Файл: ЛР №2 - Биномиальное распределение.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.08.2021

Просмотров: 296

Скачиваний: 8

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1


Лабораторная работа №2. Биномиальное распределение.


Лабораторная работа выполняется в Excel 2007.

Цель работы – дать навыки построения биномиального закона распределения и вычисления числовых характеристик средствами Excel.


Если вероятность наступления события в схеме испытаний Бернулли равно p, то вероятность того, что, что при n испытаниях событие появится ровно m раз, определяется формулой Бернулли:



, где .



Закон распределения случайной величины X, которая может принять n + 1 значение (0, 1, 2, …, n), описываемый формулой Бернулли, называется биномиальным.



Задание. В серии одинаковых, независимых n испытаний вероятность успеха равна p. Построить ряд распределения, многоугольник и функцию распределения случайной величины x числа успехов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Пусть задано n = 7, p = 0,43



Найти вероятность: - трех успехов ;

- хотя бы одного успеха ;

- хотя бы одного успеха ;

- не более четырех успехов ;

- от двух до пяти успехов



Решение.

1. Построение ряда распределения случайной величины x – числа успехов в серии n испытаний.


Введите метки ячеек A1 – n (число испытаний);

B1 – p (вероятность успеха);

C1 – q (q = 1- p, вероятность неудачи).


Заполните ячейки A2, B2, C2 (соответственно n = 7, p = 0,43, q = 1 – p) как показано на рис. 1, используя при этом абсолютную адресацию (в ячейку B2 введите формулу = 0,43, а в ячейку C2 введите формулу =1–$B$2).

Введите метки ячеек A4 – x (число успехов)

B4 – p (вероятность успеха);

C4 – F(x) (функция распределения).

Shape2Shape1



Рис. 1. Исходные данные


Массив A5:A12 содержит значения случайной величины x (число успехов).


В ячейку B5 занесите формулу биномиального распределения

,

используя функцию Excel ФАКТР (В Главном меню Excel → Формулы → Вставить функцию → Мастер функций – шаг 1 из 2 →категория Математические → ФАКТР → ОК).

Рис. 2. Строка формул с введенной формулой

В результате вычислений в ячейке B5 появится значение вероятности p = 019549 события x = 0, рис.3.



Рис. 3. В ячейке B5 – вероятности p = 019549 появления случайной величины x = 0 для биномиального распределения

Размножьте результат вычислений вероятности p в ячейки B6:B12.


Полученный таким образом ряд распределения показан на рис. 4 (ячейки B5:B12).


2. Построение многоугольника распределения. Выделите оба столбца исходных данных (A4:A12, B4:B12) вместе с метками x и p. В главном меню выберите закладку Вставка → График → Все типы диаграмм…→Точечная, и далее – график с точками, соединенными прямыми линиями. ОК.


Полученный график отформатируйте, как показано на рис.4.



Рис. 4. Ряд распределения (ячейки B5:B12) и многоугольник распределения

3. Построение функции распределения. Выделите ячейку C5. В главном меню Excel выберите закладку Формулы → Вставить функцию → в диалоговом окне Мастер функций – шаг 1 из 2 в категории Статистические → ВЕРОЯТНОСТЬ. ОК.



Рис. 5. Диалоговое окно для выбора функции ВЕРОЯТНОСТЬ.

В открывшемся диалоговом окне Аргументы функции ВЕРОЯТНОСТЬ заполните поля ввода как показано на рис. 6:

X_интервал – $A$5: $A$12, столбец адресов ячеек переменной x;

Интервал_вероятностей - $B$5: $B$12, столбец адресов ячеек переменной p;

Нижний_предел - $A$5, адрес ячейки переменной x1;

Верхний_предел – A5, адрес ячейки переменной x1. ОК.




Рис. 6. Диалоговое окно функции ВЕРОЯТНОСТЬ с заполненными полями ввода






Рис. 7. В ячейке C5 результат вычисления вероятности P(X ≤ 0) события x ≤ 0



Размножьте результат вычисления функции распределения F(x) в ячейки C6:C12.



Рис. 8. В ячейках C5:C12 значения функции распределения


В нашей учебной литературе (ЭУМК, контент, тема 4, с. 2, определение 4.1.2.) функцией распределения случайной величины X называется функция действительной переменной x, значение которой при каждом x равно вероятности выполнения неравенства , то есть .


В Excel, как и во всей англоязычной литературе, функцией распределения случайной величины X называется функция действительной переменной x, значение которой при каждом x равно вероятности выполнения неравенства , то есть .


С учетом определения, которое дается в нашей учебной литературе, можно записать функцию распределения и построить ее график:





К сожалению Excel не располагает процедурой построения функции распределения, поэтому в отчете ее придется строить вручную.



Shape3

p

Shape6Shape7Shape4Shape51

Shape8Shape9Shape100,97 0,99

0,9

Shape11Shape120,87

0,8


0,7 0,65

Shape13Shape14

0,6


0,5


0,4 0,36

Shape15Shape16

0,3

0,2

0,12

Shape18Shape170,1 0,02

Shape21Shape20Shape19x


0 1 2 3 4 5 6 7

Рис. 9. График функции распределения .



Кончики стрелок обозначают те точки, которые не принадлежат графику функции распределения .



4. Вычисление математического ожидание, дисперсии, среднего квадратического отклонения.


Математическое ожидание , дисперсия и среднее квадратическое отклонение вычисляются по формулам:

- математическое ожидание


- дисперсия , где .


- среднее квадратическое отклонение .


Для биномиального распределения , .


Для вычисления математического ожидания необходимо воспользоваться формулой СУММПРОИЗВ. Выберите ячейку A16, в которой будет вычислено математическое ожидание, и пометьте ее M(X).


В ячейку A16 поместите формулу



Рис. 10. В ячейке A16 – результат вычисления математического ожидания


Для использования функции СУММПРОИЗВ в главном меню Excel следует выбрать последовательно закладки Формулы → Вставить функцию → в диалоговом окне Мастер функций – шаг 1 из 2 в категории Математические → СУММПРОИЗВ → ОК (рис. 11).



Рис. 11. Диалоговое окно выбора функции СУММПРОИЗВ

Заполните поля ввода диалогового окна СУММПРОИЗВ как показано на рис. 12.


Рис. 12. Диалоговое окно функции СУММПРОИЗВ с заполненными полями ввода


На рис. 10 в ячейке A16 показан результат вычисления математического ожидания .


Для вычисления дисперсии в ячейку B16 поместите формулу

, где .


Для этого вновь воспользуйтесь функцией СУММПРОИЗВ.




Рис. 13. В поле ввода Массив1 введен массив A5:A12^2, В поле ввода Массив2 введен массив B5:B12



В ячейке B16 появится результат вычисления дисперсии .

В ячейку C16 поместите формулу КОРЕНЬ(B16). Результат вычислений даст значение среднего квадратического отклонения .





Рис. 14. Результат вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения



Для биномиального распределения , .



Рис. 15. В ячейках A19 и B19 результат вычисления математического ожидания и дисперсии для биномиального распределения ,




5. Вычисление вероятностей


- трех успехов ;

- хотя бы одного успеха ;

- хотя бы одного успеха ;

- не более четырех успехов ;

- от двух до пяти успехов


Ряд распределения (рис. 1) позволяет сразу найти вероятность появления ровно трех успехов


Вычисление остальных вероятностей , , , выполняется суммированием, с использованием формулы СУММ.

, ,



Рис. 16. Суммирование содержимого ячеек B6:B12 для вычисления вероятностей


,



Рис. 17. Суммирование содержимого ячеек B5:B9 для вычисления вероятности



.




Рис. 18. Суммирование содержимого ячеек B7:B10 для вычисления вероятности



Рис. 19. Результаты вычисления вероятностей , , , .


Табличный процессор Excel имеет в своей библиотеке встроенных функций, в разделе Статистические функции, встроенную функцию БИНОМРАСП, которая вычисляет значение функции распределения или функции вероятности – ряд распределения.



Повторите вычисления ряда распределения (функции вероятности) и функцию распределения случайной величины x числа успехов, воспользовавшись встроенной функцией БИНОМРАСП.

Заполните ячейки A26:A33 значениями случайной величины x от 0 до 7, как показано на рис. 22.

В ячейку B26 внесите формулу



Для этого в главном меню Excel выберите закладку Формулы → Вставить функцию → Мастер функций – шаг 1 из 2 →категория Статистические → БИНОМРАСП → ОК.


Рис. 20. Выбор функции БИНОМРАСП


Заполните поля ввода панели Аргументы функции БИНОМРАСП как показано на рис. 21.

