Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана

(национальный исследовательский университет)»

(МГТУ им. Н. Э. Баумана)




ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН


Домашнее задание № 1 по курсу

«Метрология, стандартизация и сертификация»

Вариант - 4

Москва, 2023

Исходные данные

Результаты измерения сопротивлений резисторов номиналом 20 кОм в составе партии из 260 шт. сведены в статистический ряд. Идентифицировать закон распределения результатов измерений. Исходные данные ряда представлены в таблице 1.

Таблица 1 – Исходные данные

Ri	19,85;19,92	19,92;19,99	19,99;20,06	20,06;20,13	20,13;20,20	20,20;20,27	20,27;20,34	20,34;20,41
ni	6	9	33	71	79	41	16	5

Расчет

1. 
   Найдем статистические частоты по формуле (1):
   

n = 260

(1)

Полученные значения представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Статистический ряд

Ri	19,85;19,92	19,92;19,99	19,99;20,06	20,06;20,13	20,13;20,20	20,20;20,27	20,27;20,34	20,34;20,41
ni	6	9	33	71	79	41	16	5
	0,023	0,035	0,127	0,273	0,304	0,158	0,061	0,019

---

2. 
   Построим гистограмму как графическое представление статистической плотности распределения. Вид гистограммы на рис. 1 свидетельствует о том, что возможной теоретической моделью данного распределения является нормальный закон, который и примем с целью идентификации.
   
3. 
   Определим статистические оценки числовых параметров нормального распределения — математического ожидания ???? и дисперсии ????.
   

Среднее арифметическое значение погрешности m^* найдем по формуле (2):

где – среднее арифметическое погрешности в i-м разряде (интервале). угл.с

(2)

Статистическое СКО S найдем с помощью формулы (3):

(3)

4. 
   Найдем теоретические вероятности попадания случайной величины в каждый из интервалов, используя формулу (4) и таблицу функции Лапласа.
   

Теоретическая вероятность в интервале (x_i, x_i+1) при нормальном законе распределения:

(4)

Таблица 3 – Результаты расчетов теоретических вероятностей

i	ni	xi, xi+1			Ф(zi)	Ф(zi+1)	Pi
1	6	19,85;19,92	-2,99	-2,26	-0,49859	-0,48813	0,01045
2	9	19,92;19,99	-2,26	-1,54	-0,48813	-0,43767	0,05045
3	33	19,99;20,06	-1,54	-0,81	-0,43767	-0,29092	0,14674
4	71	20,06;20,13	-0,81	-0,084	-0,29092	-0,03337	0,25755
5	79	20,13;20,20	-0,084	0,64	-0,03337	0,2396	0,27298
6	41	20,20;20,27	0,64	1,37	0,23960	0,41434	0,17474
7	16	20,27;20,34	1,37	2,09	0,41434	0,48186	0,06751
8	5	20,34;20,41	2,09	2,82-	0,48186	0,49759	0,01573

---

В рассматриваемом примере , так как табличные аргументы функции Лапласа обычно позволяют учесть только два разряда после запятой.

5. 
   Определим меру расхождения между теоретическими вероятностями и статистическими частотами.
   

В качестве меры расхождения между теоретическими вероятностями и статистическими частотами на практике используется критерий ² Пирсона («хи-квадрат»):

(5)

где n – объем выборки, количество измерений;

k – число разрядов (интервалов) статистического ряда;

– эмпирическая (статистическая) частота появления случайной величины X (результата измерения) в i-ом интервале;

– вероятность попадания величины X в i-й интервал, рассчитанная по предполагаемому теоретическому распределению (в частности, для нормального закона распределения).

Оформим вычисления в виде таблицы 4.

Таблица 4 – Результаты вычисления критерия

i	ni	xi, xi+1
1	6	19,85;19,92	0,023	0,01045	3,9576
2	9	19,92;19,99	0,035	0,05045	1,2935
3	33	19,99;20,06	0,127	0,14674	0,6962
4	71	20,06;20,13	0,273	0,25755	0,2433
5	79	20,13;20,20	0,304	0,27298	0,9073
6	41	20,20;20,27	0,157	0,17474	0,4325
7	16	20,27;20,34	0,061	0,06751	0,1377
8	5	20,34;20,41	0,019	0,01573	0,2024

---

6. 
   Находим число степеней свободы распределения «хи-квадрат» по формуле (6):
   

(6)

где k – число интервалов эмпирического распределения (вариационного ряда);

r – число параметров теоретического распределения, определяемых по опытным данным (в случае нормального закона распределения число оцениваемых по выборке параметров r = 2).

7. 
   Для уровня значимости α = 0,02 по таблице ² – распределения найдем критическое значение при числе степеней свободы m = 5.
   

8. 
   Так как фактически наблюдаемое значение ² меньше критического, то гипотеза не противоречит опытным данным и закон распределения опытных данных можно считать нормальным.
   
9. 
   Запишем теоретический закон распределения и построим график плотности распределения вероятностей результатов измерения, как графическое представление теоретической плотности распределения.
   

Для описания теоретического закона распределения воспользуемся формулой (7), в которой неизвестные параметры распределения ????_???? и ????_???? заменим статистическими оценками числовых параметров нормального распределения ????∗ и S, рассчитанными в п.3:

(7)

Для наглядности теоретический график плотности распределения вероятностей и гистограмму (как графическое представление статистической плотности распределения) построим на одной диаграмме.

Для приведения графиков статистического и теоретического распределений к одному масштабу используем нормированные значения _н.



Где

n - количество измерений.

Диаграмма представлена на рисунке 2.

---

Таблица 5 – Сводная таблица результатов измерений

---

Смотрите также файлы

• Мотивация как функция управления.pptx

• Ітосан информатика пні.docx

• Жаратылыстану математика пндері дістемелік бірлестігіні іші жартыжылды.docx

• Курс стрельб из стрелкового оружия, боевых машин и танков.docx

• Курсовая работа особенности сестринского ухода при плевритах Специальность 34. 02. 01 Сестринское дело.docx