Файл: Лекция Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.pdf

Лекция 6. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
Скалярное произведение векторов
Скалярнымпроизведениемдвух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.
Скалярное произведение принято обозначать двумя способами: ab и (a, b). Мы будем использовать первое из обозначений:
|
|| | cos
=
ϕ
ab
a b
(1)
Физическийсмыслскалярногопроизведения заключается в следующем: если вектор а изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала вектора b в его конец, то работа А этой силы вычисляется с помощью скалярного произведения:
A =
ab.
Перечислим свойстваскалярногопроизведения.
1.
пр
=
a
ab
a
b .
2.
Свойство коммутативности: ab = ba.
3.
Свойство линейности: (αa + βb)c = α(ac) + β(bc).
Для доказательства этого свойства будем использовать первые два свойства и теорему о проекциях:
(
αa + βb)c =
пр (
)
( пр пр
)
α + β
=
α
+ β
=
c
c
c
c
a
b
c
a
b
=
пр пр
α
+ β
=
c
c
c
a
c
b
α(ac) + β(bc).
4.
Скалярный квадрат является неотрицательным числом: аа > 0, если а – ненулевой вектор, аа = 0, если а – нулевой вектор.
Из этого свойства следует часто применяющаяся формула для вычисления длины вектора:
=
a
aa (2)
5.
ab> 0 тогда и только тогда, когда угол
ϕ между векторами острый; ab < 0 тогда и только тогда, когда угол
ϕ тупой; ab = 0 тогда и только тогда, когда а и b перпендикулярны.
Пусть теперь векторы а и b заданы своими координатами: а
)
,
,
(
1 1
1
z
y
x
и
b
)
,
,
(
2 2
2
z
y
x

Теорема.
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:
1 2 1
2 1 2
x x
y y
z z
=
+
+
ab
(3)
Доказательство.
Так как а =
1 1
1
x
y
z
+
+
i
j
k
и b =
2 2
2
x
y
z
+
+
i
j
k
,
, то, используя свойство линейности, вычисляем
1 1
1 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(
)(
)
x
y
z
x
y
z
x x
x y
x z
y x
y y
y z
z x
z y
z z
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
ab
i
j
k
i
j
k
ii
ij
ik
ji
jj
jk
ki
kj
kk
Поскольку векторы i, j и k взаимно перпендикулярны, то ij = 0, jk = 0 и ik= 0, а так как |i| = |j| = |k| = 1, то ii = 1, jj = 1, kk = 1. Таким образом, получаем
1 2 1
2 1 2
x x
y y
z z
=
+
+
ab
Теорема доказана.
В качестве следствия из этой теоремы получаем формулу для вычисления косинуса угла
ϕ
между векторами aи b:
1 2 1 2 1 2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
2 2
2
cos
x x
y y
z z
x
y
z
x
y
z
+
+
ϕ =
=
+
+
+
+
ab
a b
(4)
Пример.
Векторы
AB
= 2
i– 6j, BC = i + 7j и CA = –3i – j образуют треугольник
АВС.
Найти углы этого треугольника.
Пусть
α – угол между векторами
AB
и AC = 3i+ j. Найдем скалярное произведение этих векторов по формуле (3):
0 6
6
=
−
=
⋅ AC
AB
Таким образом, векторы
AB
и AC перпендикулярны и
2
π
α =
Пусть
β
– угол между векторами
BA
= –
2
i + 6j и BC . Тогда по формуле (4)
2 42 40 2
cos
4 36 1 49 40 50 5
BA BC
BA BC
⋅
− +
β =
=
=
=
+
+
Аналогично находим косинус третьего угла:
3 7 10 1
cos
9 1 1 49 10 50 5
CA CB
CA CB
⋅
+
γ =
=
=
=
+
+
Векторное произведение векторов
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов (a, b, c), приведенных к общему началу, называется правой, если, находясь внутри трехгранного угла, образованного этими векторами, поворот от а к b, от b к c, от c к а виден против часовой стрелки
(
рис. 1). В противном случае тройка векторов называется левой (рис. 2).

