Файл: Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Тригонометрические уравнения методы решений и отбор корней25. 12. 2011.pdf

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
6 ном направлении до второй точки
6 11
P
, соответствующей числу
6 11
. Числа из промежутка








6 11
;
6
, являются решения данного неравенства (см. рис. 8). Все ре- шения данного неравенства будут иметь вид












n
n
2 6
11
;
2 6
,
Z

n
.
неравенства вида
a
x 
tg или
a
x 
ctg
Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом удобно использовать линии тангенсов и котангенсов, касающиеся тригонометрической окружности в точ- ках
)
0
;
1
(
и
)
1
;
0
(
соответственно.
Напомним алгоритм решения про- стейших тригонометрических неравенств вида
a
x 
tg или
a
x 
ctg
, где символ

заменяет один из знаков неравенств:
,
,
,




1. Отмечаем на линии тангенсов (ко- тангенсов) число
a и все значения тан- генса
(котангенса), которые больше
(меньше) числа
a .
2. Выделяем на числовой окружности дугу, на которой находятся точки, удов- летворяющие данному условию.
3. Записываем ответ для соответст- вующего неравенства: а) для неравенства
a
x 
tg решение имеет вид
,
arctg
2
n
a
t
n








Z

n
; б) для неравенства
a
x 
tg решение имеет вид
,
2
arctg
n
t
n
a







Z

n
; в) для неравенства
a
x 
ctg решение имеет вид
,
arcctg
n
t
n
a







Z

n
; г) для неравенства
a
x 
ctg решение имеет вид
,
arcctg
n
a
t
n





Z

n
Пример 8. Изобразить на числовой
окружности множестворешений нера-
венства
3
tg 
x
.
Решение. Отмечаем на линии танген- сов (см. рис. 9) число 3 и все значения тангенса, которые больше этого числа.
2. Выделяем на числовой окружности дугу, на которой находятся точки, удов- летворяющие данному условию.
3. Выделенная дуга имеет граничную точку
3

P ,соответствующую числу
3

Делаем обход по дуге от точки
3

P в положительном на- правлении до вто- рой точки
2

P , со- ответствующей числу
2

. Числа из промежутка








2
;
3
, являются решения данного неравенства. Все реше- ния данного неравенства будут иметь вид












n
n
2
;
3
,
Z

n
. На окружности
(см. рис. 9) выделены два интервала.
Пример 9. Изобразить на числовой
окружности множество решений нера-
венства
1
ctg


x
Решение. Отмечаем на линии котан- генсов (см. рис. 10) число
1

и все значе- ния котангенса, меньшие этого числа.
2. Выделяем на числовой окружности дугу, на которой находятся точки, удов- летворяющие данному условию.
O
о сь т
ан ге н
со в



P


P
P



P


P
P

Рис. 9
O
ось котангенсов



P
P



P


P
P



P
Рис. 10

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
7 3. Выделенная дуга имеет граничную точку
4 3
P ,соответствующую числу
4 3
Делаем обход по дуге от точки
4 3
P в по- ложительном направлении до второй точ- ки

P , соответствующей числу
 . Числа из промежутка








;
4 3
, являются реше- ния данного неравенства. Остальные ре- шения получают добавлением слагаемого
Z


n
n,
к концам полученного проме- жутка. На окружности (см. рис. 10) выде- лены два промежутка.
Тренировочные упражнения
2. Изобразите множестворешений не- равенства, используя числовую окруж- ность:
а)
;
2 2
sin

