ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.06.2021
Просмотров: 791
Скачиваний: 1
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора
www.EGEprosto.ru
Задание B7
Страница 6
7.1. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОТСТУПЛЕНИЕ: «СТЕПЕНИ ЧИСЕЛ»
Освежим память когда-то знакомыми сведениями.
Как известно, степени чисел могут быть целыми и дробными, положительными и
отрицательными. Кратко напомним об этом конкретными примерами.
1)
Целая положительная
степень (то есть
1, 2, 3 …
и так далее).
2
2
= 2 ∙ 2 = 4
2
5
= 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32,
5
3
= 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125
10
1
= 10
2)
Целая отрицательная
степень (то есть
−1, −2, −3 …
и так далее).
2
−2
=
1
2
2
=
1
4
2
−5
=
1
2
5
=
1
32
5
−3
=
1
5
3
=
1
125
10
−1
=
1
10
1
=
1
10
В общем случае,
????
−????
=
????
????
????
.
3)
Дробная положительная
степень.
4
1
2
= √4
2
= √4 = 2
8
1
3
= √8
3
= 2
81
1
4
= √81
4
= 3
В числителе дроби не обязательно должна стоять
1
.
В этом случае число нужно понимать так:
4
3
2
= √4
3
8
2
3
= √8
2
3
= √64
3
= 4
81
5
4
= √81
5
4
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора
www.EGEprosto.ru
Задание B7
Страница 7
4)
Дробная отрицательная
степень. Здесь получается комбинация пунктов 2) и 3).
4
−
1
2
=
1
4
1
2
=
1
√4
=
1
2
4
−
3
2
=
1
4
3
2
=
1
√4
3
=
1
√64
=
1
8
Вместе с тем, многие числа, возведенные в дробную степень, не могут быть выражены в
виде целых чисел (и даже простых дробей).
Например,
5
1
2
= √5
,
20
1
3
= √20
3
.
В этих случаях их именно так и записывают, без дальнейшего вычисления.
5)
Любое число в
нулевой степени
равно
1
.
Например,
4
0
= 1
,
10
0
= 1
.
6)
1
в любой степени равно
1
.
Например,
1
5
= 1
,
1
−2
= 1
,
1
99
= 1
.
Следующий набор правил показывает, какие действия можно выполнять с двумя и более
числами, имеющими степени (то есть любыми числами, указанными в предыдущих пунктах).
Обратите внимание, что умножать и делить друг на друга можно только числа
с
одинаковыми основаниями
!
Этот набор правил, позволяющий «собирать и разбирать» выражения, содержащие степень, я
называю
«Показательным конструктором»
. Итак, вот эти формулы:
1)
????
????
∙ ????
????
= ????
????+????
Например,
3
2
∙ 3
3
= 3
2+3
= 3
5
2)
????
????
????
????
= ????
????−????
Например,
3
3
3
2
= 3
3−2
= 3
1
= 3
3)
(???? ∙ ????)
????
= ????
????
∙ ????
????
Например,
(2 ∙ 3)
4
= 2
4
∙ 3
4
4)
(
????
????
)
????
=
????
????
????
????
Например,
(
2
3
)
4
=
2
4
3
4
5)
(????
????
)
????
= ????
????∙????
Например,
(2
3
)
4
= 2
3∙4
= 2
12
Вот такое получилось первое Отступление этой главы – занимательное и бодрящее
.
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора
www.EGEprosto.ru
Задание B7
Страница 8
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В7.1.1. НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ
(
????
????
)
????−????????
=
????
????
Показательные уравнения удобно решать по следующей простой схеме.
1-Й ЭТАП: ПРИВЕСТИ ОБЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ К ОДИНАКОВЫМ ОСНОВАНИЯМ.
В принципе, можно приводить левое основание к правому, правое к левому или оба основания к
какому-либо третьему. А выбирать нужно тот вариант приведения, который проще с точки зрения
вычислений. Зачем создавать себе лишние трудности? Здесь удобнее поработать с правой частью:
1
9
=
1
3
2
=
1
2
3
2
= (
1
3
)
2
Тогда уравнение будет выглядеть так:
(
1
3
)
????−12
= (
1
3
)
2
2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯТЬ «ВЕРХУШКИ», ТО ЕСТЬ СТЕПЕНИ.
???? − 12 = 2; ???? = 2 + 12 = 14
3-ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
Подставляем
???? = 14
в исходное уравнение и проверяем, будут ли равны обе части уравнения
(
1
3
)
14−12
= (
1
3
)
2
=
1
9
Действительно, при
???? = 14
, левая часть уравнения равна правой.
4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.
1
4
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора
www.EGEprosto.ru
Задание B7
Страница 9
В7.1.2. НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ
????
????????−????????
=
????
????????
.
1-Й ЭТАП: ПРИВЕСТИ ОБЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ К ОДИНАКОВЫМ ОСНОВАНИЯМ.
Проще преобразовать правую часть уравнения к основанию
4
:
1
64
=
1
4
3
= 4
−3
Тогда уравнение будет выглядеть так:
4
5????−13
= 4
−3
2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯТЬ «ВЕРХУШКИ», ТО ЕСТЬ СТЕПЕНИ.
5???? − 13 = − 3
5???? = − 3 + 13 = 10
???? =
10
5
= 2
3-ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
4
5∙2−13
= 4
10−13
= 4
−3
=
1
4
3
=
1
64
Проверка показала, что корень
???? = 2
найден правильно.
4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.
2
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора
www.EGEprosto.ru
Задание B7
Страница 10
В7.1.3. НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ
(
????
????
)
???? −????????
= ????????
1-Й ЭТАП: ПРИВЕСТИ ОБЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ К ОДИНАКОВЫМ ОСНОВАНИЯМ.
В этом примере лучше преобразовать обе части уравнения к основанию
8
.
С учетом того, что
1
8
= 8
−1
,
а
64 = 8
2
, получим такое уравнение:
(8
−1
)
????−12
= 8
2
8
−????+12
= 8
2
2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯТЬ «ВЕРХУШКИ», ТО ЕСТЬ СТЕПЕНИ.
− ???? + 12 = 2
???? = 12 − 2 = 10
3-ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
(
1
8
)
10−12
= (
1
8
)
−2
= 1
(18)
2
⁄
= 8
2
= 64
Уравнение решено правильно.
4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.
1
0
А теперь перейдем ко второму типу уравнений, ожидаемых в задании B5.