Рисунок 1 - правая тройка Рисунок 2 - левая тройка
Векторнымпроизведением векторова и b называется вектор с, удовлетворяющий условиям:
1)
|c| = |a|⋅⋅⋅⋅|b| sin ϕ, где ϕ – угол между векторами а и b;
2)
вектор с перпендикулярен векторам аи b;
3)
тройка векторов (а, b, c) является правой.
Для векторного произведения, также как и для скалярного, используются два обозначения: а
× b и [a, b]. Мы будем придерживаться первого: с = а× b.
Физическийсмыслвекторногопроизведения: если вектор b изображает силу, приложенную в некоторой точке М, а вектор а идет из точки О в точку М, то вектор
×
a b
представляет собой момент силы b относительно точки О.
Свойства векторного произведения.
1.
Векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда
0
× =
a b
, в частности,
0
× =
a a
В самом деле, коллинеарность равносильна тому, что угол
ϕ между векторами аи b равен 0 или
π, следовательно, sin ϕ = 0. А это означает, что
0
× =
a b
2.
Если векторы а и b привести к общему началу, то длина их векторного произведения |а
× b| будет равна площади S параллелограмма, построенного на векторах а
и b (см. рис. 3) (геометрическийсмыслвекторногопроизведения). Это очевидно, так как площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон на синус угла между ними: S = |a|
⋅|b| sin ϕ.

Рисунок 3 3.
Свойство антикоммутативности: а × b= – b × a.
Для доказательства обозначим с = а
× b и d = b × a. Векторы си dколлинеарны, так как они перпендикулярны векторам аи b. Кроме того, ясно, что |c| = |d|. Таким образом, верно либо с = d, либо c = – d. Но, по третьему условию, обе тройки векторов (а,
b, c) и (b, a, d) – правые. При с = dэтого быть не может.
Следовательно, c = – d и а
× b = – b × a.
4.
Числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения:
λа × b = λ(а × b), а × λb = λ(а × b).
Докажем первое из этих равенств. Пусть с =
λа × b и d = λ(а × b). Если ϕ – угол между векторами а и b, то угол между векторами
λа и b равен либо ϕ, либо π – ϕ. В любом случае, sin
ϕ = sin(π – ϕ). Следовательно, длины векторов си d равны:
|
c| = |d| = |
λ|⋅|a|⋅|b| sin ϕ.
Далее, так как а коллинеарен
λа, то си dколлинеарны. Осталось показать, что си d одинаково направлены. Если
λ > 0, то а направлен также, как λа и, следовательно, си d имеют одинаковое направление. Если
λ < 0, то аи λапротивоположно направлены, тогда векторы а
× b и λа × b противоположно направлены, но λ(а× b) и λа × b будут уже направлены одинаково. Таким образом, c = d.
Второе равенство доказывается с использованием антикоммутативности: а
× λb = –λb× a = –λ(b× a) = λ(а× b).
5.
Свойство дистрибутивности:
(
a + b)
× c = a× c + b× c, a ×(b + c) = a × b + a × c.
Составим таблицу векторного умножения базисных векторов i, j и k. При этом учитываем, что эти векторы взаимно перпендикулярны, имеют единичную длину и тройка
(
i, j, k) – правая. Получим:

i
× j = k, j × i = – k, i × i = 0,
j
× k = i, k × j = – i, j × j = 0,
k
× i = j, i × k = – j, k × k = 0.
Используя эту таблицу, можно получить следующую теорему.
Теорема.
Векторное произведение векторов а
)
,
,
(
1 1
1
z
y
x
и b
)
,
,
(
2 2
2
z
y
x
вычисляется по формуле:
a
× b =
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
(
)
(
)
(
)
y z
y z
z x
z x
x y
x y
−
+
−
+
−
i
j
k (5)
Для координатной записи векторного произведения удобно использовать символы определителя 2-го и 3-го порядков из курса линейной алгебры:
a
× b =
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
y
z
x
z
x
y
y
z
x
z
x
y
−
+
i
j
k (6) или
a
× b =
1 1
1 2
2 2
x
y
z
x
y
z
i
j
k
(7)
Пример.
Вычислить площадь треугольника АВС, если
AB
=т + 2п, AC =т – 3п,
|
m| = 5, |n| = 3, угол между векторами т и п равен
6
π
По свойству 2 векторного произведения имеем
АС
АВ
S
S
ABC
×
=
=
2 1
2 1
парал.
Вычисляем
AC
AB
×
= (т + 2п)(т – 3п) = т
×т + 2п×т – 3m × n – 6п×п.
Так как т
×п = – п×т, т×т = 0, п×п = 0, то
AC
AB
×
= 5п
×т. Таким образом,
1 5
5 1
75 5
sin
3 5 2
2 6
2 2
4
ABC
S
π
=
⋅ ⋅ ×
=
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
=
n m
n m
Смешанное произведение векторов
Смешаннымпроизведением трех векторов a, b и с называется скаляр (а
× b)c.
Следующая теорема выясняет геометрическийсмыслсмешанногопроизведения.
Теорема.
Смешанное произведение (а
× b)c трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b и с, приведенных к общему

