Файл: Diplomnaya_rabota_Davydova_E_Yu.docx

Аналогичным образов формула обращения доказывается в случае любого числа переменных. С помощью формулы обращения, как и в случае одного переменного, для функций многих переменнх устанавливается.

Теорема. преобразование Фурье осуществляется взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение пространства на все .

Отметим еще, что для функций из справедлива формула

, 29129\* MERGEFORMAT (.)

которая следует из 128.

1.2. Мультипликаторы Фурье в пространстве

Введем понятие мультипликатора[1].

Рассмотрим функцию , пусть - прямое преобразование Фурье, тогда если , то

, где ,

и, следовательно, определено произведение:

По определению функция назевается мультипликатором в , если

1)

2) выполняется

, 30130\* MERGEFORMAT (.)

где - константа, не зависимая от , а -обратное преобразование Фурье, т.е. для и

, где .

Возьмем бесконечно дифференцируемые функции и функцию . Пусть выполняется условие тогда из 130 следует, что

, при .

Из последнего неравенстве следует, что существует функция, к которой при в смысле стремится .

Можно записать: (данное равенство получается из теоремы о преобразовании Фурье свертки .

Очевидно , , где - та же констванта, что и в соответствующем равенстве для .

Множество таких функций будем обозначать .

Зададим вектор , где или . Носителем вектора будем назвать множество тех индексов , для которых .

Теорема. Пусть на задана функция , обладающая свойствами: каков бы ни был вектор , производная существует и неравенства в любой точке , , где , и подчиняется неравенству

Тогда - мультипликатор, т.е. существует независимая от и константа такая, что

, ,.

Заметим, что т. к. удовлетворяет указанному в теореме свойству и при , то ограничена на и непрерывна, разве что за исключением точек, принадлежащих координатным плоскостям. Поэтому на , - измеримая функция, и в то же время, обобщенная.

312Equation Section (Next)

2.Пространство основных и обобщенных весовых функций.

2.1. Основные весовые функции. Весовые интегральные преобразования , . Некоторые операции в пространстве

Введем основные и обобщенные весовые функции, определенные на отрезке . В качестве весовой функции будем использовать функцию , принадлежащую и удовлетворяющую условиям:

при ,

,

,

,

.

α

0

1

Рассмотрим функцию:

. 32232\* MERGEFORMAT (.)

Т.к. функция является монотонной , то существует обратная к ней функция

Таким образом, взаимно однозначно отображает на

Для некоторой функции , определим функцию по формуле [3]:

, 33233\* MERGEFORMAT (.)

где обратная функция к функции .

. 34234\* MERGEFORMAT (.)

Возьмем функцию и , для этих функций будут справедливы неравенства:

,

, 35235\* MERGEFORMAT (.)

Действительно:

Дадим определение пространства основных весовых функций.

Функция принадлежит пространству если соответствующая функция принадлежит , т.е. , если , или , где - оператор, заданный следующим образом:

.

Последовательность функций в множестве при , если последовательность функции сходится к в пространстве при . Множество , наделенное топологией по предыдущему определению, будем называть пространством основных весовых функций и обозначать .

На этом множестве вводиться семейство норм, зависящих от следующим образом:

.

;

;

;

.

Изучены некоторые непрерывные операции в пространстве основных весовых функций .

Будем говорить, что функция , принадлежит к классу , если функция и все ее производные имеют степенной рост.

Функция принадлежит классу , если функция принадлежит классу по переменной .

1)Опереция умножения на функцию класса

Пусть , тогда .

Функция по переменной ;

.

С учетом свойств пространств можно сказать, что операция умножения является линейной и непрерывной из в .

2) Весовое дифференцирование.

На функциях определим операцию весового дифференцирования по формуле:

,

где , , ,

Действительно:

.

2.2 Весовое преобразование Фурье.

Для определяем весовое преобразование Фурье [3]

,

где -обычное преобразование Фурье по переменной , а оператор определен на функциях по формуле:

где -обратная функция в функции .

Определим весовое преобразование через интеграл:

Из определения (множество бесконечно дифференцируемых функций переменной , убывающих быстрее любой отрицательной степени ) и свойств преобразования Фурье на следует, что является линейной непрерывной операцией из на .

Обозначим . С помощью обратного преобразования Фурье находим: . Если последнее равенство разделим на и сделаем замену переменных, то получим:

.

Таким образом, преобразование отображает взаимнооднозначно на . Кроме того, учитывая свойства обычного преобразования Фурье, можно сказать, что операция является линейной и непрерывной из на , а - линейной и непрерывной из на .

Из определения в связи весового преобразования с обычным преобразованием Фурье вытекает, что

для любого

для любого_.

Определим теперь весовое преобразование Фурье от производной:

.

Действительно:

Используя следующую формулу определим производную от весового преобразования Фурье:

.

Действительно:

2.3. Класс весовых мультипликаторов .

Теперь введем обобщенные весовые функции определенные на отрезке .

