Файл: Комплексное число имеет вид.docx

Скачать файл (0,04Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.11.2023

Просмотров: 9

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Комплексное число имеет вид:

;
здесь x и y - действительные числа, a i - число нового рода, называемое мнимой единицей. «Мнимые» числа составляют частный вид комплексных чисел (когда x= 0). С другой стороны, и действительные (т. е. положительные и отрицательные) числа являются частным видом комплексных чисел (когда y = 0).

Действительное число называется абсциссой комплексного числа

; действительное число y - ординатой комплексного числа

. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение ii равно -1, т. е.

Суммой z₁+z₂ двух комплексных чисел z₁=(x₁,y₁) и z₂=(x₂,y₂) называют комплексное число

(1.1)
а произведением z₁z₂ этих комплексных чисел — комплексное число

. (1.2)
Элемент O= (0,0) поля комплексных чисел является нейтральным относительно операции сложения, и его называют нулевым элементом этого поля. На плоскости xOy он совпадает с началом координат. Элемент (1,0) является нейтральным относительно операции умножения, и его называют единицей поля комплексных чисел.

Особую роль играет комплексное число (0, 1), которое обозначают i и называют мнимой единицей. Согласно (1.2), имеем

. (1.3)
Каждую упорядоченную пару (x, 0) ϵ R сопоставим с числом x ϵ R. Возникает взаимно однозначное соответствие между множеством R действительных чисел и множеством упорядоченных пар вида (x, 0), при котором сумме и произведению действительных чисел отвечают сумма и произведение соответствующих им упорядоченных пар. Поэтому каждую упорядоченную пару вида (x, 0) отождествляют с числом x. В этом случае каждую упорядоченную пару можно представить в виде

. (1.4)
Выражение

представляет собой алгебраическую (или декартову) форму записи (представления) комплексного числа. В этой записи x и y — действительные числа, причем называют действительной частью комплексного числа z и обозначают Re z , а y называют мнимой частью комплексного числа и обозначают Im z . Таким образом, в записи (1.4)

. (1.5)
Комплексное число равно нулю (z = 0) в том и только в том случае, когда его действительная и мнимая части одновременно равны нулю. Элементы поля C комплексных чисел можно отождествить с точками плоскости, рассматривая действительную x и мнимую y части комплексного числа

как координаты точки М (x, y) в некоторой фиксированной прямоугольной системе координат Oxy(рис. 1.1).

В этом случае плоскость Oxy называют комплексной плоскостью (или плоскостью комплексных чисел) и обозначают либо (как и это поле) символом C, либо заключенным в круглые скобки обозначением комплексного числа: (z), (ω). Произвольному действительному числу x соответствует точка (x ,0) комплексной плоскости, лежащая на оси абсцисс, которую применительно к плоскости C называют действительной (или вещественной) осью. Чисто мнимому числу iy соответствует точка (0; y) плоскости C, расположенная на оси ординат, называемой в данном случае мнимой осью (но по традиции обозначаемой y, а не iy!).

Комплексному числу

соответствует точка М (x, y) комплексной плоскости. При этом абсцисса точки совпадает с действительной частью комплексного числа, а ордината точки — с его мнимой частью. Интерпретация комплексных чисел как точек плоскости позволяет говорить о геометрической форме представления комплексного числа. Далее точку М(x , y) плоскости C с координатами x и y будем обозначать так же, как и соответствующее ей комплексное число

.

Операции сложения (1.1) и умножения (1.2) обладают свойствами коммутативности и ассоциативности

, а умножение обладает свойством дистрибутивности относительно сложения.

Два комплексных числа, записанных в алгебраической форме, равны в том и только в том случае, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Применительно к этой форме записи правила (1.1) и (1.2) дают

(1.6)

(1.7)
и приводят практически к простому условию, что все действия над комплексными числами аналогичны действиям над многочленами, но с учетом свойств мнимой единицы

и т.д. (1.8)
Числа

называют комплексно сопряженными. На плоскости C им соответствуют точки, расположенные симметрично относительно действительной оси (см. рис. 1.1).

Сумма и произведение сопряженных комплексных чисел являются действительными числами, а разность — чисто мнимым числом:

(1.9)
Для сложения и умножения существуют обратные операции: соответственно вычитание и деление (кроме деления на нуль), которые в алгебраической форме можно записать следующим образом: