Добавлен: 09.11.2023
Просмотров: 65
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
| | 3 | 0 | 0 |
| А= | 2 | 7 | -4 |
| | 2 | -2 |  5 |
| | 3-λ | 0 | 0 | |
| det(A−λE) = | 2 | 7-λ | -4 | = -  +15 −63λ+81=−(λ−9)⋅( −6λ+9)=−(λ−9)⋅(λ−3)2=0; |
| | 2 | -2 | 5-λ | |
| -6 | 0 | 0 |  0 |
| 2 | -2 | -4 | 0 |
| 2 | -2 | -2 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
 =0; |
 + =0.Из уравнения + =0 найдем переменную : = Из уравнения =0 найдем переменную : =0; = .Ответ: :  =9;  =3; =0; = = .Задача 2  Решение: Метод Гауса Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:  → → →→  Получим систему:  Решим уравнение   найдем перменнную  :  Решим уравнение  найдем   Решим уравнение  найдем   +  ; ;  Даную систему уравнений невозможно решить методом Крамерра или средствами матричного исчесления т.к. полученаая из системы уравнений расширеная матрица не квадратная. Задача3  Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы и решим методом Гаусса:  → → из этого получим систему:  Найдем переменную    Найдем переменную  ) Найдем переменную  - - +   общее решение.Ответ: Векторная алгебра Задача 1 Найдем значение вектора  = Используя формулу:  составим уравнение плоскости P: 4*(x+3)-3*(y+4)-2*(z-0)=0;4x-3y-2z=0. Найдем нормерующий множитель используя формулу:  , где А=4; В=3; С=2. Умножим обе части общего уравнения плоскости на  получим нармальное уравнение плоскости: ; ;Найдем уравнение плоскости в отрезках используя уравнение плоскости в отроезках:  ,где    Найдем уравнение плоскости  используя формулу: =0,Подставим данные и упростим выражение   (x-4)*(5*5-5*1)-(  )*(-2*5-5*(-5)+( )*(-2*1-5*(-5))=0,20x-15y+23z-79=0. Вычислим угол между плоскостью Р и :  =  α≈64.4̊ Для вычисления расстояния от точки D  до плоскости  используем формулу:  Подставим данные,получим:  Ответ: 4x-3y-2z=0; ;  20x-15y+23z-79=0; α≈64.4̊;  Задача 2  Запишем формулу кононического уравнения прямой l:  где k,m,n координаты колониарного вектора прямой l т.е. ||l; . координаты некоторой точки К пренодлежащей прямой l:К( .Исходя из системы уравнений заданной прямой можем записать координаты нармальных векторов  :  Обозначим плоскость  через α, а плоскость через β.Найдем координаты вектора :Т.к.  ﬩ α →  l,a  ﬩ β →  l из этого следует что векторное произведение векторов  пароллельно l, из этого следует, что   =    Найдем координаты точки К: Пусть y=0 тогда:  выразим из нижнего уравнения x и подставим его значение в верхнее уравнение получим что :  ; z= x= K ( ;0; ) кононическое уравнение. параметрическое уравнение.Т.к. точка М имеет координаты: М(2;0;3),а кононическое уравнение прямой l:  ,а прямая  l то у них будет общий направляющий вектор с координатами . Тогда используя кононическое уравнение прямой  ; получим:  Используя кононическое уравнение прямой  координаты точки М(2;0;3), координаты некоторая точка К принадлежащая прямой  с координатами К( ;0; ), координаты направляющего вектора и обозначив ростояние между прямыми , как МН. Найдем длину  где  =(- ;0;- )  *     Прямая заданна через систему Точкка М имеет координаты : М(2;0;3) Через заданную точку проведем плоскость Q перпендикулярно данной прямой. Тогда точка пересечения будет являтся искомой проекцией. Состовляем уравнение плоскости проходящей через точку М(2;0;3) перпендикулярно прямой l. Зная координаты направляющего вектора , и т.к.l  то  Используя уравнение плоскости проходящей через точку, перпендикулярно прямой  запишем уравнение плоскости Q:-13(x+  )+19y+2(z- =0,-13x+9y+2z-  =0.Обозначим точку пересечения прямой l и плоскости Q через S,и найдем ее координаты. Запишем параметрическое уравнение прямой l. Подстовляем значения неизвесных в уравнение плоскости Q получим:  ,   Подстовляем значения t в параметрическое уравнение прямой:   .Используя уравнение плоскости Р: 2x-5y-2z-6=0 можем записать координаты нармального вектора  (2;-5;-2), а из кононического уравнения прямой l координаты направляющего вектора и координаты точки K ( ;0; ) пренодлежащей прямой l. Запишем уравнение прямой l в параметрическом виде: К параметрическому уравнению прямой добовляем уравнение плоскости P и решаем полученную систему:   Пусть А точка пересечения плоскости Р и прямой тогда ее координаты равны:А(0,648;-1,024;0,208). Ответ:  ; ; ; А(0,648;-1,024;0,208).Аналогическая геометрия Задача 1 A(1;2) B(3;4) C(-1;2) Используя формулу уравнений сторон треугольника по координатам его вершин составим уравнения сторон АВ,АС,ВС : AB:  AC:   Обозначим медиану угла А как отрезок А  где координаты точки А известны по условию, а координаты точки найдем по формуле определения координат середины отрезка:  Используя формулу уравнения медиана по координатам вершин треугольника составим уравнение медианы А : Используя формулу определения длины медиана по координатам вершин треугольника найдем длину медианы А : Исходя из уравнения стороны ВС:  угловой коофициент ВС равен  Т.к. прямые ВС и  перпендикулярны,то, зная угловой коофициент ВС, можем составить уравнение высоты : Отсюда угловой коофициент будет равен: Можем записать уравнение высоты : + отсюда y=-2x+ Точка А лежит на прямой значит ее координаты удовлетворяют уравнению прямой 2=-2*1+ 4.Таким образом уравнение высоты  имеет вид:-2x-y+4=0. Используя формулу определения длины высоты по координатам вершин треугольника найдем длину высоты   = = Обозначим точку пересечения биссектриса угла А и стороны ВС как  . Тогда, так как биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон (теорема о биссектрисе), и используя формулы для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, имеем:  Используя формулу прямой по двум точкам составим уравнение биссектриссы угла А    1,514=0. |
Используя формулу определения длины биссектрисы по координатам вершин треугольника найдем длину биссектрисы где длины сторон AB, AC, BC Используя формулу для состовления уравнений прямых проходящих через вершины треугольника и поролельных его сторонам по координатам вершин треугольника составим уравнения прямых А,В,С.С пароллельна AB:В пароллельна AC:Ответ:-2x-y+4=0; ; 1,514=0; ; .Задоча 2А(2;0;3) B(1;0;7) C(0;1;3) D(2;2;4)Найдем длины ребер АВ и АС: ; = ==Вычислим угол между ребрами АВ и АС по теореме косинусов:Угол(АВ,АС)= .Вычислим площадь грани АВС:= = =4,5.Найдем проекцию вектора
на вектор по формуле:Пр на = = =Угол А приблезительно равен , смотри выше по решению. Найдем длину вектора = .Таким образом пр на равна .Найдем обем пирамиды ABCD:V= = = = = = =2,833. .Ответ: