируемость функции по равносильна одновременной интегрируемости по этому отрезку функций и . Аналогично определяются и несобственные интегралы от функций с комплексными знамениями.

Определение. Функция называется абсолютно интегрируемой, если она интегрируема на любом конечном отрезке и

, 313\* MERGEFORMAT (.)

_{то есть несобственный интеграл от} по всей оси _{сходится.}

_{Будем обозначать - несобственный интеграл по всей оси.}

_{Определение. Преобразованием Фурье абсолютно интегрируемой функции называется функция переменной , которая определяется по формуле [1]:}

414\* MERGEFORMAT (.)

Пример. Вычислим преобразование Фурье функции

Если в 14 вместо подставить , то получим:

515\* MERGEFORMAT (.)

Для любого комплексного числа справедлива формула Эйлера:

. 616\* MERGEFORMAT (.)

_{Используя формулы Эйлера, легко убедиться, что функция} при всех _{и стремится к нулю при .}

_{Поскольку при любых вещественных значениях x и}

, 717\* MERGEFORMAT (.)

_{то для любой абсолютно интегрируемой функции} интеграл в 14 сходится при всех _и

, где . 818\* MERGEFORMAT (.)

Таким образом, функция определена при вещественных значениях и ограничена.

1.1.2. Лемма 1. Преобразование Фурье любой абсолютно интегрируемой функции является непрерывной ограниченной и стремится к нулю при .

Доказательство. Прежде всего заметим, что утверждение выполнено для любых ступенчатых функций. Действительно, функция называется ступенчатой, если вне некоторого отрезка и существует такое разбиение отрезка , что на каждом интервале функция постоянна.

В таком случае , где - значение функций на интервале , а для отдельных слагаемых этой суммы утверждение леммы уже проверили выше.

Для любой абсолютно интегрируемой функции можно найти такую последовательность ступенчатых функций, что

. 919\* MERGEFORMAT (.)

Действительно, достаточно показать, что для любого можно найти такую ступенчатую функцию,

10110\* MERGEFORMAT (.)

Поскольку интеграл от по всей оси сходится, то существуют такие , что

Так как предполагаем, что интегрируема по Риману на , то в силу критерия отрезка , что

Чтобы построить ступенчатую функцию , для некоторой выполняется. Теперь достаточно положить все отрезка и при , где - некоторая фиксированная точка из . При этом не имеет существенного значения как именно определяется в самих точках .

После того, как последовательность , ступенчатых функций, удовлетворяющих 15 для доказательства утверждения леммы остается заметить, что последовательность равномерно сходится к , поскольку , и воспользоваться свойствами равномерно сходящихся последовательностей.

1.1.2. Преобразование Фурье производной.

Пусть абсолютно интегрируемая функция имеет производную при всех , причем непрерывна и абсолютно интегрируема. В таком случае и преобразование Фурье функции связаны так:

. 11111\* MERGEFORMAT (.)

Доказательство.

Действительно, с помощью интегрирования по частям получаем, что

так как , то остается показать, что при .

Поскольку , то в силу предложения об абсолютной интегрируемости функция имеет пределы при и . Легко увидеть, что хотя бы один из пределов отличен от нуля, то функция не может быть абсолютно интегрируемой, следовательно при . Тем самым формула 111 доказана.

Формула 111 показывает, что при преобразовании Фурье операция дифференцирования переходит в число алгебраическую операцию умножения на функция это открывает широкие возможности для применения преобразования Фурье при исследовании дифференциальных операторов.

1.1.3. Преобразование Фурье убывающих функций.

Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции является ограниченной непрерывной функцией, стремящейся к нулю при . Формальное дифференцирование по переменному интеграла 14, определяющего , приводит к следующему выражению:

Предположим, что функция абсолютно интегрируема, тогда этот интеграл, зависящий от параметра , равномерно сходится.

Применяя теорему о дифференцировании по параметру несобственных интервалов получим, что функция имеет производную и

Так как слева стоит преобразование Фурье функции , то мы получим формулу

12112\* MERGEFORMAT (.)

которая показывает, что операция умножения на переходит после преобразования Фурье в операцию . Если вместо с функцией абсолютно интегрируемыми являются и функции , то интеграл в 14 можно дифференцировать раз.

Таким образом, чем более сильные условия убывания на бесконечности мы накладываем на функция тем белее гладкая получается функция .

1.1.4 Формула обращения преобразования Фурье

Часто возникает такая ситуация, что мы не знаем самой функции f(x), но можем найти В таком случае возникает задача обращения преобразования Фурье , то есть задача о вычислении функции f(x) в точке x по известной функции . Следующая теорема дает решение этой задачи при дополнительном предложении о существовании производной функции в точке .

Теорема 1. Если функция абсолютно интегрируема и существует производная , то

.

Доказательство. Положим

.

Меняя порядок интегрирования в последнем интеграле, получим, что

. 13113\* MERGEFORMAT (.)

Поскольку

.

Возможность изменения порядка интегрирования легко обосновать, используя теоремы математического анализа о перемене порядка интегрирования в кратных интегралах.

Прежде, чем продолжать дальше доказательство, заметим, что для любой абсолютно интегрируемой функции

14114\* MERGEFORMAT (.)

и при в силу леммы 1.

Если мы положим,

то из 114 получим, что при

. 15115\* MERGEFORMAT (.)

Если же положим

то из 114 получим, что при

16116\* MERGEFORMAT (.)

Абсолютная интегрируемость легко проверяется с помощью критерия интегрируемости, если заметить, что в силу нашего предположения о существовании производной функция имеет предел при и, следовательно, ограничена в некоторой окрестности точки .

Из соотношений 113, 115, 116 мы получаем, что при

.

Остается заметит, что при

,

и при

,

причем несобственный интеграл по всей оси сходится и равен .

Следствие. Если выполнены условия теоремы и, кроме того, функция абсолютно интегрируема, то

17117\* MERGEFORMAT (.)

Формула 117 дает решение задачи обобщения преобразования Фурье. В связи с этим для абсолютно интегрируемой функции функцию

называется обратным преобразованием Фурье от .

Легко видеть, что

18118\* MERGEFORMAT (.)

1.1.5. Преобразование Фурье в пространстве .

Дадим определение пространства , которое играет важную роль в ряде вопросов теории обобщенных функций. Функция будем называть бесконечно дифференцируемой, если при всех существуют производные порядков . Так как из существования производной вытекает непрерывность функции , считая, что по определению .

Совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций обозначается через

Определение. Совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций , которые для всех удовлетворяют неравенствам

, 19119\* MERGEFORMAT (.)

где -постоянные, зависящие от функции , образует линейное пространство .

Оценки 119 показывают, что пространство , состоит из бесконечно дифференцируемых функций, убывающих на бесконечнсти вместе со всеми производными быстрее любой отрицательной степени .

Заметим, что вместо системы оценок 119 можно пользоваться эквивалентной системой

20120\* MERGEFORMAT (.)

где - некоторые другие постоянные, зависящие от выбора функции . Действительно, разлагая другие постоянные по формуле бинома на сумму одночленов, получим, что левая часть в 13 есть сумма членов, каждый из которых в силу неравенства 119 ограничен. Тем самым доказано, что из 119 следует 120, что для всех

,

а функция интегрируема.

Наконец, если , то все функции тоже принадлежат . Отсюда, в частности, следует, что все функции тоже абсолютно интегрируемы.

Теорема. Преобразование Фурье взаимно однозначно отображает пространство на все .

Доказательство.

Так как для любой все функции тоже принадлежат и, следовательно, абсолютно суммируемы, то в силу свойств преобразования Фурье, функция бесконечно дифференцируема. Покажем, что . Для этого достаточно доказать, что все функции ограничены, но это вытекает из того, что в силу формул 12 и 13.

, 21121\* MERGEFORMAT (.)

