Файл: LR1_[5405].doc

Лабораторна робота № 1.

Оцінка похибок прямих та непрямих вимірювань

Лабораторна робота № 1.

Оцінка похибок прямих та непрямих вимірювань

Мета роботи: засвоїти на практиці (в лабораторних умовах) методику оцінки похибок прямих та непрямих вимірювань.

Після виконання роботи студенти повинні:

- знати види похибок, закони розподілу випадкових похибок, похибки ряду прямих та опосередкованих вимірювань, форми представлення результатів вимірювань;

- вміти застосовувати отримані знання при обробці ряду прямих та опосередкованих вимірювань, представляти результати вимірювань згідно до ДСТУ 2681-94.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Похибки вимірювань класифікують за трьома основними класифікаційними ознаками - за способом вираження, за характером зміни, за місцем виникнення. Класифікація похибок вимірювань наведена на рис.1.

Рис. 1. Класифікація похибок вимірювання.

За способом вираження похибки поділяються на абсолютні та відносні. Класична метрологія виходить з позиції, що результат вимірю­вання завжди відрізняється від істинного значення вимірюваної величини. Тому під час вимірювань фізичної величини (ФВ) виникає похибка, яка дорівнює різниці між виміряним значенням фізичної величини та її істинним значенням

. (1)

Істинне значення. Значення фізичної величини, яке ідеально відображало б певну властивість об’єкта.

Визначити істинне значення величини вимірюванням неможливо через обмежені можливості засобів вимірювань. Однак існують величини істинне значення яких відоме за значенням, наприклад, один повний оберт дорівнює радіанів, або 360⁰. Раніш відмічена неможливість визначення істинного значення є наслідком принципової недосконалості відображення при вимірюванні та причиною неминучості похибки вимірювання. Оскільки істинне значення ФВ нам за умовою невідоме, то похибку вимірювання з останнього рівняння визначити неможливо. Для визначення похибки істинне значення ФВ замінюють дійсним - .

Абсолютна похибка вимірювання. Різниця між результатом вимірювання і дійсним значенням вимірюванної величини

. (2)

Абсолютною дану похибку назвали тому, що вона виражена в абсолютних одиницях вимірюваної величини.

Дійсне значення. Значення фізичної величини, знайдене експериментальним шляхом і настільки наближене до істинного значення, що його можливо використати замість істинного для даної мети.

На практиці дійсне значення ФВ може бути знайдено за допомогою багаторазових вимірювань з наступним усередненням результатів спостережень і представленням цього середнього в якості дійсного або за допомогою зразкового засобу вимірювання. Якщо абсолютну похибку взяти з протилежним знаком і алгебрично додати до результату вимірювання, то можна ввести поправку в результати вимірювання.

---

. (3)

Поправка - значення величини, що алгебрично додається до результату вимірювання з метою вилучення систематичної похибки.

У багатьох випадках числове значення абсолютної похибки не дає правильного уявлення про точність вимірювання, ступінь достовір­ності одержаного результату. Тому введено більш універсальну харак­теристику точності у вигляді відносної похибки.

Відносна похибка вимірювання. Відношення абсолютної похибки вимірювання до дійсного значення вимірюваної величини

. (4)

Відносна похибка може виражатися не тільки у відносних величинах, але і в відсотках

. (5)

Аналіз останніх двох рівнянь дозволяє дійти висновку, що чим менша похибка вимірювання, тим вища його точність, отже, тим менша різниця між істинним значенням ФВ і результатом її вимірювань. Із збільшенням похибки зменшується точність.

Точність вимірювання. Головна характеристика якості вимірювання, що відображає близкість результату вимірювання до істинного значення вимірюванної величини.

Кількісно точність вимірювання визначається як величина, обернена до відносної похибки

. (6)

Крім точності вимірювань на практиці застосовують також такі характеристики якості вимірювань: правильність, збіжність та відтворюваність вимірювань.

Правильність вимірювань. Характеристика якості вимірювання, що відображає близкість до нулю систематичної похибки вимірювання.

Збіжність результатів вимірювання. Характеристика якості вимірювань, що відображає близкість повторних результатів вимірювань однієї й тієї ж величини в однакових умовах.

Збіжність результатів вимірювань відображає близкість до нуля випадкової похибки. Збіжність може бути оцінена кількісно дисперсією результатів вимірювань.

Відтворюваність вимірювань. Характеристика якості вимірювань, що відображає близкість результатів вимірювань однієї й тієї ж величини, виконаних в різний час, в різних умовах, різними методами і засобами.

Розрізнюють надмірну похибку і промах.

Надмірна похибка. Похибка вимірювання, що суттєво перебільшує очікувану (в даних умовах) похибку.

Промах. Результат вимірювання, що має надмірну похибку.

В методиках оцінки результатів вимірювання промахи вилучають із ряду багаторазових спостережень, як аномальні результати вимірювання.

За характером зміни похибки вимірювання поділяють на систематичні і випадкові.

Систематична похибка. Складова похибки , що залишається сталою або прогнозовано змінюється у ряді вимірювань тієї ж величини.

Випадкова похибка. Складова похибки , що непрогнозовано змінюється у ряді вимірювань тієї ж величини.

У загальному випадку похибка результату виірювання містить систематичну і ви­падкову складові, навіть якщо було введено поправки на систематичні похибки, викликані відомими факторами впливу. Пояснюється це, по-перше, тим, що значення факторів не залишаються в процесі вимірювання постійними, а по-друге, тим, що на результат вимірювання впливають фактори, дія яких у даному експерименті не передбачалася, або ж фак­тори, дію яких неможливо врахувати. Оскільки у похибку вимірювання входить випадкова складова, то її слід вважати величиною випадковою. Значення повної похибки вимірювання для будь-якого моменту часу визначається

---

. (7)

Використовуючи апарат підсумовування частинних /часткових/ похи­бок випадкового характеру і часткових /частинних/ похибок систематич­ного характеру, можна оцінити похибку вимірювання.

Примітка: У 1980 році з'явилася рекомендація робочої групи вчених Міжнародного комітету мір і ваг у Парижі, що пропонує розділити похибку результату вимірювань на дві групи - А и В. Складові групи А оцінюються статистичними методоми, а складові групи В - іншими методами. Поняття “систематична похибка” признається неточним, тому що може вводити в оману. Вказується, що розходження між групами А и В має скоріше практичне значення, ніж фундаментальне. Рекомендується внесок у загальну похибку похибок обох категорій розглядати як випадковий, що визначає порядок сумувування цих складових загальної похибки.

Систематичні похибки в свою чергу поділяються за причиною виникнення та за характером зміни у часі. За причиною виникнення систематичні похибки поділяються на інструментальні, методичні, суб’єктивні, похибки встановлення.

Похибки встановлення. До них належать такі, прояви яких зумовлені неправильним застосуванням міри: встановлення приладу з нахилом або відхилення зовнішніх умов від нормальних (наявність зов­нішніх полів, відхилення температури від нормальної тощо).

Суб’єтивні похибки проявляються в результаті особ­ливостей самого спостерігача. Наприклад, при підрахунку поділок шкали різні люди по-різному оцінюють одне і те саме положення стрілки. Один схильний завжди занижувати покази, інший - за­вищувати їх.

Методичні похибки виникають через недоліки самого методу вимі­рювання або через неточність застосованих спрощених формул. Скажі­мо, при непрямому вимірюванні площі перерізу круглого стержня прямим вимірюванням діаметра з наступим обчисленням площі результат буде із систематичною методичною похибкою через обмежене число знаків і значення числа .

Інструментальні похибки властиві усім вимірювальним приладам і мірам. Ці похибки виникають у результаті допущених при виготовленні і градуюванні ЗВ порушень технології при нанесенні міток на шкали стрілочних приладів, за рахунок різних відхилень при підгонці дійсних значень ФВ до номінального. Наприклад, додаткових резисторів, при визначенні коефіцієнта трансформації, площі поршня у манометрів. При використанні таких засобів вимірювальної техніки усі виміри будуть супроводжуватися постійною похибкою.

За характером зміни у часі систематичні похибки поділяються на постійні, прогресивні, періодичні.

Постійні похибки. До них належать такі, які тривалий час за­лишаються незмінними і на протязі вимірювального експеримету є постійними.

Прогресивні похибки. Це такі похибки, які в процесі даної серії вимірювань неперервно зростають або зменшуються, тобто є функцією часу.

---

Періодичні похибки. До їх числа належать систематичні похибки, значення яких є періодичною функцією або часу, або самої вимірюваної величини.

За місцем виникнення похибки вимірювання розподіляються на ін­струментальні і методичні.

Інструментальна похибка. Складова похибки вимірювання, зумовлена властивостями засобів вимірювальної техніки.

Методична похибка. Складова похибки вимірювання, що зумовлена неадекватністю об’єкта вимірювання та його моделі, прийнятою при вимірюванні.

Інструментальна похибка складається з похибки засобів вимірювання та похибки від їх взаємодії з об’єктом вимірювання.

Похибка від взаємодії. Складова інструментальної похибки, що виникає внаслідок впливу засобів вимірювальної техніки на стан об’єкту вимірювання.

Похибка засобів вимірювальної техніки. Складова інструментальної похибки, що виникає внаслідок наявності похибки певного засобу вимірювання.

