«Построение математической модели механической системы на примере задачи о траектории полета камня».

Выполнил: СГМ-181 Ушаков Н.И.

Принял: д.т.н. проф. Сидоров В.Н.

Москва 2023

Кафедра «Строительные конструкции, здания и сооружения»

Дисциплина «Теоретические основы расчёта конструкций зданий и сооружений»

Реферат

• Наука до Ньютона, в современном смысле, была неполноценна. В ней отсутствовала четкая, универсальная методика научного исследования. Безусловно накоплен огромный пласт экспериментальных данных из разных сфер человеческой деятельности. Ученые решали сложнейшие задачи, зачастую применяя методы, гениальность которых поражает до сих пор. Но гениальные открытия носили эпизодический характер. Пока не появился человек, написавший труд, давший в руки ученым четкий математический аппарат, ставший на столетия вперед основным инструментом научного познания.
• А Именно Ньютона, В конце 12 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал, что Путь и скорость связаны между собой формулой: V(t)=S’(t)

• Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания. Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу.
• К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси ОX.

• заложившие основы дифференциального исчисления с практическим выходом в сторону механики сделали последнюю первой в истории настоящей научной теорией. Законами механики, где-то успешно, где-то не очень, стали пытаться объяснять все явления, происходящие в природе, от оптики до электричества, от термодинамики до строения вещества. Время расставила всё на свои места на смену механистическим принципам пришли другие теории, да и сама механика изрядно эволюционировала. Но вместе с тем, механика, как никакая другая дисциплина наглядно и подробно иллюстрирует всё то, о чём мы будем говорить ниже.

Задача о траектории брошенного камня

---

Пусть камень массой m, брошен в гравитационном поле с высоты в горизонтальном направлении (т.е. в направлении, перпендикулярном действию гравитационной силы) со стартовой скоростью Vгор.

В этой задаче будем полагать, что силы сопротивления воздуха отсутствуют.

Построим математическую модель траектории полета брошенного камня.

Сформулируем цель задачи в математических терминах.

Предстоит найти вид функции y(x), чей график с учётом условий задачи, а также принимаемых по ходу её постановки и решения гипотез и допущений, совпадёт с траекторией брошенного камня. Будем строить траекторию в покоящейся декартовой системе координат. Пусть она имеет начало в точке О, с координатами (0,0).

Сделаем предположение, что в каждый момент своего полёта камень двигается в направлении касательной к траектории движения. Обозначим скорость его движения в любой точке траектории за V.

В полёте скорость камня V будет возрастать и менять направление из-за увеличения её вертикальной составляющей - скорости свободного гравитационного падения Vграв.

Попробуем построить математическую модель траектории брошенного камня в виде уравнения относительно искомой функции y(x).

Т.е. решением такого уравнения и будет функция y(x).

Основной идеей нашей математической модели траектории брошенного камня станет сохранение направления движения камня в любой точке траектории его полёта,

всегда по касательной

к траектории падения камня.

А тангенс наклона касательной в каждой точке траектории мы вправе вычислять из соотношения:tga =



Можем перейти к дифференциальной зависимости двух ортогональных составляющих вектора скорости. Воспользовавшись геометрическим толкованием понятия первой производной, запишем:=

Из этой зависимости мы и получим искомое уравнение относительно функции y(x).

Горизонтальная составляющая скорости летящего камня V гор - это константа, заданная в условии нашей задачи.

Величина вертикальной составляющей скорости летящего камня V грав увеличивается с потерей камнем высоты, а значит, безусловно, зависит от пройденного им расстояния в направлении ординаты y.

 

• О законе состояния и его роли в математической модели.
• Чтобы получить формулу для определения V грав в любой точке полёта (связать
• V грав с ординатой камня y), нужно сформулировать полезное в этом случае правило, которому следует обладающее массой падающее и ускоряющееся тело.
• Это правило должно установить
• взаимосвязь между используемыми в задаче количественными
• характеристиками падающего тела.
• Это его т.н.
• закон состояния математической модели.
• Закон состояния может быть
• установлен, например, из экспериментальных наблюдений,
• проведенных с камнем, или аргументирован неким заранее изученным и проверенным законом природы.
• Таким законом состояния падающего тела в этой задаче станет закон сохранения энергии:

---

Закон сохранения энергии:

В любой точке траектории в принятой неподвижной (инерциальной) системе координат xOy

энергия движущегося тела массой m сохраняется постоянной:

Здесь:

g – ускорение свободного падения тела,

Vграв – гравитационная составляющая скорости тела, набранной в принятой системе координат,

h – высота положения камня относительно некоторой зафиксиров/нной в системе xOy точки (например, точки C на рисунке). При этом, очевидно:

h = H – y,

где H – ордината (по оси Oy) выбранной фиксированной точки C.

Э =+ =m*g*h+=const

 

Падая и набирая скорость в поле постоянных гравитационных сил, тело теряет потенциальную энергию, приобретая в таком же количестве кинетическую, т.е. к любому моменту его положения:

Поскольку в нашей задаче m, g и H – константы: изменение (m× g× H) = 0,

и мы можем написать:

Далее, из последнего равенства следует, что в любом положении тела в координатах x и y, при начальной скорости падения тела (скорости Vграв в точке O) равной нулю:

изменение (Э) = (m*g*(H –y))+ (=0

 

изменение (m*g*y) = (

 

=g*y

 

из равенства

получили формулу для

вычисления гравитационной составляющей скорости полёта камня в зависимости от высоты его положения у:

а выстраиваемая зависимость

с учётом

приобретает вид дифференциального уравнения:

=g*y

 

=

 

=

 

=

 

=

 

Математическая модель траектории полёта брошенного камня

Таким образом, мы получили математическую модель траектории полёта брошенного камня.

Из решения этого уравнения

мы получим вид функции y(x), удовлетворяющей этому уравнению. График функции y(x) станет

достаточно близким приближением траектории брошенного камня.

Приступим к решению этого уравнения. Сначала для удобства решения упростим это уравнение, обозначив в нём:

запишем это уравнение в более простом виде

=

 

=

 

=

 

Перепишем уравнение

в виде:

затем проинтегрируем обе его части:

и получим

где С – константа интегрирования.

=

 

=

 

=

 

или =*k*(x+C)

 

Теперь, получив общее решение задачи, определим значение константы С, соответствующее исходным условиям постановки нашей задачи. Поскольку в условии задачи мы совместили стартовую точку полёта камня с началом принятой декартовой системы координат, мы вправе считать, что

---

при x = 0 должно быть y = 0

0=**

 

Нас интересует действие уравнения

только в положительной четверти системы координат xOy. Поэтому, мы можем записать его решение, возведя его в квадрат:

=*k*(x+C)

 

Полученное уравнение должно описывать искомую траекторию камня при любом его положении справа от точки старта, т.е. при x ≥ 0.

Оно должно быть справедливо и в точке x = 0, y = 0. Значит, если подставить это принятое граничное условие в общее решение:

y=**

 

k 0,

 

=

 

0=**

 

0=**

станет тождеством,

только если

 

Поскольку мы приняли

С=0,

Таким образом, согласно условиям и допущениям задачи, а также введенному обозначению k, траекторией брошенного камня является парабола, а именно график функции вида y = y(x):

Итак, уравнение

и его частное решение (при С = 0) y(x) представляют математическую модель траектории полета брошенного тела.

 

y=**

 

функции

Свое решение задачи о траектории падающего камня И.Ньютон считал принципиальным.

Целью его было построение математической модели траектории движения одной планеты вокруг другой. А это, очевидно, задача о брошенном камне, но в полете, с уже изменяющимся (в декартовой системе координат) направлением вектора гравитации Vграв.

Спасибо за Внимание !!!

---

Смотрите также файлы

• Вопрос Преобразования, проводимые в системе реинжиниринга бизнеспроцессов, характеризуются.pdf

• Курсовая работа Испытание при приеме на работу.doc

• Тема Кристаллическое строение твердых тел.docx

• Практическая работа Тема Функциональные возможности оборудования центров Точка роста иего использование при проектировании учебных занятий в системе основного и дополнительного образования.docx

• Правила эксплуатации автоматических сейфов пао Сбербанк.docx