Файл: Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Тригонометрические уравнения методы решений и отбор корней25. 12. 2011.pdf

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
1
СОДЕРЖАНИЕ стр.
Введение
2
 Формулы записи решений про- стейших тригонометрических уравнений .………………………..
2
 Числовая окружность…………….. 2
 Геометрическая иллюстрация ре- шения простейших тригонометри- ческих уравнений…………………
3
 Геометрическая иллюстрация ре- шения простейших тригонометри- ческих неравенств………………..
5
 Проблема отбора корней и спосо- бы их отбора ……….…………….
7
 Решение уравнений с двумя цело- численными переменными………. 8
1. Способы отбора корней в три-
гонометрических уравнениях….
9
1.1. Арифметический способ ……... 9
 непосредственная подстановка корней в уравнение и имеющиеся ограничения………………………
9
 перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.... 10
1.2. Алгебраический способ……….. 11
 решение неравенства относитель- но неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней.... 11
 исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами…... 12
1.3. Геометрический способ.....……. 13
 отбор корней тригонометрическо- го уравнения на числовой окруж- ности……………………………….14
 отбор корней тригонометрическо- го уравнения на числовой прямой. 15
1.4. Функционально-графический
способ ………………………………..
16
2. Основные методы решения
тригонометрических уравнений
19
2.1. Тригонометрические уравнения,
линейные относительно простейших
тригонометрических функций ……..
19
 Уравнения, сводящиеся к про- стейшим тригонометрическим уравнениям ...................................... 19
 Линейные уравнения вида
c
x
b
x
a

 sin cos
…………….....
20
2.2. Тригонометрические уравне-
ния, сводящиеся к алгебраическим
уравнениям с помощью замены ..... 21
 Уравнения, сводящиеся к много- члену от одной тригонометриче- ской функции …………………….. 22
 Решение уравнений, однородных относительно синуса и косинуса ... 23
 Симметрические уравнения…........ 24
 Применение универсальной три- гонометрической подстановки......
25
МАТЕМАТИКА ЕГЭ 201
9 Профильный уровень
Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
Типовые задания №13
Прокофьев А.А.,
Корянов А.Г.
Прокофьев А.А.– доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики №1 НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей №1557 г. Зелено- града; e-mail: aaprokof@yandex.ru
Корянов А.Г. –методист по математике городского информационно- методического Центра (ГИМЦ) г. Брянска, учитель математики МОУ лицей №27 г. Брянска; e-mail: akoryanov@mail.ru

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
2
2.3. Метод разложения на множители 26
2.4. Функциональные методы ……
30
 Использование области определе- ния функций ………………………
30
 Использование ограниченности функций …………………………...
31
 Использование монотонности функций……………………………
33
 Использование периодичности функций……………………………
35
 Использование четности и нечет- ности функций…………………….
36
2.5. Комбинированные уравнения
37
 Уравнения, содержащие дроби ..... 38
 Уравнения, содержащие корни натуральной степени……………...
41
 Уравнения, содержащие логарифмы 43
 Уравнения, содержащие модули ..
45
2.6. Системы уравнений…………… 46
Ответы…………………...................... 47
Список и источники литературы..…..51
Введение
Прежде чем перейти к рассмотрению тригонометрических уравнений, остано- вимся на некоторых важных вопросах, имеющих непосредственное отношение к решению этих уравнений.
Формулы записи решений простейших
тригонометрических уравнений
В большинстве учебников для записи решений простейших уравнений исполь- зуются следующие формулы:
Вид уравнения
Общая формула решений
a
x 
sin
,
1
|
|

a
,
arcsin
)
1
(
n
a
x
n




Z

n
a
x 
cos
,
1
|
|

a
,
2
arccos
n
a
x




Z

n
a
x 
tg
,
arctg
n
a
x



Z

n
a
x 
ctg
Z




n
n
a
x
,
arcctg
При повторении формул решения уравнений следует обратить внимание на то, что формулы задают множества чи- сел, которые образованы по закону ариф- метической прогрессии с разностью

2
или
 . С другой стороны использование общей формулы серий решений не всегда является удобной при отборе корней, в частности, на числовой окружности. В этом случае как раз удобнее не объеди- нять серии решений тригонометрических уравнений, а представлять их совокупно- стью, выделяя разность

2
соответст- вующих прогрессий.
1.
Решения уравнения
a
x 
sin
(
1 1



a
) можно записать совокупно- стью двух серий решений











Z
n
n
a
n
a
x
,
2
arcsin
,
2
arcsin
Уравнения
1
sin

x
и
1
sin


x
имеют решения
,
2 2
n
x




Z

n
, и
,
2 2
n
x





Z

n
, соответственно.
2.
Решения уравнения
a
x 
cos
(
1 1



a
) можно записать совокупно- стью двух серий решений










Z
n
n
a
n
a
x
,
2
arccos
,
2
arccos
Уравнения
1
cos 
x
и
1
cos


x
име- ют решения
Z



n
n
x
,
2
и
,
2 n
x




Z

n
соответственно.
3. Решения уравнения
a
x 
tg можно записать совокупностью двух серий











Z
n
n
a
n
a
x
,
2
arctg
,
2
arctg
4. Решения уравнения
a
x 
ctg можно записать совокупностью двух серий











Z
n
n
a
n
a
x
,
2
arcctg
,
2
arcctg
Числовая окружность
Числовая (или координатная) окруж- ность активно применяется в преподава- нии тригонометрии, с ее помощью легко демонстрировать множества чисел, объе- диненных по определенным свойствам.
Поэтому рассмотрение примеров в дан- ном пособии будет в основном связано с координатной окружностью. В тех случа-

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
3 ях, где затруднительно использовать чи- словую окружность, для отбора корней тригонометрического уравнения приме- няют координатную прямую.
Числовой (координатной) окружно-
стью называют окружность единичного радиуса, на которой выбраны: а) начало отсчета; б) положительное направление (про- тив часовой стрелки); в) единица измерения (радиус
1

r
).
Отображение числового множества R на координатную окружность наглядно можно представить как «наматывание» координатной прямой на координатную окружность: положительный луч коорди- натной прямой – в положительном на- правлении, отрицательный луч – в отри- цательном направлении (см. рис. 1).
Отметим, что отображение число- вого множества R на координатную ок- ружность не являет- ся взаимно одно- значным: каждая точка окружности изображает беско- нечное множество действительных чи- сел, каждому дейст- вительному числу соответствует един- ственная точка ок- ружности.
Геометрическая иллюстрация
решения простейших
тригонометрических уравнений
Все числа вида
Z




n
n,
2
соответ- ствуют единственной точке числовой ок- ружности

P , так как при обходе окруж- ности в положительном или отрицатель- ном направлении на целое число оборо- тов из данной точки

P приходим в эту же точку.
уравнения вида
a
x 
sin
Числа вида
n



2
или
,
2 n






Z

n
на числовой окружности изобра- жаются точкой

P или




P
соответст- венно. Эти точки расположены на окруж- ности симметрично относительно оси
y
Эти два множества чисел можно записать в виде
Z





n
n
n
,
)
1
(
Пример 1. Изобразить на числовой
окружности множестворешений урав-
нения
2 2
sin

x
Решение. Запишем решения данного уравнения
n
x




2 4
или
n
x




2 4
3
,
Z

n
Две точки наок- ружности
4

P и
4 3
P , изображающие ре- шения этого урав- нения,расположе- ны симметрично относительно оси ординат (см. рис. 2).
уравнения вида
a
x 
cos
Числа вида
n



2
или
,
2 n




Z

n
,на числовой окружности изобра- жаются точкой

P или


P соответствен- но. Точки расположены на окружности симметрично относительно оси
x . Эти два множества чисел можно записать в виде
Z





n
n,
2
Пример 2. Изобразить на числовой
окружности множестворешений урав-
нения
2 3
cos 
x
.
Решение. Запишем решения данного уравнения
n
x




2 6
или
n
x





2 6
,
Z

n
. Две точки наокружности
6

P и
6


P , изображаю- щие решения этого уравнения,распо- ложены симмет- ричноотноситель- но оси абсцисс (см. рис. 3).
O


P


P


P
P



P

P

Рис. 2









P
0




P

О











P




Рис. 1
O


P


P
P



P
P

Рис. 3

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
4
уравнения вида
a
x 
tg или
a
x 
ctg
Числа вида
n



2
или
,
2 n





Z

n
, на числовой окружности изобра- жаются точками

P или



P
. Точки рас- положены на окружности симметрично относительно начала координат. Эти два множества чисел можно записать в виде
Z




n
n,
Пример 3. Изобразить на числовой
окружности множество решений урав-
нения
3
tg 
x
.
Решение. Запишем решения данного уравнения
n
x




2 3
или
n
x




2 3
4
,
Z

n
. Две точки наокружности
3

P и
3 4
P , изображаю- щие решения это- го уравнения,рас- положены сим- метричноотноси- тельно начала ко- ординат (см. рис.
4).
Пример 4. Изобразить на числовой
окружности множество решений урав-
нения
3
ctg 
x
.
Решение. Запишем решения данного уравнения
n
x




2 6
или
n
x




2 6
7
,
Z

n
. Точки наок- ружности
6

P и
6 7
P , изображающие ре- шения этого урав- нения,расположены симметричноотно- сительно начала ко- ординат (см. рис. 5).
уравнения вида
a
x
T

 )
(
Для уравнений вида
a
x
T

 )
(
, где че- рез
T
обозначена одна из простейших тригонометрических функций, изображе- ние решений уравнения связано с точка- ми-вершинами правильного многоуголь- ника.
Числам вида
Z




n
k
n
,
2
,
;
4
;
3
{

k
...}
;
5
на числовой окружности соответст- вуют вершины правильного k-угольника, вписанного в окружность.
Случаи
1

k
и
2

k
рассмотрены выше. При
1

k
получаем единственную точку на окружности, а при
2

k
– две диаметрально противоположные точки окружности.
Пример 5. Изобразить на числовой
окружности множестворешений урав-
нения
1
sin3 
x
Решение. Решениями данного уравне- ния являются числа вида
Z




n
n
,
3 2
6
Придавая последовательно значения 0,
1, 2 переменной n, получим три точки
(вершины пра- вильного тре- угольника) на ок- ружности
(см. рис. 6), соответ- ствующие числам
6

,
6 5
3 2
6





и
2 3
3 4
6





Тренировочные упражнения
1. Изобразите множестворешений уравнения, используя числовую окруж- ность:
а)
;
2 1
2
sin

x
б)
;
0
sin

x
в)
;
2 3
sin


x
г)
2
,
0
sin

x
;
д)
2 1
cos 
x
;
е)
0
cos 
x
;
ж)
2 2
3
cos


x
;
з)
4
,
0
cos


x
;
и)
3
tg 
x
;
к)
3
tg


x
;
л)
0
tg5 
x
O


P


P
P

P



P
Рис. 4
O


P


P
P



P
P

Рис. 5
O


P


P


P
P



P
P

Рис. 6

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
5
Геометрическая иллюстрация
решения простейших
тригонометрических неравенств
Основная трудность в отборе решений тригонометрических уравнений ложится на решение тригонометрических нера- венств и их изображений на числовой ок- ружности.
неравенства вида
a
x 
sin или
a
x 
cos
Напомним алгоритм решения про- стейших тригонометрических неравенств вида
a
x 
sin или
a
x 
cos
,
1
|
|

a
, где символ

заменяет один из знаков нера- венств:
,
,
,




1. Отмечаем на линии синусов (коси- нусов) число
a и все значения синуса
(косинуса), которые больше (меньше) числа
a .
2. Выделяем на числовой окружности дугу, на которой находятся точки, удов- летворяющие данному условию.
3. Если выделенная дуга прошла через
0, то для записи граничных точек выби- рают разное направление (одно число по- ложительное, другое – отрицательное).
Если выделенная дуга не прошла через 0 , то для записи граничных точек выбирают одно направление.
4. Записываем общее решение нера- венства, добавляя к концам найденного промежутка число кратное периоду сину- са или косинуса.
Сразу отметим, что для отбора реше- ния уравнения нам не потребуется анали- тическая запись решения тригонометри- ческого неравенства, и последний шаг алгоритма будем опускать.
Пример 6. Изобразить на числовой
окружности множество решений нера-
венства
2 2
sin

x
.
Решение. 1. Отмечаем на линии сину- сов (см. рис. 7) число
2 2
и все значения синуса, которые меньше этого числа.
2. Выделяем на числовой окружности дугу, на которой находятся точки, орди- наты которых меньше
2 2
3. Выделенная дуга проходит через нуль, поэтому при положительном обходе от нуля получаем первую граничную точку
4

P , которая соответствует по- ложительному числу
4

. Делаем обход по дуге от нуля в отрица- тельном направле- нии до второй граничной точки
4 5

P
, со- ответствующей отрицательному числу
4 5

. Числа из промежутка









4
;
4 5
, являются решения данного неравенства
(см. рис. 7). Все решения данного нера- венства будут иметь вид













n
n
2 4
;
2 4
5
,