Похибки засобів вимірювальної техніки в свою чергу поділяються на абсолютні, відносні та зведені, систематичні та випадкові, адитивні, мультиплікативні і нелінійні, основні і додаткові, статичні і динамічні.

Абсолютною похибкою засобу вимірювань називають різницю між показом засобу вимірювань та істинним значенням вимірюванної величини за відсутності методичних похибок і похибок від взаємодії засобу вимірювань з об’єктом вимірювання

Відносною похибкою засобу вимірювань називають відношення абсолютної похибки засобу вимірювань до істинного значення вимірюванної величини

Зведеною похибкою засобу вимірювань називають відношення абсолютної похибки засобу вимірювань до нормованого значення

Основна похибка - похибка засобу вимірювальної техніки за нормальних умов його використання.

Додаткова похибка - похибка засобу вимірювальної техніки, яка додатково виникає під час використання засобу вимірювань в умовах відхилення хоча б однієї з впливних величин від нормального значення або її виходу за границі нормальної зони значень.

Адитивна - складова абсолютної похибки засобу вимірювальної техніки, яка не залежить від вимірюванної величини.

Мультиплікативна - складова похибки засобу вимірювальної техніки, яка пропорційна вимірюваній величині.

Нелінійна - складова похибки засобу вимірювальної техніки, яка нелінійно залежить від вимірюваної величини.

Систематична похибка засобу вимірювання – складова похибки засобу вимірювання, яка є постійною постійною під час проведення вимірювань або змінюється за певним законом.

Випадкова похибка засобу вимірювання – складова похибки засобу вимірювання, яка під час проведення вимірювань змінюється випадково.

Динамічна похибка - складова похибки, що виникає додатково до статичної під час динамічних вимірювань.

Статична похибка – похибка засобу вимірювання, що виникає при проведенні статичних вимірювань.

---

Імовірність появлення випадкових похибок. При проведенні вимірювань разом з детермінованими процесами виникають стохастичні процеси, для яких неможна передбачити ступінь їхньої дії і характер ФВ, що впливає на результат виміру. При оцінці значення ФВ, що вимірюється, говорять не про одне її фіксоване значення, а про область, у якій можуть знаходитися значення вимірюваної ФВ. Отже, при повторних вимірах через зміну характеру і інтенсивності впливаючих ФВ, щораз буде з'являтися новий результат вимірювання.

Тому результати вимірювань слід розглядати як випадкові величини, які підкоряються визначеним закономірностям, що з'ясовуються при обробці ряду результатів багатократних вимірювань. Одержані результати відносяться до випадкових величин і характер їх поведінки описується теорією імовірностей і математичної статистики.

Проведемо ряд вимірювань ФВ X. Під дією випадкових похибок одержимо п декілька відмінних один від одного результатів, що займуть деякий діапазон значень. Розіб'ємо весь інтервал значень на декілька піддіапазонів, що мають досить малі кроки квантування. Можна згрупувати результати вимірів у ці піддіапазони, кожний із який буде характеризуватися кількістю результатів вимірювань, що попали до нього. На основі отриманих результатів побудуємо гістограмму розподілу результатів вимірів у вигляді, зображеному на рис. 2. Висота прямокутників визначається частотою р появи результатів у кожному піддіапазоні. При зменшенні ширини інтервалів до нуля гістограмма перейде в плавну криву, яка називається кривою щільності розподілу імовірностей (рис. 3).

Рис. 2. Рис. 3.

Центр розподілу результатів вимірювання називається математичним сподіванням величини Х і наближається, якщо немає систематичної похибки , до істинного значення вимірюваної фізичної величини .

Якщо змінити умови вимірів і застосувати інші ЗВ, то форма гістограми і кривої щільності розподілу змінюється. У випадку застосування більш точного ЗВ крива підніметься в центрі і буде крутіше спадати при видаленні від нього і, навпаки, вона зменшиться в центрі, збільшиться розмах коливань результатів вимірів, коли буде використано менше точний ЗВ.

Припустимо, що виконано ряд із п рівноточних вимірювань величини: X. Вважаючи (рис. 4), що число вимірів, укладених в інтервалі від Х до Х + dx, пропорційно числу вимірів n, знайдемо число результатів dn, які увійшли в інтервал dx:

. (8)

У (8) невідомої є - висота заштрихованого стовпчика, що називають щільністю розподілу імовірностей випадкової величини Х, тобто щільністю розподілу результатів вимірювань.

Рис. 4.

Перетворимо (8) до вигляду

. (9)

Новий вираз (9) показує імовірність появи результатів вимірів в інтервалі dx. Функція може мати будь-який закон зміни. З її допомогою можна знайти імовірність Р того, що результати виміру потраплять в інтервал від Х_Н до Х_В, для чого диференціал імовірності необхідно проінтегрувати:

---