Файл: Приближение функций. Интерполяция сплайнами Задана таблица.pptx

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

. Интерполяция сплайнами:Задана таблица:Необходимо построить многочлен (Лагранжа или Ньютона) для интерполяции по этой таблице.

x	y
0	0
2	1
4	2
6	2,5
6,2	-4,2
6,5	-19,8

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

. Интерполяция сплайнами:Задана таблица:Необходимо построить многочлен (Лагранжа или Ньютона) для интерполяции по этой таблице.

x	y
0	0
2	1
4	2
6	2,5
6,2	-4,2
6,5	-19,8

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

. Интерполяция сплайнами:Задана таблица:Необходимо построить многочлен (Лагранжа или Ньютона) для интерполяции по этой таблице.

x	y
0	0
2	1
4	2
6	2,5
6,2	-4,2
6,5	-19,8

Использование многочленов высоких степеней может приводить к значительным погрешностям.

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

. Интерполяция кубическими сплайнами: дефекта 1:Задана таблица функции f(x) в узлах xi, i = 0, … , n. xi+1 > xi.На каждом отрезке [xi-1, xi] строим многочлен вида:fx0xx1xn-1xnf0f1fn-1fnS1Sn

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

. Интерполяция кубическими сплайнами: дефекта 1:Задана таблица функции f(x) в узлах xi, i = 0, … , n. xi+1 > xi. fi = f(xi).На каждом отрезке [xi-1, xi] строим многочлен вида:1. Потребуем прохождения многочлена Si через точку (xi, fi). Тогда ai = fi, i=1…n. Добавим условие a0 = f0.Из требования непрерывности сплайна Si-1(xi-1)=Si(xi-1), i=2,…,n. Отсюдаfx0xx1xn-1xnf0f1fn-1fnS1Sn

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

. Интерполяция кубическими сплайнами: дефекта 1:Потребуем прохождения многочлена Si через точку (xi, fi). Тогда ai=f(xi), i=1…n.Из требования непрерывности сплайна Si(xi-1)=Si(xi). ОтсюдаИлиГдеfx0xx1xn-1xn

---

f0f1fn-1fnS1Snh1hn

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

. Интерполяция кубическими сплайнами: дефекта 1:2. Потребуем непрерывность первой производной:Отсюда 3. Из условий непрерывности второй производной: Si-1’’(xi-1) = Si’’(xi-1)fx0xx1xn-1xnf0f1fn-1fnS1Sn

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

. Интерполяция кубическими сплайнами: дефекта 1:2. Потребуем непрерывность первой производной:Отсюда 3. Из условий непрерывности второй производнойfx0xx1xn-1xnf0f1fn-1fnS1SnПолучили для 3n неизвестных3n-2 уравнений. Добавим еще 2 условия:S’’(x0)=0;S’’(xn)=0.

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

. Интерполяция кубическими сплайнами: дефекта 1:После преобразований получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения сi:c0=0;cn=0;Остальные коэффициенты определяются по явным зависимостям:fx0xx1xn-1xnf0f1fn-1fnS1Sn

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

. Интерполяция кубическими сплайнами: дефекта 1:В результате вычислений получаем таблицу коэффициентов:Для интерполяции при х = х* необходимо сначала найти интервал xi-1 x*  xi, затем по соответствующим ему значениям коэффициентов рассчитать значение функции:при х = х*.

i	xi-1	xi	ai	bi	ci	di
1
2
…
n

Глава 3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

. Интерполяция кубическими сплайнами: дефекта 1:В качестве условий для граничных точек a и b (i = 0 и i = n) кроме равенства нулю вторых производных можно выбрать другие соотношения. Например, задать производную функции S(x) в точках a и b. Во многих задачах производные в конечных точках известны заранее из физических соображений, поэтому такой подход часто оказывается полезным.

---