Файл: 4. 3 Технологии, методическое обеспечение и условия отложенного контроля знаний, умений, навыков обучающихся и компетенций выпускников.pdf

24
6.3
Обработка результатов измерений с учетом
инструментальных погрешностей
Абсолютная погрешность, определенная по таблице, является мак- симальной с вероятностью 100 %, т.е. реальная погрешность никогда не превысит расчетную. Результирующая вероятность при наличии двух со- ставляющих погрешности (инструментальной и случайной) определяется произведением вероятностей. Так как одна из вероятностей (для инстру- ментальной погрешности) равна 1, то общая вероятность будет опреде- ляться случайной составляющей и, следовательно, она равна доверитель- ной вероятности, которую можно взять из таблицы 7.
Однако следует учесть, что интервал, в котором находится истинное значение измеряемой величины, при этом расширится. Для определения нового интервала инструментальную погрешность представляют как слу- чайную, распределенную по равномерному закону.
Среднеквадратическое значение для этой инструментальной по- грешности определяется по формулам для равномерного закона:
σ(Q) = Q /
3
Суммарная среднеквадратическая погрешность запишется:


2 2
)
(
)
(
σ
)
,
ε
(
A
s
Q
Q
Q


Для определения суммарных граничных значений погрешностей
«
Δr» следует вычислить новое значение безразмерного коэффициента «tr»
tr = (
ε
i
+ Q) / (s(A) +
σ(Q)), где ε
i
принимает значение εl, ε2 в зависимости от того, какая граница
(
нижняя или верхняя) определяется. Окончательно граничные значения погрешности запишутся:
Δr = tr · σ(ε, Q).
Соответственно определяются границы доверительного интервала:
Х
1
=
А – Δr
1
,
Х
2
=
А + Δr
2
Задание 4. Определить доверительный интервал для заданной дове- рительной погрешности с учетом инструментальной погрешности, исполь- зуя описанную методику. Данные варианта необходимо взять из таблицы
7. B
се расчеты произвести с использованием распределения Стьюдента.
Результат записать в стандартной форме, указав границы доверительного интервала и доверительную вероятность.

25
6.4
Методические погрешности, возникающие при измерении
вольтметром периодических сигналов сложной формы
В подавляющем большинстве случаев необходимо иметь информа- цию о действующем (среднеквадратическом) значении сигнала сложной формы, поэтому наиболее востребованными являются приборы, измеряю- щие действующее значение напряжения. Однако при конструировании та- ких приборов возникает ряд трудностей, связанных с обеспечением широ- кого частотного диапазона и высокой точности. Для нахождения действу- ющего значения напряжения используют приборы, измеряющие ампли- тудное или средневыпрямленное значение сигнала. На шкале таких прибо- ров указывается действующее значение конкретного сигнала, а именно гармонического. Найти величину действующего значения напряжения по показаниям вольтметра, реагирующего на его амплитудное или средневы- прямленное значение и проградуированного в действующих значениях си- нусоиды, оказывается возможным благодаря тому, что между параметрами сигнала существует связь через коэффициенты амплитуды и формы
K
а
= U
m
/ U
Д
; K
ф
= U
Д
/ U
св
Численные значения этих коэффициентов для сигналов разной фор- мы различны.
В настоящем разделе используются три периодических сигнала: гар- монический, меандр, однополярные прямоугольные импульсы длительно- стью τ с периодом следования Т. Значения коэффициентов амплитуды и формы для этих сигналов приведены в таблице 10.
Таблица 10 –
Значения коэффициентов амплитуды и формы
Вид сигнала
K
а
K
ф
Гармонический 1,41 1,11
Меандр 1,0 1,0
Прямоугольные импульсы

/
T

/
T
Если данные сигналы подать на вольтметры с преобразователями переменного тока в постоянный ток или напряжение, то показания этих приборов будут различными: они определяются типом преобразователя и градуировкой шкалы.
Прибор с преобразователем действующего значения будет показы- вать действующее значение сигнала любой формы. Вольтметр с преобра- зователем средневыпрямленного значения должен показывать средневы- прямленное значение, однако, так как при градуировке на шкале указали действующее значение синусоиды, то показания прибора
U
П
= 1,11 U
СР

