Файл: Лекция 2 классификация математических моделей. Структура математической модели и ее построение. Все математические.pdf

Лекция № 2 КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.
СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И ЕЕ ПОСТРОЕНИЕ.
Все
математические
модели
по использованному формальному языку можно разбить на аналитические и
имитационные.
Аналитические
–
модели,
в которых используется стандартный математический язык.
Имитационные
–
модели,
в которых использован специальный язык моделирования или универсальный язык программирования.
Аналитические модели могут быть записаны в виде формул или уравнений. Если какой-либо процесс не может быть описан в виде аналитической модели, его описывают с помощью специального алгоритма или программы. Такая модель является имитационной.

Аналитическая модель движения гибкого рабочего органа кустореза
































/
)
sin(
)
(
)
(
,
/
)
cos(
)
cos(
,
/
)
cos(
)
sin(
_
2 1
2 1
1 1
k
k
b
k
k
k
k
k
k
k
k
к
к
k
k
k
k
k
к
к
k
k
k
R
r
t
y
y
x
x
z
R
r
t
t
t
r
y
R
r
t
t
t
r
x







2 1
2 1
2 1
)
(
)
(
)
(









k
k
k
k
k
k
k
z
z
y
y
x
x
R





























).
sin(
)
(
)
(
);
cos(
)
cos(
);
cos(
)
sin(
_
2 1
2 1
1 1
t
y
y
x
x
z
t
t
t
r
y
t
t
t
r
x
b
k
k
k
k
k
k
к
к
k
k
k
к
к
k
k
k





















),
sin(
);
cos(
);
sin(
_
t
r
z
t
r
y
t
r
x
b
k
k
k
k
k
k
k
k
k














),
cos(
);
sin(
t
r
y
t
r
t
u
x
п



Математические модели
Аналитические
Имитационные
Теоретические
Эмпирические
Теоретические
Линейные
Нелинейные
Нелинейные
Статические
Динамические
Динамические
Детерминированные
Стохастические
Детерминированные
Аналитически разрешимые
Численно разрешимые
Численно разрешимые

Аналитические модели разбиваются на теоретические и эмпирические
модели. Теоретические модели отражают реальные структуры и процессы в исследуемых объектах, то есть, опираются на теорию их работы. Эмпирические модели строятся на основе изучения реакций объекта на изменение условий окружающей среды. При этом теория работы объекта не рассматривается, сам объект представляет собой так называемый «черный ящик», а модель –
некоторую интерполяционную зависимость. Эмпирические модели могут быть построены на основе экспериментальных данных, получаемых непосредственно на исследуемых объектах или с помощью их физических моделей.
По форме описания аналитические модели подразделяются на линейные и
нелинейные.
Если все входящие в модель величины не зависят от времени – это статическая
модель объекта или процесса, в противном случае получаем динамическую
модель.
В детерминированных моделях все взаимосвязи, переменные и константы заданы точно, что приводит к однозначному определению результирующей функции. Если часть или все параметры, входящие в модель по своей природе являются случайными величинами или случайными функциями, то модель относят к классу стохастических моделей.
В стохастических моделях задаются законы распределения случайных величин, что приводит к вероятностной оценке результирующей функции.
Если аналитическое исследование может быть доведено до конца, модели называются аналитически разрешимыми. В противном случае говорят о
численно разрешимых аналитических моделях.

СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И ЕЕ ПОСТРОЕНИЕ
Структура технического объекта (ТО) характеризуется качественным и
количественным составом элементов и их взаиморасположением или взаимосвязями. Качественное различие элементов определяется их физическими свойствами.
Количественно
физические свойства элементов выражаются некоторыми скалярными величинами,
называемыми параметрами элементов.
В общем случае изучаемый ТО количественно можно охарактеризовать
внутренними, внешними и выходными параметрами. Одни и те же физические, механические и/или информационные характеристики ТО
в моделях различного уровня и содержания могут выполнять роль как внешних или внутренних, так и выходных параметров.
Внутренние параметры – это параметры элементов, из которых состоит технический объект.
Например, двигатель и трансмиссия являются
элементами автомобиля. Их выходные параметры – мощность двигателя,
передаточные числа трансмиссии, и одновременно это внутренние параметры
автомобиля.
Выходные параметры характеризуют свойства технического объекта, а внутренние параметры – свойства его элементов.