x
б)
;
0
sin

x
в)
;
2 3
sin


x
г)
7
,
0
sin

x
; д)
2 2
cos 
x
; е)
0
cos 
x
;
ж)
2 1
cos


x
; з)
1
tg 
x
; и)
3 1
tg 
x
;
к)
3
tg


x
; л)
0
tg 
x
; м)
3 1
ctg


x
;
н)
3
ctg 
x
; о)
0
ctg 
x
Проблема отбора корней и способы
их отбора
При решении различных уравнений школьникам приходится сталкиваться с понятием «посторонних» корней, появ- ляющихся в результате не равносильных преобразований как отдельных выраже- ний, входящих в уравнение, так и самого уравнения.
Преобразование тригонометрического уравнения может привести не только к равносильному уравнению, но и к урав- нению-следствию. Если на каком-то шаге мы перешли к уравнению, про которое точно знаем, что оно – следствие исход- ного, и при этом не уверенны, что оно равносильно ему, то, найдя корни нового уравнения, необходимо сделать проверку
(например, подставив найденные значе- ния в исходное уравнение).
Однако следует иметь в виду, что про- верка путем подстановки найденных зна- чений в тригонометрическое уравнение в большинстве случаев сопряжена с техни- ческими трудностями. Если сомнение в равносильности первого и последнего в цепочке преобразований уравнения вы- звано расширением в ходе преобразова- ний области допустимых значений, луч- ше начать решение с записи ограничений, определяющих область допустимых зна- чений исходного уравнения, и, найдя корни последнего уравнения, проверить, удовлетворяют ли они этим ограничени- ям.
Причиной расширения области допус- тимых значений тригонометрического уравнения может быть также использова- ние некоторых тригонометрических фор- мул. В первую очередь следует обратить внимание на формулы, выражающие си- нус, косинус, тангенс или котангенс угла через тангенс половинного угла. Исполь- зование этих формул может привести к сужению области допустимых значений и, как следствие, к потере корней. При- менение тех же формул в обратном на- правлении, напротив, может привести к расширению области допустимых значе- ний и, как следствие, к появлению посто- ронних корней. Сказанное относится также к формулам тангенса суммы и раз- ности аргументов.
Также к приобретению корней может привести использование формул





sin cos tg или





cos sin ctg
Решение тригонометрических уравне- ний, связанных с отбором корней, имеет отличие от ситуаций, возникающих при решении дробно-рациональных, ирра- циональных, логарифмических и других уравнений, состоящее в том, что при ре- шении простейших тригонометрических уравнений получают бесконечные серии решений, зависящих от целочисленного параметра.
При отборе корней в процессе реше- ния тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов.

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
8
● Арифметический способ:
а) непосредственная подстановка полу- ченных корней в уравнение и имеющиеся ограничения; б) перебор значений целочисленного па- раметра и вычисление корней.
● Алгебраический способ:
а) решение неравенства относительно не- известного целочисленного параметра и вычисление корней; б) исследование уравнения с двумя цело- численными параметрами.
● Геометрический способ:
а) изображение корней на тригонометри- ческой окружности с последующим отбо- ром и учетом имеющихся ограничений; б) изображение корней на числовой пря- мой с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений.
● Функционально-графическийспособ: выбор корней с помощью графика про- стейшей тригонометрической функции.
Решение уравнений с двумя
целочисленными переменными
В случае отбора общих решений не- скольких найденных серий решений три- гонометрических уравнений приходится решать линейные уравнения с двумя не- известными вида
,
c
bm
an


где
Z

c
b
a
,
,
– заданные числа, а
Z

m
n,
– искомые неизвестные.
Рассмотрим метод решения в целых числах линейного уравнения с двумя не- известными.
,
c
bm
an


(1) где
Z

c
b
a
,
,
– заданные числа, а
Z

m
n,
– искомые неизвестные
Уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, когда
c делится на НОД чисел
a и
b
. Так, например, уравнение
17 8
2

 n
m
не имеет решений в целых числах, так как 17 не делится на 2 (наи- больший общий делитель чисел 2 и 8).
Покажем, как ищется решение уравне- ния (1). Рассмотрим уравнение
4 8
5

 m
n
(2)
Выбираем неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной ве- личине, – в нашем случае это
n . Выража- ем ее через другую неизвестную
5 1
3 1
5 4
8






m
m
m
n
Целые решения уравнения (2) будут су- ществовать, когда число
5 1
3 
m
будет це- лым.
Обозначим его буквой
p
, тогда
p
m