26
Вольтметр с амплитудным преобразователем и закрытым входом измеряет амплитуду переменной составляющей сигнала, однако, посколь- ку прибор был отградуирован в действующих значениях синусоиды, то его показания определяются по формуле
U = (U
m
– U
0
) / 1,41, где U
0
=

T
dt
t
u
T
0
)
(
1
– постоянная составляющая сигнала, определяемая как первый член разложения функции сигнала в ряд Фурье.
Задание 5. Определить показания нижеперечисленных приборов, на которые поочередно подаются сигналы с одинаковой амплитудой, но раз- личной формы:
1) вольтметр с преобразователем действующего значения (квадра- тичный детектор);
2) вольтметр с преобразователем средневыпрямленного значения
(
линейный детектор);
3) вольтметр с амплитудным преобразователем и конденсатором, включенным последовательно (амплитудный детектор с закрытым входом).
Все приборы отградуированы в действующих значениях синусои- дального сигнала. Сигналы, которые следует подать, имеют одинаковую амплитуду U
m
= 10 · N, [
В], где N – номер варианта. Рассматриваются три типа сигналов:
1) гармонический сигнал;
2) меандр;
3) однополярные прямоугольные импульсы длительностью τ = 10 · N, мкс и частотой следования 5000 Гц.
При расчете показаний следует иметь в виду, что в импульсном напряжении (сигнал 3) присутствует постоянная составляющая, которая может быть определена как среднее значение сигнала.
Порядок решения: используя коэффициенты амплитуды и формы из таблицы, найти среднее, средневыпрямленное и действующее значения для каждого сигнала, и только после этого,
используя формулы перерасчета показаний вольтметров, определить, что покажет каждый прибор при из- мерении напряжения 1, 2, 3.
6.5
Методические указания к выполнению контрольной работы
Задание 1. Дана выборка экспериментальных данных U
i
= {7,551;
7,562; 7,549; 7,538; 7,525; 7,555; 7,545; 7,545; 7,555; 7,525},
В; Р
д
= 0,5.

27
Среднеарифметическое значение ряда измерений
n
U
X
n
i
i



1
;


10 7,525 7,555 7,545 7,545 7,555 7,525 7,538 7,549 7,562 7,551











X
;
545
,
7 10 45
,
75


X
В.
Среднеквадратичная погрешность измерения
1
)
(
2




n
X
X
S
i
;
0124
,
0 9
00139
,
0


S
Погрешность среднеарифметического результата ряда измерений




n
S
n
n
X
i
X
X
S





1 2
;
00392
,
0 10 0124
,
0


X
S
По таблице нормального закона
X
X
X
X
X






;
0027
,
0 545
,
7 0027
,
0 545
,
7




X
;
548
,
7 542
,
7

 X
По таблице коэффициент Стьюдента t
p,n
= 0,7.
Погрешность измерения
n
р
t
X
S
X
,



00275
,
0 7
,
0 00392
,
0



X
В.
Результат измерения определяем выражением:
X
X
X



,
Р = …, n = ….
Х = 7,545 ± 0,00275 В; Р = 0,5, n = 10.

28
Задание 2. Даны границы интервала в процентном отношении
εl = -0,1, ε2 = 0.
Для нахождения ΔХ воспользуемся пропорцией:





1
ε
%
100
X
X
;






%
1
,
0
%
100 545
,
07
X
00755
,
0 100
)
1
,
0
(
545
,
7 1





X
;
0 100
)
0
(
545
,
7 2



X
Относительный доверительный интервал для конечного числа изме- рений n определим по выражению


n
S
X
S
X
t
X
n
p
/
,




;
926
,
1 00392
,
0 00755
,
0
,




n
p
t
Задание 3. Дана выборка экспериментальных данных U
i
= {7,551;
7,562; 7,549; 7,538; 7,525; 7,555; 7,545; 7,545; 7,555; 7,525},
В; U
k
= 10;
с = 1,1; d = 0,05.
Относительная погрешность




