началу, и взятому со знаком «+», если тройка (a, b, с) правая, и со знаком «–», если тройка (a, b, с) левая.
Доказательство.
Пусть S – площадь параллелограмма, построенного на векторах а
и b. Тогда по второму свойству векторного произведения
S = |
a
× b|.
Рисунок 4
По определению скалярного произведения имеем (см. рис. 4):
(а
× b)c= |a × b|⋅|c| cos
ϕ
, где
ϕ – угол между векторами a × b и c. Если (a, b, с) – правая тройка, то угол ϕ – острый, как это изображено на рисунке 4. Так как вектор a
× b перпендикулярен векторам а и b, т.е. перпендикулярен плоскости основания параллелепипеда, то он параллелен высоте h, и, следовательно, |c|cos
ϕ = h. Таким образом, получаем (а× b)c= S⋅h
= V.
Если (a, b, с) – левая тройка, то угол
ϕ
– тупой, векторы a
× b и c будут лежать по разные стороны от основания параллелепипеда и h = |c| cos(
π – ϕ) = – |c| cos
ϕ. Тогда (а× b)c= – S⋅h = – V. Теорема доказана.
Следствие.
Справедливо равенство: (а
× b)c = a(b × c).
В самом деле, левая и правая части этого равенства равны объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c, причем знаки также будут совпадать, так как тройки (a, b, с) и (b, c, a) либо обе левые, либо обе правые.
В связи с этим смешанное произведение принято обозначать abс = (а
× b)c =
a(b
× c).
Заметим, что тройка векторов меняет свою ориентацию (т.е. будучи левой становится правой, и наоборот), если в ней переставляются любые два вектора. Поэтому справедливы равенства: abс = – baс = – сbа = –acb.

Теорема.
Если три вектора определены своими координатами: a
)
,
,
(
1 1
1
z
y
x
,
b
)
,
,
(
2 2
2
z
y
x
и c
)
,
,
(
3 3
3
z
y
x
, то смешанное произведение вычисляется по формуле:
abc
=
3 3
3 2
2 2
1 1
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
(8)
Доказательство.
Так как
×
a b
=
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
(
)
(
)
(
)
y z
y z
z x
z x
x y
x y
−
+
−
+
−
i
j
k и
c =
3 3
3
x
y
z
+
+
i
j
k , то
(
)
=
×
abc
a b c
=
3 1
2 2
1 3
1 2
2 1
3 1
2 2
1
)
(
)
(
)
(
z
y
x
y
x
y
x
z
x
z
x
z
y
z
y
−
+
−
+
−
Используя выражения для вычисления определителей 2-го и 3-го порядков, получаем
abc
=
3 2
2 1
1 3
2 2
1 1
3 2
2 1
1
z
y
x
y
x
y
z
x
z
x
x
z
y
z
y
+
−
или
abc
=
3 3
3 2
2 2
1 1
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Теорема доказана.
Используя смешанное произведение, можно сформулировать простое и удобное условиекомпланарноститрехвекторов.
Тривектора
,
a b
и c компланарнытогдаитолькотогда, когдаихсмешанное произведениеравнонулю.
Используя последнюю теорему, можно сформулировать условие компланарности в координатах.
Тривектора
,
a b
и c компланарнытогдаитолькотогда, когдаопределитель,
составленныйизихкоординат, равеннулю:
3 3
3 2
2 2
1 1
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
= 0 (9)
Пример.
Вычислить объем тетраэдра, построенного на трех векторах
(3,1, 2)
−
p
,
( 4, 0, 3)
−
q
и
(1, 5, 1)
−
r
и выяснить, какую тройку образуют эти векторы: левую или правую?

Найдем смешанное произведение этих векторов по формуле (8):
pqr
=
6 1
5 1
3 0
4 2
1 3
−
=
−
−
−
Так как
0
<
pqr
, то тройка
( , , )
p q r
– левая. Имеем парал
V
= 6.
Найдем объем тетраэдра:
1 6
6 1
6 1
парал тетр
=
⋅
=
= V
V