Файл: Линейная алгебра.docx

Скачать файл (0,07Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Решение задач

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.11.2023

Просмотров: 18

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

	3	0	0
А=	2	7	-4
	2	-2	5

Линейная алгебра

Задача 1

1.Из определения собственного вектора v соответствующего собственному значению λ: Av=λv
Тогда:Av−λv=(A−λE)⋅v =0
Уравнение имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда det(A−λE)=0

	3-λ	0	0
det(A−λE) =	2	7-λ	-4	= - +15 −63λ+81=−(λ−9)⋅( −6λ+9)=−(λ−9)⋅(λ−3)2=0;
	2	-2	5-λ

Тогда:

=9;

=3.
2.Для каждого λ найдем его собственные вектора:

;

Av=λv ;

(A−λE)⋅v=0;

Тогда имеем однородную систему линейных уравнений, решим ее методом Гаусса:

-6	0	0
2	-2	-4
2	-2	-2

1	0	0
0	1	2
0	0	0

=0;

=0.

Из уравнения

=0 найдем переменную

Из уравнения

=0 найдем переменную

=0;

.

Ответ: :

=9;

=3;

=0;

.
Задача 2

Решение:

Метод Гауса

Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:

→

→
→

Получим систему:

Решим уравнение

найдем перменнную

Решим уравнение

найдем

Решим уравнение

найдем

;

Даную систему уравнений невозможно решить методом Крамерра или средствами матричного исчесления т.к. полученаая из системы уравнений расширеная матрица не квадратная.
Задача3

Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы и решим методом Гаусса:

→

из этого получим систему:

Найдем переменную

)

Найдем переменную

общее решение.
Ответ:

Векторная алгебра
Задача 1
Найдем значение вектора

Используя формулу:

составим уравнение плоскости P: 4*(x+3)-3*(y+4)-2*(z-0)=0;

4x-3y-2z=0.

Найдем нормерующий множитель используя формулу:

, где А=4; В=3; С=2.

Умножим обе части общего уравнения плоскости на

получим нармальное уравнение плоскости:

;

;

Найдем уравнение плоскости в отрезках используя уравнение плоскости в отроезках:

,где

Найдем уравнение плоскости

используя формулу:

=0,

Подставим данные и упростим выражение

(x-4)*(5*5-5*1)-(

)*(-2*5-5*(-5)+(

)*(-2*1-5*(-5))=0,

20x-15y+23z-79=0.

Вычислим угол между плоскостью Р и

α≈64.4̊
Для вычисления расстояния от точки D

до плоскости

используем формулу:

Подставим данные,получим:

Ответ: 4x-3y-2z=0;

;

20x-15y+23z-79=0; α≈64.4̊;

Задача 2

Запишем формулу кононического уравнения прямой l:

где k,m,n координаты колониарного вектора прямой l т.е.

||l;

координаты некоторой точки К пренодлежащей прямой l:К(

.

Исходя из системы уравнений заданной прямой можем записать координаты нармальных векторов

Обозначим плоскость

через α, а плоскость

через β.

Найдем координаты вектора

:

Т.к.

﬩ α →

l,a

﬩ β →

l из этого следует что векторное произведение векторов

пароллельно l, из этого следует, что

Найдем координаты точки К:

Пусть y=0 тогда:

выразим из нижнего уравнения x и подставим его значение в верхнее уравнение получим что :

; z=

K (

;0;

)

кононическое уравнение.

параметрическое уравнение.
Т.к. точка М имеет координаты: М(2;0;3),а кононическое уравнение прямой l:

,а прямая

l то у них будет общий направляющий вектор

с координатами

. Тогда используя кононическое уравнение прямой

;

получим:

Используя кононическое уравнение прямой

координаты точки М(2;0;3), координаты некоторая точка К принадлежащая прямой

с координатами К(

;0;

), координаты направляющего вектора

и обозначив ростояние между прямыми

, как МН. Найдем длину

где

=(-

;0;-

)

Прямая

заданна через систему

Точкка М имеет координаты : М(2;0;3)

Через заданную точку проведем плоскость Q перпендикулярно данной прямой. Тогда точка пересечения будет являтся искомой проекцией. Состовляем уравнение плоскости проходящей через точку М(2;0;3) перпендикулярно прямой l. Зная координаты направляющего вектора

, и т.к.l

то

Используя уравнение плоскости проходящей через точку, перпендикулярно прямой

запишем уравнение плоскости Q:

-13(x+

)+19y+2(z-

=0,

-13x+9y+2z-

=0.

Обозначим точку пересечения прямой l и плоскости Q через S,и найдем ее координаты. Запишем параметрическое уравнение прямой l.

Подстовляем значения неизвесных в уравнение плоскости Q получим:

Подстовляем значения t в параметрическое уравнение прямой:

.
Используя уравнение плоскости Р: 2x-5y-2z-6=0 можем записать координаты нармального вектора

(2;-5;-2), а из кононического уравнения прямой l координаты направляющего вектора

и координаты точки K (

;0;

) пренодлежащей прямой l. Запишем уравнение прямой l в параметрическом виде:

К параметрическому уравнению прямой добовляем уравнение плоскости P и решаем полученную систему:

Пусть А точка пересечения плоскости Р и прямой

тогда ее координаты равны:

А(0,648;-1,024;0,208).

Ответ:

;

; А(0,648;-1,024;0,208).
Аналогическая геометрия

Задача 1

A(1;2) B(3;4) C(-1;2)

Используя формулу уравнений сторон треугольника по координатам его вершин составим уравнения сторон АВ,АС,ВС :

AB:

AC:

Обозначим медиану угла А как отрезок А

где координаты точки А известны по условию, а координаты точки

найдем по формуле определения координат середины отрезка:

Используя формулу уравнения медиана по координатам вершин треугольника составим уравнение медианы А

Используя формулу определения длины медиана по координатам вершин треугольника найдем длину медианы А

Исходя из уравнения стороны ВС:

угловой коофициент ВС равен

Т.к. прямые ВС и

перпендикулярны,то, зная угловой коофициент ВС, можем составить уравнение высоты

Отсюда угловой коофициент

будет равен:

Можем записать уравнение высоты

отсюда y=-2x+

Точка А лежит на прямой

значит ее координаты удовлетворяют уравнению прямой

2=-2*1+

4.

Таким образом уравнение высоты

имеет вид:

-2x-y+4=0.

Используя формулу определения длины высоты по координатам вершин треугольника

найдем длину высоты

Обозначим точку пересечения биссектриса угла А и стороны ВС как

. Тогда, так как биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон (теорема о биссектрисе), и используя формулы для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, имеем:

Используя формулу прямой по двум точкам составим уравнение биссектриссы угла А

1,514=0.

Используя формулу определения длины биссектрисы по координатам вершин треугольника найдем длину биссектрисы

где

длины сторон AB, AC, BC

Используя формулу для состовления уравнений прямых проходящих через вершины треугольника и поролельных его сторонам по координатам вершин треугольника составим уравнения прямых А,В,С.

С пароллельна AB: