АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СИБИРСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

Дисциплина: Высшая математика

Контрольная работа


Выполнила: Тишкина Татьяна Александровна

Группа: ЮС-119 (2)

Адрес:

Проверил: _________________________

Оценка: __________________________

Дата:

Омск 2021

Задание 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей

Вариант 1. Студент забыл шифр своего кейса. Какова вероятность открыть кейс с


первой попытки, если студент помнит, что нулей нет и все цифры разные?
Если предположить, что шифр кейса состоит из 3 цифр, а числа все однозначные то 3×9=27 и плюс 0= 270, но так как сказано что 0 в цифре нет, то 270-3=267%.

Вероятность того что студент откроет кейс с первой попытки =267%.
Задание 2. Основные понятия и теоремы теории вероятностей

Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие соответствует стандарту, равна 0,9. Найти

вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

Согласно условию задачи, вероятность того что изделие окажется стандартным составляет 0.9.

Тогда вероятность вероятность того что изделие окажется нестандартным составляет 1 - 0.9 = 0.1.

Следовательно, вероятность того что из двух изделий первое изделие окажется стандартным, а второе нестандартным составляет 0.9 * 0.1 = 0.09 и вероятность того что из двух изделий первое изделие окажется нестандартным, а второе стандартным составляет 0.1 * 0.9 = 0.09.

Следовательно, вероятность того из двух проверенных изделий только одно окажется стандартным составляет 0.09 + 0.09 = 0.18.

Ответ: вероятность того из двух проверенных изделий только одно окажется стандартным составляет 0.18.

Задание 3. Повторные независимые испытания

Стрелок поражает цель с вероятностью р. С какой вероятностью в серии из n выстрелов он

поразит мишень: а) ровно k раз; б) хотя бы один раз; в) не менее m раз? Каково наивероятнейшее число попаданий и соответствующая ему вероятность?

№ варианта p n k m

---

1 0,8 4 2 3

2 0,9 6 4 5

3 0,7 7 4 6

4 0,6 4 2 3

5 0,8 6 3 5

6 0,7 8 5 7

7 0,5 6 1 5

8 0,6 7 3 6

9 0,9 5 2 4

10 0,8 8 3 7


Решение

Применяем формулу Бернулли и получаем:

Pn(k)=Ckn⋅pk⋅(1−p)n−k=Ckn⋅pk⋅qn−k.(1)Pn(k)=Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k=Cnk⋅pk⋅qn−k.(1)

Здесь CknCnk - число сочетаний из nn по kk.

Вероятность того, что в серии из 4 выстрелов будет 2 попадания, равна:

P=P4(2)=C24⋅0.82⋅0.22=0.1536.

Здесь число сочетаний

C24=4!2!⋅(4−2)!=4!2!⋅2!=3⋅41⋅2=6,

Ответ: 0.1536.

Задание 4. Повторные независимые испытания

Стрелок поражает цель с вероятностью р. Им (стрелком) совершается серия из N выстрелов. Чему равна вероятность того, что попаданий будет ровно половина? Найти вероятность того, что число попаданий будет не менее k1 и не более k2.

№ p N k1 k2

1 0,8 30 22 26

2 0,9 30 25 29

3 0,7 40 26 30

4 0,6 20 10 14

5 0,8 20 12 20

6 0,7 40 26 30

7 0,5 80 30 50

8 0,6 30 16 20

9 0,9 40 34 38

10 0,8 20 14 1

Применяем формулу Бернулли и получаем:

Pn(k)=Ckn⋅pk⋅(1−p)n−k=Ckn⋅pk⋅qn−k.(1)Pn(k)=Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k=Cnk⋅pk⋅qn−k.(1)

Здесь CknCnk - число сочетаний из nn по kk.

Решение

Вероятность того, что в серии из 30 выстрелов будет 24 попадания, равна:

P=P30(24)=C2430⋅0.824⋅0.26=0.1795.

Здесь число сочетаний

C2430=30!24!⋅(30−24)!=30!24!⋅6!=25⋅26⋅27⋅28⋅29⋅301⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6=593775,

Ответ: 0.1795.

Задание 5. Дискретная случайная величина

Для сигнализации о незаконном проникновении на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет p1, для второго и третьего устройства эти вероятности соответственно равны p2 и p3. Составить закон распределения дискретной случайной величины – числа работающих устройств – и найти его основные числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

№ p1 p2 p3

1 0,7 0,9 0,6

2 0,75 0,9 0,8

3 0,6 0,9 0,75

4 0,9 0,6 0,8

5 0,75 0,8 0,5

6 0,8 0,9 0,6

7 0,9 0,5 0,8

8 0,6 0,75 0,7

9 0,8 0,6 0,9

10 0,7 0,9 0,8

Задание 6. Дискретная случайная величина

Для сигнализации о незаконном проникновении на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости любое из устройств сработает, составляет p. Составить закон распределения дискретной случайной величины – числа работающих устройств – и найти его основные числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

---

№ p

1 0,9

2 0,8

3 0,7

4 0,6

5 0,95

6 0,85

7 0,75

8 0,65

9 0,55

10 0,5

Задание 7. В магазине выставлены для продажи n изделий, среди которых R изделий –некачественные. Какова вероятность, что взятые случайным образом m изделий будут некачественными?

Вариант n R m

1 20 6 2

2 18 8 3

3 16 6 2

4 14 5 3

5 12 4 3

6 10 4 2

7 18 6 3

Общее число случаев 

n=C220=20⋅192=190n=C202=20⋅192=190


Благоприятное число случаев 

m=C26=6⋅52=15m=C62=6⋅52=15
Задание 8. Из партии изделий товаровед отбирает изделия первого сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется первого сорта, равна P. Найти вероятность того, что из трёх проверенных изделий:

1) только одно изделие первого сорта;

2) только два изделия первого сорта;

3) хотя бы одно изделие первого сорта.

Вариант Р

1 0,95

2 0,9

3 0,85

4 0,8

5 0,75

6 0,7

7 0,65

8 0,6

9 0,55

10 0,5
N = 3 - количество изделий
p = 0.8 - изделие высшего сорта
q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2
m - количество изделий высшего сорта

По формуле 
P(m=2) = C(2;3)*((0.8)^2)*(0.2) = 0.384
Задание 9. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трёх заводов в количестве: n1 – с первого завода, n2 – со второго завода, n3 – с третьего.

Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе – Р1, на втором – Р2, на третьем – Р3. Определить:

1. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет


качественным?


2. Взятое наудачу изделие оказалось качественным. Какова вероятность, что оно изготовлено на 2-м заводе?

Вариант n1 P1 n2 P2 n3 P3

1 25 0,9 35 0,8 40 0,7

2 15 0,8 25 0,7 10 0,7

3 40 0,9 35 0,7 25 0,9

4 25 0,7 10 0,9 15 0,8

5 10 0,9 20 0,8 20 0,6

6 40 0,8 30 0,8 30 0,9

7 20 0,8 50 0,9 30 0,8

8 35 0,7 35 0,8 30 0,9

9 15 0,9 45 0,8 40 0,9

10 40 0,8 15 0,7 45 0,8

Решение

n1= 35, n2=35, n3=30

p1=0.7, p2=0.8, p3=0.9

Задача на применение формулы полной вероятности.

Обозначим:

Н₁ – это событие, состоящее в том, что наугад взятое комплектующее изготовлено на первом заводе;

Н₂ – это событие, состоящее в том, что наугад взятое комплектующее изготовлено на втором заводе;

Н₃ – это событие, состоящее в том, что наугад взятое комплектующее изготовлено на третьем заводе.

Н₁, Н₂ и Н₃ – гипотезы; образуют полную группу событий.

По условию задачи априорные вероятности гипотез: 

P(H₁)= 35/(35+35+30) = 0,35

P(H₂)= 35/(35+35+30) = 0,35

P(H₃)= 30/(35+35+30) = 0,30

---

Обозначим А – событие, состоящее в том, что взятое случайным образом изделие качественное.

Условные вероятности:

P(A|H₁)=0,7

P(A|H₂)=0,8

P(A|H₃)=0,9 

Тогда, используя формулу полной вероятности, получаем

P(A) = P(H₁) · P(A|H₁) + P(H₂) · P(A|H₂) + P(H₃) · P(A|H₃) =

 

= 0,35 ·0,7 + 0,35 · 0,8 + 0,3 · 0,9 = 0,795

Ответ: 0,795

Задание 10. 1. Вероятность того, что зашедший в магазин посетитель сделает покупку, равна Р. С какой вероятностью из n зашедших в магазин посетителей сделают покупку:

1. 
   ровно k человек;
   
2. 
   2) хотя бы один человек;
   
3. 
   3) не менее m человек;
   
4. 
   
   4) каково наивероятнейшее число покупателей и соответствующая ему вероятность?
   
5. 
   2. При тех же условиях в магазин зашло N покупателей.
   
6. 
   1) найти вероятность того, что покупку сделает ровно половина;
   
7. 
   2) найти вероятность того, что покупку сделают не менее k1 человек и не более k2
   
8. 
   человек.
   
9. 
   Вариант Р n k m N k1 k2
   
10. 
    1 0,8 4 2 3 30 22 26
    
11. 
    2 0,9 6 4 5 30 25 29
    
12. 
    3 0,9 7 4 6 40 26 30
    
13. 
    4 0,6 4 2 3 20 10 14
    
14. 
    5 0,8 6 3 5 20 12 20
    
15. 
    6 0,7 8 5 7 40 26 30
    
16. 
    7 0,5 6 1 5 80 30 50
    
17. 
    8 0,6 7 3 6 30 16 20
    
18. 
    9 0,9 5 2 4 40 34 38
    
19. 
    10 0,8 8 3 7 20 14 18
    

Решение: Обозначим покупку чего-либо мужчиной - событие А; женщиной - событие B. По условию задачи в магазине мужчина и две женщины.
P(A) = 0,1 ; P(B) = 0,6.
P(A) = 0,9 ; P(B) = 0,4.
Вероятность того, что все присутствующие что-нибудь купят, равна:
P(A) P(B) P(B)=0,1 0,6 0,6=0,036
Вероятность того, что никто ничего не купит, равна:
P(A) P(B) P(B)=0,9 0,4 0,4 =0,144
Тогда вероятность того, что по крайней мере одно лицо что-нибудь купит, равна:
P = 1-0,036 - 0,144 = 0,82.

Ответ: вероятность того, что по крайней мере одно лицо что-нибудь купит равна 0,82.

---

Смотрите также файлы

• Задание к теме 6 Решите задачу в соответствии с.docx

• .docx

• А. Адлер. Структура личности закладывается в раннем возрасте, до 5 лет. Стиль жизни обусловлен биогенетически, но социальным чувством.docx

• Конклюдентная сделка определение, примеры Конклюдентные действия.docx

• Эссе я учитель!.docx