СОДЕРЖАНИЕ



Задание
а) Найти все возможные разложения функции f(z) в ряд Лорана (ряд Тейлора) по степеням z–z₀. Указать области, в которых справедливы полученные разложения.

б) Используя разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z=, определить тип особой точки z= и найти вычет функции в этой точке.

в) Определить, является ли точка z₀ изолированной особой точкой функции f(z). Если да, то, используя разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z₀, определить тип особой точки z₀ и найти вычет функции f(z) в этой точке.

.
Решение
а) Разложим заданную дробь на сумму простейших:

.

Отсюда

.

Придаем переменной z различные значения, получим:



Таким образом,

. (1)

У нас z₀=1; функция f(z) теряет аналитичность в точке z₀ и в точке z₁=-1, отстоящей от z₀ на расстоянии 2, поэтому имеем два кольца (рис.1):

.


z₁

z₀


Рис.1
Первая дробь уже разложена по степеням z–1, поэтому рассматриваем только вторую дробь .

Далее будем пользоваться формулой

. (2)

Если , то используя формулу (2), получим



Если , то преобразуя дробь к виду, где можно применить формулу суммы геометрической прогрессии (2), имеем

---

В области разложение функции f(z) в ряд Лорана в силу формул (1) и (3) имеет вид:



Этот ряд содержит как положительные, так и отрицательные степени z–1.
В области разложение функции f(z) в ряд Лорана в силу формул (1) и (4) имеет вид:

Этот ряд содержит только отрицательные степени z–1.

б) Разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z= получено нами в пункте а):



Так как главная часть ряда Лорана в окрестности бесконечной точки не содержит бесконечное число членов, то точка z= является устранимой особой точкой.

Как известно, вычет функции в изолированной особой точке равен коэффициенту при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при для , и этому коэффициенту, взятому с противоположным знаком, для .

Тогда

.
в) Точка z₀=1 является изолированной особой точкой, поскольку

.

Используя ее разложение в ряд Лорана

,

делаем вывод, что оно содержит 1 член главной части, поэтому точка является простым полюсом и вычет в ней равен

.

Ответ: а) В области : ;

в области

---

: ;

б) z= – устранимая особая точка; ;

в) z₀=1 – простой полюс; .
Литература

1. 
   Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функция комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.–М.: Наука, 1968.– 415 с.
   
2. 
   Багров В.Г., Белов В.В., Задорожный В.Н., Трифонов А.Ю. Методы математической физики.–Томск: Изд-во НТЛ, 2002.– 672 с.
   
3. 
   Высшая математика. Том 3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Учеб. для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004.– 512 с.
   
4. 
   Киркинский А.С. Дифференциальные уравнения. Функции комплексной переменной: Учебное пособие.–Алт.гос.техн.ун-т им.И.И.Ползунова. – Барнаул, 2010.– 239 с.
   
5. 
   Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Операционное исчисление. Теория устойчивости: Задачи и примеры с подробными решениями. Учебное пособие. Изд. 3-е, испр. и доп. - М.: Едиториал УРСС, 2003.–176 с.
   
6. 
   Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного: Задачи и примеры с подробными решениями. Учебное пособие. Изд. 3-е, испр. - М.: Едиториал УРСС, 2003. – 208 с.
   
7. 
   Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.— Изд. 5-е, испр. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
   
8. 
   Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной: Учеб.: Для вузов.– 6-е изд., стереот.–М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.– 336 с.
   
9. 
   Чудесенко, В. Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математике: типовые расчеты : учебное пособие / В. Ф. Чудесенко. - 4-е изд., стер. - СПб. : Лань, 2007. - 192 с.
   
10. 
    Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1988. - 416 с.
    
11. 
    Вентцель Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: – Учебник. - 5-е изд., стереотип. - М.: Высш. шк., 1999. - 576 с.
    
12. 
    Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983. – 416 с.
    
13. 
    Герасимович А.И. Математическая статистика. – Мн.: Выш. шк., 1983. - 279с.
    
14. 
    Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 1977. – 479 с.
    
15. 
    Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: - Учеб. пособие. 5-е изд. - М.: Высш. шк., 1999. – 276 с.
    

---

Смотрите также файлы

• Учебный план (проект) среднего общего образования по обновленным фгос соо на 20232024 учебный год.docx

• Микрофлора тела здорового человека.docx

• Задание на выполнение курсовой работы.docx

• Реализация функций бюрократической системы государственного управления в части управления бюджетными средствами. Преимущества и недостатки системы. Гундоров Александр Владимирович.doc

• Анализ работы специалистов дефектологического профиля Анализ фильма "профессия" Логопед.pptx