1
δ
i
K
U
U
d
c
;
11622
,
1 1
05
,
0 1
,
1
δ
551
,
7 10 1



















;
11612
,
1 1
05
,
0 1
,
1
δ
551
,
7 10 2



















;
11623
,
1 1
05
,
0 1
,
1
δ
549
,
7 10 3



















;
11633
,
1 1
05
,
0 1
,
1
δ
538
,
7 10 4



















;
11645
,
1 1
05
,
0 1
,
1
δ
525
,
7 10 5



















;
11618
,
1 1
05
,
0 1
,
1
δ
555
,
7 10 6



















;

29 11627
,
1 1
05
,
0 1
,
1
δ
545
,
7 10 7



















;
11627
,
1 1
05
,
0 1
,
1
δ
545
,
7 10 8



















;
11618
,
1 1
05
,
0 1
,
1
δ
555
,
7 10 9



















;
11645
,
1 1
05
,
0 1
,
1
δ
525
,
7 10 10



















;
 
11627
,
1 1
05
,
0 1
,
1
δ
545
,
7 10



















X
Абсолютная погрешность
%
100
)
(
δ
X
U
i



, где
X
– найдено в задаче 1.
084219
,
0
%
100 545
,
7 11622
,
1 1




В;
084211
,
0
%
100 545
,
7 11612
,
1 2




В;
084222
,
0
%
100 545
,
7 11623
,
1 3




В;
084227
,
0
%
100 545
,
7 11633
,
1 4




В;
084236
,
0
%
100 545
,
7 11645
,
1 5




В;
084216
,
0
%
100 545
,
7 11618
,
1 6




В;
084222
,
0
%
100 545
,
7 11627
,
1 7




В;
084222
,
0
%
100 545
,
7 11627
,
1 8




В;

30 084216
,
0
%
100 545
,
7 11618
,
1 9




В;
084236
,
0
%
100 545
,
7 11645
,
1 10




В.
В математическом пакете MathCAD необходимо построить графики распределения относительной и абсолютной погрешностей.
Задание 4.
Дано с = 1,1; d = 0,05; U
k
= 10
В. Определить доверитель- ный интервал с учетом инструментальной погрешности.
Средняя относительная погрешность


















1
δ
X
U
K
d
c
;
408
,
0 1
1
,
1 05
,
0
δ
545
,
7 10



















Абсолютная максимальная погрешность
%
100
δ X



;
03
,
0
%
100 545
,
7 408
,
0




Среднеквадратичное значение погрешности
3
)
(
σ



;
017
,
0 3
03
,
0
)
(
σ



Суммарная среднеквадратичная погрешность
2 2
)
(
σ
σ
X
S



;
0174
,
0 0039
,
0 017
,
0 2
2
σ



Безразмерный коэффициент
X
i
i
S
X
tr





)
(
σ
ε
;
23
,
0 0039
,
0 017
,
0 00755
,
0 002745
,
0 1





tr
;
131
,
0 0039
,
0 017
,
0 0
002745
,
0 2




tr

31
Граничные значения погрешности
σ



i
i
tr
r
;
347
,
0 509
,
1 23
,
0 1





r
;
198
,
0 509
,
1 131
,
0 2



r
Границы доверительного интервала
i
i
r
A
X



;
347
,
0 545
,
7 1


X
;
198
,
0 545
,
7 2


X
Задание 5.
Дано U
m
= 10 · N, где N – номер варианта.
Для гармонического сигнала
U
m
= 10 · 10 = 100
В;
К
а
= 1,41;
К
ф
= 1,11.
Действующее значение
a
m
d
K
U
U

;
B.
922
,
70 41
,
1 100 

d
U
Среднее значение ф
K
U
U
d
CP

;
B
894
,
63 11
,
1 922
,
70


CP
U
Средневыпрямленное значение
a
m
B
CP
K
U
U
U
)
(
0


;


