Файл: Билеты по матанализу 1к 2сем 2013_2014.doc

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.05.2021

Просмотров: 346

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И МЕХАНИКИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ.

1 КУРС, 2 СЕМЕСТР 2013-2014 УЧ. Г.

Экзаменатор - доц. Половинкин И.П.

Комментарии

  1. Темы «Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл Римана», «Несобственные интегралы функции одной переменной» составляют программу коллоквиума № 1.

  2. Каждое утверждение, входящее в вопрос контрольно-измерительного материала, студентом на экзамене должно быть доказано, каждая формула должна быть выведена, если не сказано иное.

Неопределенный интеграл.

Остаточные знания из 1-го семестра. Определение первообразной функции на промежутке. Неопределенный интеграл. Свойства первообразной функции. Свойства неопределенного интеграла. Табличное интегрирование. Интегрирование подстановкой и по частям. Обзор случаев применения интегрирования по частям.

  1. Многочлен одной переменной. Корень многочлена. Необходимое условие существования рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Кратность корня. Критерий корня заданной кратности. Разложение многочлена на линейные и неприводимые квадратичные множители. Рациональная функция одной переменной. Правильные и неправильные рациональные дроби. Разложение неправильной дроби в сумму многочлена и правильной дроби.

  2. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Интегрирование рациональных функций.

  3. Рациональная функция многих переменных. Интегрирование рациональной функции от рациональных степеней дробно-линейной функции. Интегралы вида , где R(x, u1, u2,...,us) – рациональная функция, r1,r2,...,rs – рациональные числа.

  4. Интегрирование функций, содержащих корень из квадратного трехчлена. Подстановки Эйлера. Частные случаи.

  5. Интегрирование дифференциального бинома.

  6. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка. Обзор частных случаев. Интегрирование гиперболических функций. Тригонометрические и гиперболические подстановки.

Определенный интеграл Римана.

  1. Разбиение отрезка. Мелкость разбиения. Интегральная сумма Римана функции, определенной на отрезке. Геометрический смысл интегральной суммы Римана. Определение предела интегральной суммы Римана. Интегрируемость функций по Риману. Определение определенного интеграла Римана функции по отрезку в терминах интегральных сумм Римана. Интегрируемость функции, постоянной на отрезке. Интеграл Римана от функции многих переменных по параллелепипеду.

  2. Ограниченность интегрируемой на отрезке функции. Пример ограниченной функции, неинтегрируемой по Риману.

  3. Верхние и нижние суммы Дарбу ограниченной на отрезке функции. Геометрический смысл сумм Дарбу. Свойства сумм Дарбу: оценки интегральных сумм Римана, приближение сумм Дарбу суммами Римана.

  4. Монотонность сумм Дарбу, оценка разностей сумм Дарбу при измельчении разбиения. Неравенства для верхних и нижних сумм Дарбу различных разбиений. Ограниченность сумм Дарбу.

  5. Верхний и нижний интегралы Дарбу. Определение. Лемма о неравенстве для верхнего и нижнего интегралов Дарбу.

  6. Понятие предела суммы Дарбу. Основная лемма Дарбу.

  7. Необходимое и достаточное условие интегрируемости по Риману ограниченной функции в терминах верхнего и нижнего интегралов Дарбу (вспомогательная теорема).

  8. Основная теорема о необходимом и достаточном условии интегрируемости по Риману ограниченной на отрезке функции (в терминах сумм Дарбу).

  9. Интегрируемость по Риману монотонных на отрезке функций.

  10. Интегрируемость по Риману непрерывных на отрезке функций.

  11. Достаточное условие интегрируемости разрывной функции. Следствия. Пример интегрируемой функции, имеющей бесконечно много точек разрыва.

  12. Интегрируемость сложной функции. Следствие.

  13. Простейшие свойства определенного интеграла Римана (линейность, интегрируемость произведения, интегрируемость на подмножествах, аддитивность определенного интеграла).

  14. Свойства интеграла Римана, связанные с неравенствами.

  15. Теорема о среднем значении для определенного интеграла Римана.

  16. Интеграл с переменным верхним пределом. Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом.