Для построения ряда распределения (функции вероятностей по терминологии Excel) следует установить 0 (ложь). Нажмите клавишу ОК.



Рис. 21. Заполнение полей ввода функции БИНОМРАСП для построения ряда распределения


В ячейке B26 появится значение вероятности успеха P(x = 0) = 0,019549

Размножьте содержимое ячейки B26 в ячейки столбца B26:B33.




Рис. 22. Ряд распределения p - ячейки B26:B33 (функция вероятностей) и функция распределения F(x) - ячейки С26:С33


Для построения функции распределения заполните поля ввода панели Аргументы функции БИНОМРАСП как показано на рис. 23. Нажмите клавишу ОК.



Рис. 23. Заполнение полей ввода функции БИНОМРАСП для построения функции распределения F(x) в ячейках С26:С33


В ячейке С26 появится значение функции F(x) = 0,019549

Размножьте содержимое ячейки С26 в ячейки столбца С26:С33.


Результаты всех вычислений показаны на рис. 22.

Сравните результаты предыдущих вычислений на рис.8, с вычислениями, полученными с использованием функции БИНОМРАСП, рис. 22.


Результаты вычислений в Excel показаны в приложении.



Приложение 1.













Приложение 2.

Отчет

по лабораторной работе №2 “ Биномиальное распределение”

Группа 190-1. Мельников Иван Л. Вариант №5.




Задание. В серии одинаковых, независимых n испытаний вероятность успеха равна p. Построить ряд распределения, многоугольник и функцию распределения случайной величины x числа успехов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Найти вероятность:

- трех успехов ;

- хотя бы одного успеха ;

- более двух успехов ;

- не более четырех успехов ;

- от двух до пяти успехов

Пусть задано n = 7 p = 0,43






Рис. 1. Результаты вычислений в Excel



Рис. 2. Результаты использования функции БИНОМРАСП






Функция распределения вероятностей биномиального закона














Shape22

p

Shape25Shape26Shape23Shape241

Shape27Shape28Shape290,97 0,99

0,9

Shape30Shape310,87

0,8


0,7 0,65

Shape32Shape33

0,6


0,5


0,4 0,36

Shape34Shape35

0,3

0,2

0,12

Shape360,1 0,02

Shape40Shape39Shape38Shape37x


0 1 2 3 4 5 6 7


Рис. 2. График функции распределения .





Дата сдачи работы:


Проверил:


















Приложение 3.

Варианты лабораторной работы №2


Вариант 1. Задано n = 7, p = 0,43

Построить ряд распределения, многоугольник и функцию распределения случайной величины x числа успехов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Найти вероятность:

, , , , .


Вариант 2. Задано n = 8, p = 0,3

Построить ряд распределения, многоугольник и функцию распределения случайной величины x числа успехов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Найти вероятность:

, , , , .


Вариант 3. Задано n = 10, p = 0,45

Построить ряд распределения, многоугольник и функцию распределения случайной величины x числа успехов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Найти вероятность:

, , , , .


Вариант 4. Задано n = 9, p = 0,35

Построить ряд распределения, многоугольник и функцию распределения случайной величины x числа успехов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Найти вероятность:

, , , , .


Вариант 5. Задано n = 8, p = 0,55

Построить ряд распределения, многоугольник и функцию распределения случайной величины x числа успехов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Найти вероятность:

, , , , .


Вариант 6. Задано n = 7, p = 0,45

Построить ряд распределения, многоугольник и функцию распределения случайной величины x числа успехов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Найти вероятность:

, , , , .



Вариант 7. Задано n = 9, p = 0,35

Построить ряд распределения, многоугольник и функцию распределения случайной величины x числа успехов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Найти вероятность:

, , , , .


Вариант 8. Задано n = 10, p = 0,45

Построить ряд распределения, многоугольник и функцию распределения случайной величины x числа успехов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Найти вероятность:

, , , , .


Вариант 9. Задано n = 8, p = 0,55

Построить ряд распределения, многоугольник и функцию распределения случайной величины x числа успехов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Найти вероятность:

, , , , .


Вариант 10. Задано n = 11, p = 0,57

Построить ряд распределения, многоугольник и функцию распределения случайной величины x числа успехов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Найти вероятность:

, , , , .


Вариант 11. Задано n = 11, p = 0,47

Построить ряд распределения, многоугольник и функцию распределения случайной величины x числа успехов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Найти вероятность:

Смотрите также файлы