T
dt
t
U
T
U
0 0
)
(
1
;
0
))
0
cos(
)
π
2
(cos(
π
2 1
0
π
2
))
cos(
(
π
2 1
)
sin(
π
2 1
0 0








t
dt
t
U
T
В;
B
922
,
70 41
,
1 0
100



B
CP
U
Показание прибора
B
CP
П
U
U
11
,
1


;
B
723
,
78 922
,
70 11
,
1



П
U

32
Для сигнала прямоугольной формы (меандр) U
m
= 100
В.
К
а
= 1,0;
К
ф
= 1,0;
Т = 2τ.
Действующее значение
100 0
,
1 100 

d
U
В.
Среднее значение
100 0
,
1 100 

CP
U
В.
Средневыпрямленное значение


T
dt
t
U
T
U
0 0
)
(
1
;
B.
0 2
2 2
0 2
1 2
/
)
(
0 2
/
1 1
1 2
/
2
/
0 0



























m
m
m
m
m
m
m
m
T
T
m
T
m
U
U
U
T
U
T
U
T
U
T
T
T
t
U
T
t
U
T
dt
U
T
dt
U
T
U
B
922
,
70 41
,
1 0
100



B
CP
U
Показание прибора
B
723
,
78 922
,
70 11
,
1



П
U
Для однополярного прямоугольного импульса U
m
= 100
В.
τ = 10 · N; τ = 10 · 10 = 100 мкс; f = 5000 Гц;
f
T
1
 ;
2
,
0 5000 1


T
мс;
3


N
T
t
И
;
15 3
10 0002
,
0



И
t
мкс;
И
t
T
Q

;
3
,
13 000015
,
0 0002
,
0


Q
;
К
а
=
К
ф
= Q ;
К
а
=
К
ф
=
65
,
3 3
,
13

Действующее значение
42
,
27 65
,
3 100 

d
U
В.
Среднее значение
519
,
7 65
,
3 42
,
27


CP
U
В.

33
Средневыпрямленное значение


T
dt
t
U
T
U
0 0
)
(
1
;


T
U
T
U
T
U
T
dt
U
dt
T
U
m
m
m
T
t
m
t
τ
)
τ
(
1 0
1 0
0




















;
50 0002
,
0 10 10 100 6
0





U
В.
461
,
35 41
,
1 50 100



B
CP
U
В.
Показание прибора
362
,
39 461
,
35 11
,
1



П
U
В.
7
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ
1)
Понятие «физическая величина», ее измерения. Классификация физических величин (аналоговые, дискретные, активные, пассивные).
2)
Принципы построения систем единиц физических величин. Ос- новные, производные единицы и их размерности.
3)
Система единиц физических величин СИ, ее отличительные особенности. Основные и дополнительные, кратные и дольные единицы.
4)
Виды измерений – прямые, косвенные, совместные, совокупные.
5)
Методы измерений – непосредственной оценки, метод сравне- ния (разновидности, достоинства, недостатки).
6)
Понятие погрешности измерения. Погрешность систематическая, случайная, промахи; абсолютная, относительная. Пояснить на примерах.
7)
Классификация погрешностей измерения в зависимости от при- чин возникновения: инструментальная, методическая, субъективная и др.
Привести примеры.
8)
Погрешности средств измерений: классификация и способы математического выражения. Пояснить на примерах.
9)
Нормирование погрешности средств измерений. Аддитивная и мультипликативная составляющие. Класс точности.
10)
Систематические погрешности измерения и способы их уменьшения.
11)
Гистограммы и кривые распределения случайных величин, плотность распределения. Генеральная совокупность, выборка.
12)
Распределение случайных погрешностей измерения. Вероят- ность, плотность распределения вероятностей. Нормальный закон распре- деления Гаусса.
13)
Доверительный интервал и доверительная вероятность. Правило трех сигм.
14)
Коэффициент Стьюдента. Алгоритм обработки результатов ряда равноточных измерений.