Множество линейных непрерывных функционалов над пространством называется множеством весовых обобщенных функций .

Функционалы над обозначаются где .

Сходимость в определяется как слабая сходимость функционалов: последовательность обобщенных функций из при сходится в к обобщенной функции , если для любой : при .

Линейное множество с введенной на нём сходимостью называется пространством весовых обобщенных функций.

Пространство -пространство линейных и непрерывных функционалов над является сопряженным к пространству .

Определим операторы на и на по формулам:

,

где функционал, стоящий в правой (левой) части первого (второго) равенства означает функционал над

Докажем предыдущие равенства через интегралы.

Знаем:

Действительно:

Очевидно, что непрерывная операция из на .

Определим преобразование Фурье на по формуле:

,

т.е. это на по формуле:

, т.е. .

и -прямое и обратное преобразование Фурье пространства обобщенных функций .

Одним из свойств прямого и обратного преобразования Фурье в является легко доказываемое равенство:

в , в .

Пусть , где . Обозначим:

,

где и соответственно, прямое и обратное преобразование Фурье в пространстве обобщенных функций .

Обозначим через . Будем говорить, что функция принадлежит классу весовых мультипликаторов [4] в пространствах , если для любой функции справедлива оценка:

.

Теорема (о мультипликаторах). Если функция имеет непрерывные частные производные до порядка включительно для всех , и существует положительное число , такое, что для всх мультииндексов , где принимают значения 0 и 1,

,

тогда функция принадлежит классу и

,

где постоянная зависит лишь от и .

Доказательство. Учитывая, что

, .

Подставляя значения и используя рассуждения, приведенные в теореме, запишем следующую систему равенств

Из условия теоремы следует, что является мультипликатором в . Следовательно, из теоремы С.Г. Михлина- П. И. Лизоркина имеем:

,

где постоянная зависит лишь от и . Отсюда окончательно получаем:

.3631Equation Chapter (Next) Section 3

3. Теорема существования и единственности решения дифференционального уравнения с переменными коэффициентами.

3.1. Постановка задачи

В полосе рассматривается задача:

37337\* MERGEFORMAT (.)

где

-постоянные комплексные коэффициенты;

- параметр;

-весовая функция

при ;

Исследуется разрешимость уравнения 337

Решим задачу

38338\* MERGEFORMAT (.)

где область оператора :

Пространство , где -целое, -весовое пространство Соболева, в котором содержатся функции , для которых конечна норма:

при

Условие 1. Существует такое, что при всех и .

3.2. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения с переменными коэффициентами.

Теорема. Пусть выполнено условие 1 и . Тогда при любом существует единственное решение , для которых справедлива оценка:

. 39339\* MERGEFORMAT (.)

Доказательство. Рассмотрим функцию:

.

Видно, что для любого :

. 40340\* MERGEFORMAT (.)

Из условия 1 вытекает, что:

при . 41341\* MERGEFORMAT (.)

Действительно, из равенства:

, т.е. и

что противоречит условию.

Учитывая 340 и 341, и полагая

,

получим оценку:

На основании этой оценки можно убедиться, что функция:

является мультипликатором типа в пространстве .

Применение теоремы о мультипликаторах дает оценку 339 с константой .

3.3. Теорема оценки производных решения.

Теорема. Пусть . Тогда при выполняются следующие оценки:

42342\* MERGEFORMAT (.)

43343\* MERGEFORMAT (.)

Доказательство. Уравнение 338 продифференцируем по . Получим:

.

Учитывая, что:

,

где , зависит лишь от функции и её производных до порядка получим:

.

Обозначим через:

Пусть . Тогда при из леммы 1 следует

44344\* MERGEFORMAT (.)

Используем неравенство:

,

и с помощью леммы 1 устанавливаем оценку

45345\* MERGEFORMAT (.)

Дважды продифференцируем по исходное уравнение с оператором . Получим

Учитывая, что:

,

где , зависит лишь от функции и её производных до порядка получим:

Обозначим через:

Пусть . Тогда из леммы 1 следует:

46346\* MERGEFORMAT (.)

Используем неравенство:

,

Из теоремы 1 следует

47347\* MERGEFORMAT (.)

Из неравенства 345, 346, 347 а так же неравенств:

справедливо при всех достаточно больших , выводим оценку:

Литература

1. ВВС. Уравнения математической физики// В.С Владимиров -. М.Физматлит, 2003. – 286 с.

2. М.Тейлор. Псевдодифференциальные операторы, Москва «Мир» 1985, 490 с.

3. Глушко В.П. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка в пространствах, операторы, граничные задачи // В.П.Глушко, Ю.Б.Савченко, Итоги науки и техники, ВИНИТИ-М 1985,-т.23,-с. 125-218

4. Савченко Ю.Б. Весовые мультипликаторы в пространствах Гёльдера//Ю.Б. Савченко, С.А. Ткачёва. – Труды ВВМШ Понтрягинские чтения – ХХI, Воронеж 2010. – с.89-92.