  17. Интеграл с переменным верхним пределом. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом. Существование первообразной у непрерывной на промежутке функции. Дифференцирование интеграла с переменным пределом.

  18. Формула Ньютона-Лейбница.

  19. Методы вычисления определенного интеграла (интегрирование подстановкой и по частям).

  20. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла.

  21. Вычисление площади криволинейного сектора с помощью определенного интеграла.

Несобственные интегралы функции одной переменной

  1. Несобственные интегралы первого и второго рода функции одной вещественной переменной. Определения, примеры. Главное значение несобственного интеграла.

  2. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла функции одной вещественной переменной.

  3. Несобственные интегралы первого и второго рода функции одной вещественной переменной. Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла.

  4. Общий признак сравнения для несобственных интегралов в форме неравенств

  5. Общий признак сравнения для несобственных интегралов в предельной форме.

  6. Частные признаки сравнения для несобственных интегралов первого и второго рода в форме неравенств, предельной форме.

  7. Замена переменной и интегрирование по частям в несобственных интегралах.

  8. Признак Дирихле-Абеля сходимости несобственного интеграла.

Дифференциальное исчисление функций многих вещественных переменных

Остаточные знания из 1-го семестра. Определение пространства Rn. Основные понятия и определения. Расстояние в Rn. Окрестности. Виды точек и множеств в Rn. Открытые и замкнутые множества. Операция замыкания. Компакты в Rn. Определение пространства Rn. Основные понятия и определения. Расстояние в Rn. Окрестности. Теорема о вложении окрестностей. Последовательности точек в Rn. Сходящиеся последовательности и их свойства. Критерий сходимости последовательности точек в Rn в терминах координатных последовательностей. Последовательности точек в Rn. Сходящиеся последовательности и их свойства. Критерий Коши сходимости последовательности точек в Rn. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Предельные точки множества. Функции нескольких действительных переменных. Отображения из Rn в Rm. Определение предела функции и отображения в точке. Критерий существования предела отображения в терминах пределов координатных функций. Арифметические свойства пределов функций. Повторные пределы. Непрерывность функции n переменных и отображений из Rn в Rm. Арифметические операции над непрерывными функциями. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Терема Больцано-Коши о промежуточном значении непрерывной функции n переменных. Теоремы Вейерштрасса о непрерывной функции n переменных. Обобщение на случай отображений. Равномерная непрерывность функций многих переменных. Теорема Кантора.

  1. Определение предела функции многих переменных по Коши и по Гейне. Пределы по множествам, подмножествам, по направлениям. Пример функции, имеющей одинаковые пределы по всем направлениям в точке и не имеющей предела в этой точке.

  2. Повторные пределы. Пример функции двух переменных, имеющей совпадающие повторные пределы в точке не имеющей предела в этой в точке. Пример функции, имеющей предел в точке, но не имеющей повторных пределов в этой в точке. Теорема о достаточном условии существования повторного предела функции двух переменных.

  3. Частные производные функции нескольких переменных Дифференцируемость в точке. Понятие дифференциала. Непрерывность дифференцируемой функции. Связь дифференцируемости с существованием частных производных (необходимое условие дифференцируемости).

  4. Геометрический смысл частных производных, дифференциала и условия дифференцируемости в случае функций двух переменных.

  5. Достаточные условия дифференцируемости.

  6. Дифференцируемость сложной функции и инвариантность формы первого дифференциала.

  7. Производная по направлению. Градиент.

  8. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Отсутствие инвариантности формы дифференциалов высших порядков.

  9. Формула Тейлора для функций одной вещественной переменной с остаточным членом в интегральной форме (вывод).

  10. Формула Тейлора для функций одной вещественной переменной с остаточным членом в интегральной форме (без вывода). Формула Тейлора для функций одной вещественной переменной с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши (вывод).

  11. Формула Тейлора для функций нескольких переменных с дополнительным членом в форме Лагранжа и Пеано.

  12. Локальный экстремум функции n переменных. Необходимое условие экстремума в терминах первого дифференциала.

  13. Достаточные условия строгого экстремума. Условие, достаточное для отсутствия экстремума в точке.