Внешние параметры – это параметры внешней среды, оказывающей влияние на функционирование ТО.
Например, внешней средой для
автомобиля является дорога и воздушная среда.
При проектировании значения выходных параметров или диапазоны их возможного изменения оговаривают в техническом задании на разработку
ТО,
тогда как внешние параметры характеризуют условия его функционирования.
Величины,
характеризующие состояние
ТО
в процессе его функционирования, называют фазовыми переменными (фазовыми
координатами). Вектор фазовых переменных задает точку в пространстве, называемом фазовым пространством. В отличие от геометрического, оно многомерное. Его размерность определяется количеством используемых фазовых координат.
Обычно в уравнениях ММ фигурируют не все фазовые переменные, а только часть из них, достаточная для однозначной идентификации состояния объекта. Такие фазовые переменные называют базисными
координатами. Через базисные координаты могут быть вычислены значения и всех остальных фазовых переменных.

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Построение любой математической модели можно условно представить состоящим из 7 этапов.

1.
Содержательная постановка задачи моделирования: перечень сформулированных в содержательной форме основных вопросов об объекте моделирования, интересующих исследователя.
Основным назначением этого этапа является анализ неопределенностей и формализация понятия цели моделирования.
2.
Концептуальная постановка задачи моделирования – это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (физики,
математики, теоретической механики и т.д.) перечень основных вопросов, интересующих исследователя, и совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования.
На этом этапе строится некоторая идеализированная модель объекта, для чего формулируется совокупность гипотез о поведении объекта, его взаимодействии с
окружающей средой,
изменении внутренних параметров.
Например, могут быть сделаны следующие предположения относительно физических
свойств объекта: невесомый стержень, прямолинейное распространение световых
лучей и т.д.
Таким образом, отбрасываются все факторы и эффекты, которые представляются не самыми существенными при функционировании объекта моделирования, и выделяются наиболее значимые для целей исследования его свойства и связи.

3.
Математическая постановка задачи моделирования – это совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.
На этом этапе осуществляется выбор и
формулировка закона
(вариационного, аналогии, закона сохранения и т.п.), которому подчиняется объект, и его запись в математической форме:
выбирается (или строится) «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме его важнейшие свойства.
4.
Выбор и обоснование метода решения задачи.
Выбор метода исследования в значительной степени зависит от квалификации и опыта членов рабочей группы. Аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей.
5.
Реализация математической модели в виде программы для ЭВМ
(численный эксперимент, аналитические исследования).
При использовании современных математических пакетов (MathCAD, MatLab,
Maple, Excel и т.д.) существенно ускоряется выполнение данного пункта.

6.
Проверка адекватности модели.
Проверка адекватности модели преследует две цели:
1)
Убедиться в
справедливости совокупности гипотез,
сформулированных на этапах концептуальной и математических постановок.
2)
Установить, что точность полученных результатов соответствует точности, оговоренной в техническом задании.
Проверка разработанной модели выполняется путем сравнения с экспериментальными данными о
реальном объекте или с
результатами других хорошо себя зарекомендовавших ММ.
В первом случае говорят о проверке путем сравнения с экспериментом, во втором – о сравнении с результатами решения тестовой задачи.

7.
Практическое использование построенной модели и анализ
результатов моделирования.
Данный этап включает оценку и обобщение результатов вычислений по следующим направлениям:
-
Выявление закономерностей, которые позволяют оптимизировать или уточнить исследуемый процесс;
-
Уточнение области применения модели и оценка возможности ее упрощения с целью повышения эффективности при сохранении требуемой точности;
-
Возможности дальнейшего развития модели;
-
Проведение параметрических исследований с целью определения влияния отдельных характеристик системы или процесса на выходные параметры, которые определяются в результате моделирования.