Файл: Приближение функций. Интерполяция сплайнами Задана таблица.pptx

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

.

Интерполяция сплайнами:

Задана таблица:

Необходимо построить многочлен (Лагранжа или Ньютона) для интерполяции по этой таблице.

x	y
0	0
2	1
4	2
6	2,5
6,2	-4,2
6,5	-19,8

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

.

Интерполяция сплайнами:

Задана таблица:

Необходимо построить многочлен (Лагранжа или Ньютона) для интерполяции по этой таблице.

x	y
0	0
2	1
4	2
6	2,5
6,2	-4,2
6,5	-19,8

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

.

Интерполяция сплайнами:

Задана таблица:

Необходимо построить многочлен (Лагранжа или Ньютона) для интерполяции по этой таблице.

x	y
0	0
2	1
4	2
6	2,5
6,2	-4,2
6,5	-19,8

Использование многочленов высоких степеней может приводить к значительным погрешностям.

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

.

Интерполяция кубическими сплайнами: дефекта 1:

Задана таблица функции f(x) в узлах xi, i = 0, … , n. xi+1 > xi.

На каждом отрезке [xi-1, xi] строим многочлен вида:

f

x0

x

x1

xn-1

xn

f0

f1

fn-1

fn

S1

Sn

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

.

Интерполяция кубическими сплайнами: дефекта 1:

Задана таблица функции f(x) в узлах xi, i = 0, … , n. xi+1 > xi. fi = f(xi).

На каждом отрезке [xi-1, xi] строим многочлен вида:

1. Потребуем прохождения многочлена Si через точку (xi, fi).

Тогда ai = fi, i=1…n. Добавим условие a0 = f0.

Из требования непрерывности сплайна Si-1(xi-1)=Si(xi-1), i=2,…,n. Отсюда

f

x0

x

x1

xn-1

xn

f0

f1

fn-1

fn

S1

Sn

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

.

Интерполяция кубическими сплайнами: дефекта 1:

Потребуем прохождения многочлена Si через точку (xi, fi). Тогда ai=f(xi), i=1…n.

Из требования непрерывности сплайна Si(xi-1)=Si(xi). Отсюда

Или

Где

f

x0

x

x1

xn-1

xn

---

f0

f1

fn-1

fn

S1

Sn

h1

hn

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

.

Интерполяция кубическими сплайнами: дефекта 1:

2. Потребуем непрерывность первой производной:

Отсюда

3. Из условий непрерывности второй производной: Si-1’’(xi-1) = Si’’(xi-1)

f

x0

x

x1

xn-1

xn

f0

f1

fn-1

fn

S1

Sn

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

.

Интерполяция кубическими сплайнами: дефекта 1:

2. Потребуем непрерывность первой производной:

Отсюда

3. Из условий непрерывности второй производной

f

x0

x

x1

xn-1

xn

f0

f1

fn-1

fn

S1

Sn

Получили для 3n неизвестных

3n-2 уравнений.

Добавим еще 2 условия:

S’’(x0)=0;

S’’(xn)=0.

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

.

Интерполяция кубическими сплайнами: дефекта 1:

После преобразований получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения сi:

c0=0;

cn=0;

Остальные коэффициенты определяются по явным зависимостям:

f

x0

x

x1

xn-1

xn

f0

f1

fn-1

fn

S1

Sn

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

.

Интерполяция кубическими сплайнами: дефекта 1:

В результате вычислений получаем таблицу коэффициентов:

Для интерполяции при х = х* необходимо сначала найти интервал xi-1 x*  xi, затем по соответствующим ему значениям коэффициентов рассчитать значение функции:

при х = х*.

i	xi-1	xi	ai	bi	ci	di
1
2
…
n

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

.

Интерполяция кубическими сплайнами: дефекта 1:

В качестве условий для граничных точек a и b (i = 0 и i = n) кроме равенства нулю вторых производных можно выбрать другие соотношения.

Например, задать производную функции S(x) в точках a и b. Во многих задачах производные в конечных точках известны заранее из физических соображений, поэтому такой подход часто оказывается полезным.

---