  14. Неявные функции. Теорема о неявных функциях, определяемых одним уравнением. Якобиан системы функций. Теорема о неявных функциях, определяемых системой уравнений. Вычисление производных неявных функций, определяемых системой уравнений.

  15. Отображения из Rn в Rm. Отображения, дифференцируемые в точке. Дифференциал отображения. Матрица производной отображения. Непрерывно дифференцируемые отображения. Непрерывная дифференцируемость композиции отображений. Якобиан отображения.

  16. Условный экстремум функции многих переменных. Методы подстановки функций и подстановки дифференциалов.

  17. Условный экстремум функции многих переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Необходимое условие экстремума.

  18. Условный экстремум функции многих переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Достаточное условие экстремума.

Числовые ряды

  1. Числовой ряд. Сходимость. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Критерий Коши сходимости числового ряда.

  2. Следствия из критерия Коши сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости. Гармонический ряд. Остаток числового ряда.

  3. Остаток числового ряда. Сходимость любого фиксированного остатка сходящегося ряда. Необходимое и достаточное условие сходимости в терминах остатка.

  4. Числовые ряды с неотрицательными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.

  5. Числовые ряды с неотрицательными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами (без доказательства). Интегральный признак Коши-Маклорена сходимости числового ряда с неотрицательными членами. Обобщенный гармонический ряд.

  6. Числовые ряды с неотрицательными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами (без доказательства). Признак сравнения сходимости числового ряда с неотрицательными членами в форме неравенств.

  7. Числовые ряды с неотрицательными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами (без доказательства). Признак сравнения сходимости числового ряда с неотрицательными членами в предельной форме. Частные признаки сравнения (сравнение с обобщенным гармоническим рядом).

  8. Числовые ряды с неотрицательными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами (без доказательства). Признак Даламбера сходимости числового ряда с положительными членами в форме неравенств и в предельной форме. Признаки Раабе и Гаусса (без доказательства).

  9. Числовые ряды с неотрицательными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами (без доказательства). Признак Коши сходимости числового ряда с неотрицательными членами в форме неравенств и в предельной форме. Признаки Раабе и Гаусса (без доказательства).

  10. Преобразование Абеля. Признаки Дирихле и Абеля сходимости знакопеременных рядов. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

  11. Линейное свойство сходящихся рядов. Сочетательное свойство сходящегося ряда (суммирование пачками).

  12. Абсолютно сходящиеся числовые ряды. Теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда.

  13. Теорема о перемножении абсолютно сходящихся рядов.

  14. Теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Функциональные последовательности и ряды

  1. Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Критерий Коши равномерной сходимости. Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда.

  2. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности в терминах супремума модуля разности между членами последовательности и предельной функцией. Критерий равномерной сходимости функционального ряда в терминах супремума модуля остатка.

  3. Мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.

  4. Преобразование Абеля конечных сумм. Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда. Признак Абеля. Признаки Дирихле, Абеля и Лейбница сходимости числовых рядов.

  5. Почленный переход к пределу функциональной последовательности и функционального ряда. Непрерывность суммы равномерно сходящегося функционального ряда, состоящего из непрерывных функций. Теорема Дини.

  6. Почленное интегрирование функциональных последовательностей и рядов.

  7. Почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.

Степенные ряды

  1. Определение степенного ряда. Теорема Коши-Адамара. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

  2. Теорема о радиусе сходимости степенных рядов, полученных почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда. Следствие.

  3. Вещественно аналитические функции. Единственность разложения в степенной ряд. Ряд Тейлора. Пример бесконечно дифференцируемой неаналитической функции.

  4. Необходимое и достаточное условие разложимости функции в степенной ряд в терминах остаточного члена формулы Тейлора. Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд.

  5. Разложение в ряд Тейлора показательной, тригонометрических функций.

  6. Различные формы остаточного члена (интегральная форма, форма Лагранжа, форма Коши).

  7. Биномиальный ряд.

  8. Разложение функций в степенные ряды методами подстановки, почленного дифференцирования и интегрирования. Разложение в ряд Тейлора логарифмической функции. Разложение в степенной ряд гиперболических функций, функции arctg x.

Смотрите также файлы