а функция тоже принадлежит , и следовательно, абсолютно интегрируема.

Остается вспомнить, что преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции ограничено.

Итак, если , то и . Обратное, пусть дана функция , покажем, что она является преобразованием Фурье некоторой функции . Положим, что .

Функция есть прямое преобразование Фурье функции и поэтому принадлежит . Но тогда, очевидно, и . По формуле обращения

поэтому есть преобразование Фурье функции .

Итак, мы проверили, преобразование Фурье отображает пространство на все .

Это отображение взаимно однозначно, поскольку сама функция однозначно восстанавливается по с помощью формулы оращения.

Теорема доказана.

В пространстве можно ввести понятие сходимости последовательности.

Определение. Будем говорить, что последовательность функций из сходится в пространстве к функции при , если равномерно для всех и существуют такие константы , не зависящие от и от всех

. 22122\* MERGEFORMAT (.)

Теорема 2. Если в , то и в .

Доказательство. Будем опять использовать формулу 121. Из оценок 122 следует, что при некоторых выполнены неравенства

23123\* MERGEFORMAT (.)

поэтому из 121 получаем, что

.

Остается доказать, что равномерно для любых .

Так как

,

то достаточно проверить, что для любого

при 24124\* MERGEFORMAT (.)

Из 122 следует, что

,

потому для любого можно найти такое , что , следовательно для любой

.

Так как равномерно, то , потому существует такое , что для всех

но тогда . Тем самым 124 доказано.

Утверждение теоремы 2 означает, что преобразование Фурье непрерывно отображает пространство в (отображение непрерывно, если оно всякую сходящуюся последовательность переводит в сходящуюся). Очевидно, что обратное преобразование Фурье тоже обладает этим свойством, поскольку оно связано с прямым преобразованием Фурье формулой 118.

1.1.6. Преобразование Фурье функции нескольких переменных.

Пусть теперь -функция на -мерном евклидовом пространстве , причем , где -координаты точки в некоторой системе координат. Функция называется абсолютно интегрируемой, если она интегрируема по любому шару , . Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции определяется формулой

, 25125\* MERGEFORMAT (.)

которая по своему виду совпадает с формулой 14, но теперь , -означает скалярное произведение, т.е. , где , знак интеграла, как мы уже говорили выше, означает интегрирование по всему .

Преобразование Фурье любой является непрерывной ограниченной функцией и стремится к нулю при .

Если функции и абсолютно интегрируемы, то функция имеет непрерывную частную производную и

. 26126\* MERGEFORMAT (.)

Доказательство этих утверждений получается почти дословно повторен соответствующих доказательств для одномерного случая.

Пусть абсолютно интегрируемая функция при всех имеет частную производную , которая является непрерывной и абсолютно интегрируемой функцией. В таком случае

27127\* MERGEFORMAT (.)

Доказательство формулы 127 аналогично доказательству формулы 111, поскольку -мернуы интеграл

можно свести к повторному и тогда в интеграле по переменному можно будет произвести те же самые преобразования, которые были использованы при вводе формулы 111.

Определение пространства и сходящейся последовательности для функций многих переменных получается, если индексы и в приведенных выше определениях для случая оного переменного заменить на мультииндексы , , считая, что

, .

Если , то для любых

. 28128\* MERGEFORMAT (.)

Действительно, , а ограниченность функций устанавливается с помощью этого же рассуждения, что и неравенство 128.

Так как -мерный интеграл в том и только том случае, когда , то выбирая в 128 в качестве число , получим, что функция абсолютно суммируемы. В частности, абсолютно суммируема и сама функция .

Далее, точно так же, как и в случае одного переменного, доказывается, что для любой функция так же принадлежит .

Для функции верна формула обращения преобразования Фурье

.

Например, для случая функций от двух переменных

.

Действительно, переходя от кратных интегралов к повторным, переставляя порядки интегрирования, что законно, так как и абсолютно интегрируемы, и пользуясь формулой обращения для функций одного переменного, получим, что