5 1
3
или
1 5
3

 p
m
Проделав с последним уравнением те же действия, что и с исходным, получим
3 1
2 3
1 5





p
p
p
m
. Для существова- ния целых решений число
3 1
2 
p
должно быть целым. Обозначим его буквой t , то- гда
t
p


3 1
2
или
1 3
2

 t
p
Отсюда
2 1
2 1
3





t
t
t
p
. Последнее равенство возможно в целых числах, если
1 2 
 k
t
,
Z

k
Теперь, чтобы получить решение уравнения (2), нужно выразить
m
p,
и
n через
k
. Выполняя соответствующие подстановки, имеем
1 3
2 2
6 2
1 3






k
k
t
p
,
2 5
3 6
15 3
1 5






k
k
p
m
,
4 8
5 20 40 5
4 8






k
m
m
n
Итак, целыми решениями уравнения
(2) являются пары чисел
)
,
(
m
n
вида
4 8 
 k
n
,
2 5 
 k
m
при любом
Z

k
Замечание. Представленный метод практически повторяет известный алго-
ритм Евклида для нахождения наи- большего общего делителя двух целых чисел.

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
9
1. Способы отбора корней
в тригонометрических уравнениях
Для раскрытия способов отбора кор- ней рассмотрим простейшие тригономет- рические уравнения и системы (совокуп- ности), содержащие простейшие триго- нометрические уравнения и неравенства.
1.1. Арифметический способ
Рассмотрим примеры, в которых ис- пользуется арифметический способ отбо- ра корней.
непосредственная подстановка корней
в уравнение и имеющиеся ограничения
В случае непосредственной подста- новки серий полученных решений для удаления «посторонних» решений полез- ным оказывается использование формул приведения. В частности,










,
1 2
при
,
sin
,
2
при
,
sin
)
sin(
n
k
x
n
k
x
k
x
Z

n
;










,
1 2
при
,
cos
,
2
при
,
cos
)
cos(
n
k
x
n
k
x
k
x
Z

n
;
,
tg
)
(
tg
x
k
x



,
2
n
x




Z

n
;
,
ctg
)
(
ctg
x
k
x



,
n
x


Z

n
Пример 10. Найти корни уравнения
5
,
0
cos 
x
,
удовлетворяющие
неравенству
0
sin

x
.
Решение. Из уравнения
5
,
0
cos 
x
по- лучаем
n
x




2 3
, или
,
2 3
n
x





Z

n
Проверим для полученных значений
x выполнение условия
0
sin

x
. Для первой серии получаем
0 2
3 3
sin
2 3
sin







 










n
Следовательно, первая серия является
«посторонней». Для второй серии получа- ем
0 2
3 3
sin
2 3
sin








 












n
Ответ:
Z





n
n,
2 3
Пример 11. Найти корни уравнения
3
tg 
x
, удовлетворяющие неравенству
0
sin

x
.
Решение. Из уравнения
3
tg 
x
по- лучим
,
3
k
x




Z

k
. Отберем из по- лученных решений те значения
x , для которых
0
sin

x
. Подставляя
k
x




3
в это неравенство, находим:
2 3
2 3
sin










n
при
n
k
2

,
Z

n
, и
2 3
3 4
sin











n
при
1 2 
 n
k
,
Z

n
. Следовательно, корни исходного уравнения вида
,
2 3
4
n



Z

n
удовле- творяют условию.
Ответ:
,
2 3
4
n



Z

n
Пример 12. Найти решения совокуп-
ности уравнений







,
2 1
sin
,
1
sin
x
x
удовлетворяющие неравенству
0
ctg 
x
.
Решение. Из совокупности имеем
 
















,
6 1
,
2 2
n
x
n
x
n
Z

n
Отберем значения
x
, удовлетворяю- щие условию
0
ctg 
x
Для решений первой серии получаем
0 2
2
ctg











n
, следовательно, усло- вие
0
ctg 
x
выполнено.
Для корней второй серии




















6
)
1
(
ctg
6
)
1
(
ctg
n
n
n





нечетно.
если
,
3
четно,
если
,
3
n
n

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней