Р , (10)

де Х_Н, Х_В - нижня і верхня межа інтервалу.

Імовірність попадання результатів вимірювання величини Х в діапазоні з нижньої Х_Н і верхньої Х_В межами можна записати так:

Р. (11)

Ліва частина цього виразу показує тільки імовірність події, що знаходиться в діапазоні від Х_Н до Х_В. Права частина також показує імовірність цієї події, але додатково ще вказує щільність розподілу імовірності. Права частина (11) більш повна, ніж ліва. Тому ліву частину можна назвати неповною формою представлення результатів вимірювання.

Нормальний закон розподілу. Якщо випадкова похибка є результатом впливу більш ніж чотирьох впливаючих ФВ, рівновеликих і незалежних, які викликають похибки, що мають будь-які закони розподілу, то закон розподілу випадкової композиційної похибки наближається до так називаного нормального закону розподілу імовірностей.

Нормальний закон розподілу похибок має такі дві властивості:

- число позитивних похибок дорівнює числу негативних - розподіл симетричний;

- малі похибки зустрічаються частіше, ніж великі, поява дуже великих похибок - малоймовірна подія.

Нормальний закон розподілу називають також законом Гауса. Щільність розподілу імовірності представляється формулою

(12)

де - середнє квадратичне відхилення (СКВ) випадкової величини Х.

Координатою центру ваги фігури, яка обмежена кривої щільності розподілу і віссю абсцис (рис. 4), буде математичне сподівання М(Х) розглянутої сукупності випадкових величин Х, яким є ряд результатів равноточных повторних вимірювань.

Якщо вилучити з М(Х) істинне значення вимірюваної величини Х_І, то одержимо значення систематичної похибки:

(13)

Систематична похибка в цьому випадку розглядається як постійна величина. Якщо = 0, то , і математичне сподівання збігається з істинним значенням ФВ, що вимірюється.

Значення випадкових похибок , що входять у результат і-го вимірюваня, можна одержати з виразу

. (14)

Виходячи з цієї залежності, можна, віднімаючи від результатів повторних вимірів (X₁, X₂, ... X_і) значення математичного сподівання М(Х), одержати новий ряд випадкових похибок , , . Цей ряд має щільність розподілу, що за формою співпадає з розподілом величини X. Його центр буде зміщеним по осі абсцис на величину, рівну М(Х). Аналітичне вираження для кривої, наведеної на рис. 5, буде мати вигляд

(15)

Рис.5.

Імовірність перебування похибки в інтервалі від до буде визначатися виразом

Р (16)

Формулу закону Гауса часто видозмінюють, ввівши нормовану безрозмірну величину g = :

Р= (17)

Цей інтеграл не виражається через елементарні функції. Для зручності він був протабульований математиком Фішером, що склав таблиці для значень інтеграла:

Ф(g)= . (18)

У деяких таблицях доводиться подвоєне значення Ф(g). У якості нормованої безрозмірної величини взята величина, рівна g, що виражається через межі довірчого інтервалу , так що g = .

---

Інтеграл Ф(g) називають нормованою функцією Лапласа. Для крайніх значень справедливі такі рівності:

Значення інтеграла Ф(g) наводяться у довідниках з математики.

Розглянемо деякі особливості нормального розподілу похибок. На рис. 6 наведено криву нормального розподілу.

Рис. 6.

Якщо вважати, що вся площа між кривої щільності розподілу і віссю абсцис дорівнює 100%, то площа, обмежена кривою і вертикалями, проведеними через точки з значеннями а = ±2 , буде дорівнювати 95 %. Поза цією площею будуть похибки інших 5% результатів. Між кривою і вертикалями, проведеними через точки а = ±3 , і віссю абсцис, буде знаходитися 99,73% площі. З цього випливає що якщо а = ±3 , то імовірність попадання похибки результатів виміру в цей інтервал буде дорівнювати Р =0. 9973.

Довірчим інтервалом називається інтервал, в який похибка попадає з наперед заданою імовірністю.

Так для нормального закону розподілу для Р = 0. 9973 довірчий інтервал дорівнює ±3

Середнє арифметичне значення результатів багаторазових вимірювань. Представимо i-й результат вимірювання у вигляді

(19)

Якщо провести п повторних вимірів і знайти їх суму, то середнє арифметичне значення ряду результатів буде представлятися виразом

(20)

Як видно з цього виразу, середнє арифметичне значення ряду вимірів буде містити , систематичну похибку і усереднену випадкову складову похибки. При збільшенні числа п, коли п , усереднена випадкова похибка

і . (21)

Якщо = 0, то тоді . З цього випливає, що середнє арифметичне значення ряду вимірювань при збільшенні їх кількості прямує до істинного значення вимірюваної величини або до її математичного сподівання:

(22)

У звичайних умовах, коли , ми маємо тільки оцінку математичного сподівання, і в якості такої оцінки приймається середнє арифметичне .

Середнє квадратичне відхилення (СКВ) результатів вимірювання. В функції розподілу імовірності для нормального закону розподілу є символ , що називається середнім квадратичним відхиленням. Середнє квадратичне відхилення визначається виразом

(23)

Однак практичне визначення по формулі неможливо, тому що невідомі ні значення , ні математичне сподівання М(х). Тому доводиться скористатися середнім арифметичним значенням. Тоді значення СКВ визначається

(24)

Знайдене значення СКВ характеризує будь-яке разове вимірювання, що входить у ряд значень Х₁, Х₂, Х₃... .Х_n.

Середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного значення результатів вимірювань. Відзначено, що при одержанні виразу для середнього арифметичного значення вимірюваної величини відбувається усереднення випадкових похибок. Тому характеризується своїм СКВ S, що обчислюють по формулі

(25)

тобто при збільшенні числа вимірів у n разів СКВ S зменшиться в разів.

Непрямі вимірювання. Непрямі вимірювання складаються із власне прямих вимірювань ФВ Х₁, Х₂ і Х_n, які називаються вимірюваними аргументами, і розрахунків, коли знаходять шукану величину Z і параметри її точності. Шукана величина Z має наступний зв'язок з вимірюваними аргументами:

---

(26)

Розглянемо найбільше простий випадок непрямих вимірів, коли є лінійна залежність між шуканою величиною Z і вимірюваними аргументами. Припустимо, що всі вимірювані аргументи не взаємозалежні, вони некорельовані. Припустимо, також, що при проведенні вимірювань виникнули тільки випадкові похибки, а систематичні похибки виключені. У цьому випадку :

(27)

де - істинне значення шуканої ФВ, - істинні значення вимірюваних аргументів.

Щоб оцінити , розкладемо попередній вираз в ряд Тейлора і після спрощень отримаємо

(28)

де значення m₁, m₂... називають коефіцієнтами впливу похибки прямого вимірювання на сумарну похибку непрямого вимірювання, їх визначають по формулі

(29)

Розглянемо подальшу методику обробки результатів непрямих вимірювань, застосовувану головним чином для випадків, коли є нормальний розподіл щільності результатів.

При багаторазових вимірюваннях значення кожного аргументу знаходимо як середнє арифметичне значення

(30)

Значення шуканої величини знаходимо по формулі

(31)

Вважаючи, що розподіл похибок у всіх аргументів підпорядковано нормальному закону, визначаємо СКВ кожного аргументу.

(32)

Визначаємо коефіцієнти впливу кожного аргументу:

(33)

Нарешті, СКВ для Z можна знайти за формулою

(34)

Вважаємо, що закон розподілу сумарної похибки Z також буде нормальний.

Теоретичне визначення середньоквадратичного відхилення та математичного сподівання. Вище вказані вирази застосовуються при обробці результатів експериментальних данних. У випадку, коли відомий аналітичний вираз для закону розподілу випадкової величини, її математичне сподівання

, (35)

де р(Х) – аналітичний вираз закону розподілу випадкової величини Х.

Середнє квадратичне відхилення цієї величини

. (36)

Композиція законів розподілу. Особливості законів розподілу випадкових похибок вимірювань полягають в їх великій кількості. Дана обставина пояснюється тим, що результуюча похибка засобу вимірювальної техніки є сумою декількох складових. Якщо ці складові розглядати як випадкові величини, то сумування складових похибок зводиться до сумування випадкових величин. Але під час сумування випадкових величин закон їх розподілу суттєво змінюють свою форму.

Закон розподілу суми незалежних випадкових величин , що мають відповідні розподіли і , називається композицією і представляється інтегралом згортки

. (37)

Обробка результатів вимірювань з використанням розподілу Ст’юдента. У випадку, коли вимірювана величина розподілена за нормальним законом і немає можливості провести багаторазові вимірювання, використовують розподіл Ст’юдента. Якщо число вимірювань , то довірчий інтервал випадкової похибки при заданих ймовірності Р і середньому квадратичному відхиленні середнього арифметичного визначається за фор­мулою Ст'юдента

---

, (38)

де - коефіцієнт розподілу Стьюдента, який залежить від заданої ймовірності Р і числа вимірювань n. Значення знаходиться за результатами невеликої кількості вимірювань за виразом (25).

Аналітичний вираз для закону розподілу Ст’юдента :

, (39)

де - гамма-функція;

При n>30 розподіл Ст’юдента майже не відрізняється від нормального.

Значення коефіцієнтів Ст’юдента наведено у табл. 1.

Таблиця 1

Значення коефіцієнтів Ст’юдента

Кількість вимірювань n	Довірча ймовірність (P = 0.95)	Довірча ймовірність (P = 0.99)
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13	3.182 2.776 2.571 2.447 2.367 2.306 2.262 2.228 2.179 2.145	5.841 4.604 4.032 3.707 3.500 3.355 3.250 3.169 3.055 2.997

Представлення результатів вимірювань. Для представлення абсолютної похибки результатів користуються однієї зі стандартних форм, згідно до ДСТУ 2681-94.

Перша форма. Результат вимірювання представляється числом А в одиницях вимірюваної величини. Сумарна абсолютна похибка в тих самих одиницях обмежується інтервалом (від нижньої до верхньої границі), в якому з вказаною ймовірністю Р знаходиться сумарна похибка (тобто наводиться довірчий інтервал і відповідна йому імовірність).

Друга форма. Наводиться значення результатів вимірювання А, вказується верхня і нижня (, ) границі інтервала, в якому може знаходитись систематична похибка, імовірність цієї події, дається оцінка СКВ випадкової складової похибки і умовне позначення стандартної апроксимації функції розподілу щільності ймовірності випадкової похибки.

Третя форма. Наводиться значення результату вимірювання, вказується СКВ випадкової і систематичної похибки, наводяться умовні назви стандартних функцій розподілу щільності ймовірності.

Четверта форма. Наводиться значення результату вимірювання, наводяться повні функції розподілу як для випадкових, так і для систематичних похибок у вигляді відповідних таблиць.

ХІД РОБОТИ

1. Скласти схему лабораторного макету (рис.7). Ввімкнути живлення після перевірки схеми викладачем.

Рис. 7. Схема лабораторного макету.

2. Дослідження систематичної похибки:

2.1. Встановити прилади строго горизонтально і ретельно встановити механічний нуль, провести вимірювання U, I, P;

2.2. Примусово ввести систематичну похибку в показання амперметру, вольтметру, ваттметру. Для цього встановити прилади не горизонтально (під наклоном), змістити механічний нуль приладів. Провести вимірювання U,I,P;

2.3. Провести серію з декількох вимірювань, щоб переконатись у наявності систематичної похибки цих приладів.

2.4. Визначити відносну систематичну похибку. За дійсне значення вимірювальної величнини прийняти результати вимірювання, отримані при вимірюванні приладами встановленими горизонтально з точно встановленим механічним нулем. Результати вимірювань занести до табл. 2.

---

Таблиця 2

Положення приладу	U	U	I	I	P	P
Горизонтальне		–		–		–
Не горизонтальне

3. Дослідження випадкової похибки:

3.1. Вилучити систематичну похибку, для чого встановити прилади строго горизонтально та ретельно встановити на всіх приладах стрілку на нуль при виключеному живленні;

3.2. Виконати серію з 100 вимірювань U, I, P і результати занести до табл. 3. Для того, щоб дослідити випадкову похибку, необхідно під час проведення серії вимірювань змінювати взаємне розташування вимірювальних приладів, з’єднувальних дротів, кут зору на стрілкові індикатори приладів.

Таблиця 3

Фізична величина	1	2	3	4	…	100
Напруга, U
Струм, I
Потужність, P

4. Провести обробку результатів прямих вимірювань для кожної фізичної величини (U, I, P) і представити результати вимірювань згідно першої форми. Прийняти, що ситематична похибка відсутня, знайти математичне сподівання вимірюваної величини, середнє квадратичне відхилення результатів вимірювань, середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного значення результатів вимірювання. Закон розподілу випадкової похибки прийняти за нормальний з нульовим математичним сподіванням. Довірчий інтервал прийняти рівним 3 .

5. Знайти результат та СКВ випадкової складової похибки непрямого вимірювання потужності P=UI по даним прямих вимірювань напруги та струму. Прийнявши закон розподілу похибки непрямого вимірювання за нормальний представити результат вимірювання згідно першої форми, знайшовши , та імовірність аналогічно п. 4.

6. Провести обробку результатів прямих вимірювань для кожної фізичної величини (U, I, P) використовуючи розподіл Ст’юдента і представити результати вимірювань згідно першої форми. Кількість вимірювань n задаються викладачем. Результати вимірювань для розрахунків взяти з табл. 3.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1 Дайте поняття абсолютної похибки вимірювання.

2. Що собою представляє дійсне значення фізичної величини.

3. Як визначити поправку?

4. Дайте поняття відносної похибки.

5. Дайте поняття точності вимірювань.

6. Наведіть класифікацію похибок вимірювань

7. Дайте поняття систематичної складової похибки вимірювань.

8. Дайте поняття випадкової складової похибки вимірювань.

9. Наведіть класифікацію систематичних похибок за двома найбільш суттєвими класифікаційними ознаками.

10. Назвіть три найбільш широко вживаних у практиці вимірювань способи вилучення систематичних похибок.

11. Наведіть аналітичне та графічне представлення нормального закону розподілу.

12. Властивості нормального закону розподілу?

13. Чому для оцінки випадкових похибок необхідно виконати багаторазові вимірювання?

14. Як визначити математичне очікування випадкової похибки і, яку складову похибки вимірювання воно характеризує?

15. Що собою представляє випадкове відхилення і як воно визначається?

16. Наведіть формулу Бесселя для оцінки експериментального середнього квадратичного відхилення.

17. Як визначити середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного?

18. Як визначити довірчий інтервал для нормального закону розподілу випадкових похибок?

---